2019-2023高考数学真题分类汇编13 正弦定理、余弦定理、三角形几何计算
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京卷）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
5．（2021·全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2019·全国Ⅰ卷文） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA= ，则 =（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
7．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ．
8．（2021·浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 .
9．（2021·浙江）在 中， ，M是 的中点， ，则 ， .
10．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
11．（2023·全国甲卷）在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 ．
12．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .
13．（2019·上海）在 中， ， ，且 ，则 ．
14．（2019·浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD= .COS∠ABD=
15．（2019·全国Ⅱ卷文）△ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，知 ，则 =
16．（2019·全国Ⅱ卷理） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为 .
17．（2019·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261)被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角B形面积的公式，就是S= ，现如图，已知平面四边形ABCD中，AD=1，AC= ，∠ADC=120°，AB= ，BC=2，则平面四边形ABCD的面积是 。
三、解答题
18．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
19．（2023·天津卷）在中，角所对的边分別是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求．
20．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
21．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
22．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
23．（2021·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c，已知 =ac，点D在边AC 上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD = b：
（2）若AD = 2DC
.求cos∠ABC.
24．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
25．（2019·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
26．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
27．（2019·全国Ⅰ卷理） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
（1）求A；
（2）若 ,求sinC.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
2．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
3．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由正弦定理知 ，
，由余弦定理，
，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。
4．【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，连接DF，直线DF交AB于M，
则AB＝AM+BM，设则
因为，所以所以
故答案为：A.
【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。
6．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由已知条件 结合正弦定理，
①
利用余弦定理，得 ②
①②联立得：
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，变形得出b，c的关系式，从而求出 的值。
7．【答案】
【知识点】秦九韶算法；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解法一：三角形的三边代入公式得
解法二：三角形的三边，代入余弦定理得，则，
则面积.
【分析】直接由秦九韶计算可得面积．
8．【答案】25
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意，直角三角形两条直角边分别为3，4 ，斜边为 ，即正方形的边长为5，
则其面积为： ，
小正方形的面积： ，
从而 .
故答案为：25.
【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。
9．【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图，在 中， ，
即 ，解得 （BM=-2舍去），
因为M是BC的中点，所以MC=4，BC=8，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
在 中，由余弦定理得 .
故答案为： ； .
【分析】三次使用余弦定理求BM，AC， 即可。
10．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
11．【答案】2
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图，
根据已知条件，由，
∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
，
∵AD为的平分线，
∴，
∴
【分析】根据已知条件可先利用正弦定理求得∠C，由特殊角产生等腰得出AD的长.
12．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
根据正弦定理得： ，
∵ ， ，
，
根据余弦定理得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合已知条件求出AB的值。
14．【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 【解答】解：在△BCD中，
根据正弦定理
即 解得BD= ；
COS∠ABD=sin .
【分析】在△BCD中，根据正弦定理即可求出BD；根据两角差的正弦公式，即可求出相应的三角函数值.
15．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由正弦定理可得 , ,代入原式可得 , ∵ 的内角为A，B，C，∴sinA ∴tanB=-1, ∴ .
【分析】利用正弦定理整理化简原式即可求出tanB=-1，进而求出角B的大小。
16．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
17．【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，利用余弦定理， AD=1，AC= ，..
.
【分析】根据题意利用余弦定理在三角形ADC中求出边DC的大小，结合三角形的面积公式求出三角形ADC的面积，再根据题意得面积公式代入数值求出三角形ABC的面积，最后把两个面积加起来即可。
18．【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
19．【答案】（1）∵，
根据正弦定理，
∴；
（2）同理，根据余弦定理得
，代入已知条件得，
∵c>0，解得c=5.
（3）由(1)得，
又∵，
∴
∴.
∴，，
∴
∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知结合正弦定理可直接求得对边正弦值；
(2)由已知条件结合余弦定理可列出二元一次方程求得第三边c的值；
(3)由(1)结合三角形内角和与诱导公式可将(B-C)转化成已知角(A+2B)，在(1)的基础上利用同角三角基本关系与二倍角公式可求得2B的正余弦值，进而由正弦和角公式代入求得答案.
20．【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
21．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
22．【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
23．【答案】（1）在 中，
，
，
，
联立 得 ，即 ，
，
．
（2）若 ，
中， ，
中， ，
，
，
整理得 ，
，
，
，即 或 ，
若 时， ，
则 （舍），
若 ， ，
则 .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
24．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
25．【答案】（1）解：因为 ，
由余弦定理 ，得 ，即 .
所以
（2）解：因为 ，
由正弦定理 ，得 ，所以 .
从而 ，即 ，故 .
因为 ，所以 ，从而 .
因此
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求出c的值。
（2）根据已知条件结合正弦定理得出 ，再利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求出 的值。
26．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
27．【答案】（1）解：由正弦定理得： 由余弦定理得： 在三角形中，
（2）解： A=由正弦定理得：
代入A得： +sin（-C）=2sinC解得：sin（C-）=∴C-=，C=+
∴sinC=（+）=sincos+=cossin=×+×=
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出 sin（C-），从而求出角C的值，再利用两角和的正弦公式求出角C的正弦值.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编13 正弦定理、余弦定理、三角形几何计算
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
2．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
3．（2023·北京卷）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由正弦定理知 ，
，由余弦定理，
，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。
4．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
5．（2021·全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，连接DF，直线DF交AB于M，
则AB＝AM+BM，设则
因为，所以所以
故答案为：A.
【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。
6．（2019·全国Ⅰ卷文） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA= ，则 =（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由已知条件 结合正弦定理，
①
利用余弦定理，得 ②
①②联立得：
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，变形得出b，c的关系式，从而求出 的值。
二、填空题
7．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ．
【答案】
【知识点】秦九韶算法；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解法一：三角形的三边代入公式得
解法二：三角形的三边，代入余弦定理得，则，
则面积.
【分析】直接由秦九韶计算可得面积．
8．（2021·浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 .
【答案】25
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意，直角三角形两条直角边分别为3，4 ，斜边为 ，即正方形的边长为5，
则其面积为： ，
小正方形的面积： ，
从而 .
故答案为：25.
【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。
9．（2021·浙江）在 中， ，M是 的中点， ，则 ， .
【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图，在 中， ，
即 ，解得 （BM=-2舍去），
因为M是BC的中点，所以MC=4，BC=8，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
在 中，由余弦定理得 .
故答案为： ； .
【分析】三次使用余弦定理求BM，AC， 即可。
10．（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
11．（2023·全国甲卷）在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 ．
【答案】2
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图，
根据已知条件，由，
∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
，
∵AD为的平分线，
∴，
∴
【分析】根据已知条件可先利用正弦定理求得∠C，由特殊角产生等腰得出AD的长.
12．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
13．（2019·上海）在 中， ， ，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
根据正弦定理得： ，
∵ ， ，
，
根据余弦定理得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合已知条件求出AB的值。
14．（2019·浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD= .COS∠ABD=
【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 【解答】解：在△BCD中，
根据正弦定理
即 解得BD= ；
COS∠ABD=sin .
【分析】在△BCD中，根据正弦定理即可求出BD；根据两角差的正弦公式，即可求出相应的三角函数值.
15．（2019·全国Ⅱ卷文）△ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，知 ，则 =
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由正弦定理可得 , ,代入原式可得 , ∵ 的内角为A，B，C，∴sinA ∴tanB=-1, ∴ .
【分析】利用正弦定理整理化简原式即可求出tanB=-1，进而求出角B的大小。
16．（2019·全国Ⅱ卷理） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
17．（2019·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261)被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角B形面积的公式，就是S= ，现如图，已知平面四边形ABCD中，AD=1，AC= ，∠ADC=120°，AB= ，BC=2，则平面四边形ABCD的面积是 。
【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，利用余弦定理， AD=1，AC= ，..
.
【分析】根据题意利用余弦定理在三角形ADC中求出边DC的大小，结合三角形的面积公式求出三角形ADC的面积，再根据题意得面积公式代入数值求出三角形ABC的面积，最后把两个面积加起来即可。
三、解答题
18．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
19．（2023·天津卷）在中，角所对的边分別是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求．
【答案】（1）∵，
根据正弦定理，
∴；
（2）同理，根据余弦定理得
，代入已知条件得，
∵c>0，解得c=5.
（3）由(1)得，
又∵，
∴
∴.
∴，，
∴
∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知结合正弦定理可直接求得对边正弦值；
(2)由已知条件结合余弦定理可列出二元一次方程求得第三边c的值；
(3)由(1)结合三角形内角和与诱导公式可将(B-C)转化成已知角(A+2B)，在(1)的基础上利用同角三角基本关系与二倍角公式可求得2B的正余弦值，进而由正弦和角公式代入求得答案.
20．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
21．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
22．（2021·北京）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
【答案】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；
（2） 选择① ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；
选择② ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；
选择③ ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.
23．（2021·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c，已知 =ac，点D在边AC 上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD = b：
（2）若AD = 2DC
.求cos∠ABC.
【答案】（1）在 中，
，
，
，
联立 得 ，即 ，
，
．
（2）若 ，
中， ，
中， ，
，
，
整理得 ，
，
，
，即 或 ，
若 时， ，
则 （舍），
若 ， ，
则 .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
24．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
25．（2019·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为 ，
由余弦定理 ，得 ，即 .
所以
（2）解：因为 ，
由正弦定理 ，得 ，所以 .
从而 ，即 ，故 .
因为 ，所以 ，从而 .
因此
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求出c的值。
（2）根据已知条件结合正弦定理得出 ，再利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求出 的值。
26．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
27．（2019·全国Ⅰ卷理） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
（1）求A；
（2）若 ,求sinC.
【答案】（1）解：由正弦定理得： 由余弦定理得： 在三角形中，
（2）解： A=由正弦定理得：
代入A得： +sin（-C）=2sinC解得：sin（C-）=∴C-=，C=+
∴sinC=（+）=sincos+=cossin=×+×=
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出 sin（C-），从而求出角C的值，再利用两角和的正弦公式求出角C的正弦值.
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