2019-2023高考数学真题分类汇编12 简单逻辑用语、基本不等式、不等式
一、选择题
1．（2022高一上·河北期中）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
4．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
5．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2023·北京卷）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2019·上海）已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
10．（2019·全国Ⅲ卷文）记不等式组 表示的平面区域为D.命题 ；命题 .下面给出了四个命题（ ）
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
11．（2019·全国Ⅲ卷理）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
B． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
C． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
D． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
12．（2019·北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-914．（2019·浙江）已知x，y是实数，则“x+y≤1”是“x≤ 或y≤ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
15．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2020·新高考Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2021·天津）若 ，则 的最小值为 ．
18．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
19．（2019·天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为 .
20．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， ．
21．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
22．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为 ．
23．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
24．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
四、解答题
25．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
26．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
27．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；
②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，
所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.
3．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；
当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，
故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
8．【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】 ，
，，
充分性：由 和 得和互为相反数，
有；
必要性：，
，
，
。
故答案为：C
【分析】充分性：由 和 得和互为相反数，有；必要性：将化简得到即可。
9．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 等价， ，得“ ”，
“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质判断出“ ”是“ ”的充要条件。
10．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：先画出已知所表示的平面区域，如图：
由图可知，命题p为真命题，命题q为假命题，
∴命题￢p为假命题，命题￢q为真命题，
∴① 和③ 为真命题，② 和④ 为假命题，
故答案为：A.
【分析】先画出已知所表示的平面区域，由图可知命题p为真命题，命题q为假命题，利用复合命题的真假判断方法，即可得到所有真命题的编号.
11．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】 【解答】解：∵ 是定义域为R的偶函数，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 在 单调递减，∴ （ ）＞ （ ）＞ （log3 ），
故答案为：C.
【分析】由已知 是偶函数，得到 ，利用 的单调性，即可比较大小.
12．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若b=0，则 为偶函数，
若 为偶函数，
则 ，
所以 B=0,
综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.
13．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
14．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对x和y赋值可推出当前者成立时都能推出后者成立，而反过来当推不出前者成立，因此前者是后者的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用代入数值特殊值验证法即可得出结果。
15．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
16．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
17．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
18．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
19．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】 【解答】由 得 ，解得
故答案为：
【分析】本题考查一元二次不等式的解法。
20．【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
21．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
22．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
23．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
24．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
25．【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
26．【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
27．【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编12 简单逻辑用语、基本不等式、不等式
一、选择题
1．（2022高一上·河北期中）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
2．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；
②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，
所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.
3．（2021·全国乙卷）已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p q B． p q C．p q D． (pVq)
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；
当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，
故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.
5．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
6．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
7．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
8．（2023·北京卷）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】 ，
，，
充分性：由 和 得和互为相反数，
有；
必要性：，
，
，
。
故答案为：C
【分析】充分性：由 和 得和互为相反数，有；必要性：将化简得到即可。
9．（2019·上海）已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 等价， ，得“ ”，
“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质判断出“ ”是“ ”的充要条件。
10．（2019·全国Ⅲ卷文）记不等式组 表示的平面区域为D.命题 ；命题 .下面给出了四个命题（ ）
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：先画出已知所表示的平面区域，如图：
由图可知，命题p为真命题，命题q为假命题，
∴命题￢p为假命题，命题￢q为真命题，
∴① 和③ 为真命题，② 和④ 为假命题，
故答案为：A.
【分析】先画出已知所表示的平面区域，由图可知命题p为真命题，命题q为假命题，利用复合命题的真假判断方法，即可得到所有真命题的编号.
11．（2019·全国Ⅲ卷理）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
B． （log3）＞ （ ）＞ （ ）
C． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
D． （ ）＞ （ ）＞ （log3）
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】 【解答】解：∵ 是定义域为R的偶函数，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 在 单调递减，∴ （ ）＞ （ ）＞ （log3 ），
故答案为：C.
【分析】由已知 是偶函数，得到 ，利用 的单调性，即可比较大小.
12．（2019·北京）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若b=0，则 为偶函数，
若 为偶函数，
则 ，
所以 B=0,
综上，b=0是f（x）为偶函数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.
13．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-9【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
14．（2019·浙江）已知x，y是实数，则“x+y≤1”是“x≤ 或y≤ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对x和y赋值可推出当前者成立时都能推出后者成立，而反过来当推不出前者成立，因此前者是后者的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用代入数值特殊值验证法即可得出结果。
二、多项选择题
15．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 （ R）， 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A不符合题意，B符合题意；
可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C符合题意；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
16．（2020·新高考Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
三、填空题
17．（2021·天津）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a>0，b>0
∴
当且仅当且，即时等号成立
所以的最小值是.
【分析】利用基本不等式求解即可.
18．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
19．（2019·天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】 【解答】由 得 ，解得
故答案为：
【分析】本题考查一元二次不等式的解法。
20．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， ．
【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
21．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
22．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
23．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
24．（2019·天津）设 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
当且仅当 ，即当 或 时，等号成立。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
四、解答题
25．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
26．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
27．（2020·新课标Ⅲ·理）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【答案】（1）解： ，
.
均不为 ，则 ，
（2）解：不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即
【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）由 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结合基本不等式，即可得出证明.
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