2019-2023高考数学真题分类汇编14 平面向量运算及其应用
一、单选题
1．（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，，，，
，，，
故选：B
【分析】由，，向量坐标运算分别计算，，，再利用公式得出答案。
2．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （ ）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
3．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（ ）
A． B．2 C．5 D．50
【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
4．（2023·北京卷）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
5．（2023·全国甲卷）向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，解得，即.
如下图，
不妨设
由平行四边形法则易得，四边形OAC'B为正方形，
以OA、OB分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，，，则，
∴，
∴
∴.
故选：D.
【分析】由已知向量模与向量和的关系，利用向量性质得出，同时根据特殊数值关系，以分析向量间的位置分布，可结合平面将向量坐标化，进而计算得出向量的夹角余弦值.
6．（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由正方形的边长为2，为中点可知，，，
，
故选：B
【分析】以，为基底表示，运用数量积进行计算。
7．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
8．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
9．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
10．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
11．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
12．（2020·新高考Ⅰ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】 的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
13．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
14．（2019·全国Ⅰ卷理）已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】设 与 的夹角为
∵θ为两向量的夹角，
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出 与 的夹角。
二、填空题
15．（2023·上海卷）已知，求 ；
【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：4
【分析】由数量积的坐标运算代入即得答案.
16．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ．
【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
17．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
18．（2021·北京） ， ， ，则 ； ．
【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
19．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ= .
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
20．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k= 。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
21．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ= 。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
22．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 .
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
23．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m= .
【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
24．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，化简得，
，，
故答案为：
【分析】利用向量性质，同时平方化简得出答案。
25．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
26．（2021·浙江）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】由题意，设 ，
则 ，即 ，所以
依题意 ，所以 在 方向上的投影 ，
所以 ,则表示空间中坐标原点到平面的距离,
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据已知条件，先取特殊值并设，再由投影公式和点到平面的距离公式求解.
27．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝ ．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
28．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k= .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
29．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
30．（2020·浙江）设 ， 为单位向量，满足|2 ﹣ |≤ ， ＝ + ， ＝3 + ，设 ， 的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 、 的夹角为α，由 ， 为单位向量，满足|2 ﹣ |≤ ，
所以4 ﹣4 +＝4 ﹣4cosα+1≤2，
解得cosα≥ ；
又 ＝ + ， ＝3 + ，且 ， 的夹角为θ，
所以 ＝3 +4 + ＝4+4cosα，
＝ +2 + ＝2+2cosα，
＝9 +6 + ＝10+6cosα；
则cos2θ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ，
所以cosα＝ 时，cos2θ取得最小值为 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】设 、 的夹角为α，由题意求出cosα≥ ；再求 ， 的夹角θ的余弦值cos2θ的最小值即可．
31．（2019·全国Ⅲ卷文）已知向量 ，则 .
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知可得 ， ， ，代入向量的夹角公式即可得结果.
32．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos
= 。
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
33．（2019·浙江）已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=4，且a与b不共线若a+kb与a-kb互相垂直，则实数k= ．
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ a+kb与a-kb互相垂直 ∴
【分析】利用两个向量垂直可得，从而得出结果。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编14 平面向量运算及其应用
一、单选题
1．（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （ ）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
3．（2019·全国Ⅱ卷文）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（ ）
A． B．2 C．5 D．50
4．（2023·北京卷）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023·全国甲卷）向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
8．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
10．（2020·新课标Ⅲ·理）已知向量a，b满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2020·新课标Ⅱ·文）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
12．（2020·新高考Ⅰ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
14．（2019·全国Ⅰ卷理）已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2023·上海卷）已知，求 ；
16．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 ．
17．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 ．
18．（2021·北京） ， ， ，则 ； ．
19．（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ= .
20．（2021·全国甲卷）已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若a⊥c，则k= 。
21．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ= 。
22．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 .
23．（2019·北京）已知向量 =（-4.3）， =（6，m），且 ，则m= .
24．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足
25．（2021·新高考Ⅱ卷）已知向量 ，则 ．
26．（2021·浙江）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
27．（2021·全国甲卷）若向量 满足| |＝3，| |＝5， ＝1，则| |＝ ．
28．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k= .
29．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 .
30．（2020·浙江）设 ， 为单位向量，满足|2 ﹣ |≤ ， ＝ + ， ＝3 + ，设 ， 的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 ．
31．（2019·全国Ⅲ卷文）已知向量 ，则 .
32．（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos= 。
33．（2019·浙江）已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=4，且a与b不共线若a+kb与a-kb互相垂直，则实数k= ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，，，，
，，，
故选：B
【分析】由，，向量坐标运算分别计算，，，再利用公式得出答案。
2．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】∵ - =(-1,1), ∴ ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 - 的模的大小即可。
4．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，解得，即.
如下图，
不妨设
由平行四边形法则易得，四边形OAC'B为正方形，
以OA、OB分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，，，则，
∴，
∴
∴.
故选：D.
【分析】由已知向量模与向量和的关系，利用向量性质得出，同时根据特殊数值关系，以分析向量间的位置分布，可结合平面将向量坐标化，进而计算得出向量的夹角余弦值.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由正方形的边长为2，为中点可知，，，
，
故选：B
【分析】以，为基底表示，运用数量积进行计算。
7．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
8．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
9．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ， ， ， .
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
11．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
12．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】 的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
13．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
14．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】 【解答】设 与 的夹角为
∵θ为两向量的夹角，
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出 与 的夹角。
15．【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：4
【分析】由数量积的坐标运算代入即得答案.
16．【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
17．【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
18．【答案】0；3
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
19．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ，则，则 。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
20．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
由得，解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
21．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
22．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
23．【答案】8
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得
解得m=8.
故答案为8.
【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.
24．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，化简得，
，，
故答案为：
【分析】利用向量性质，同时平方化简得出答案。
25．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，即，
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.
26．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】由题意，设 ，
则 ，即 ，所以
依题意 ，所以 在 方向上的投影 ，
所以 ,则表示空间中坐标原点到平面的距离,
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据已知条件，先取特殊值并设，再由投影公式和点到平面的距离公式求解.
27．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
28．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
29．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
30．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 、 的夹角为α，由 ， 为单位向量，满足|2 ﹣ |≤ ，
所以4 ﹣4 +＝4 ﹣4cosα+1≤2，
解得cosα≥ ；
又 ＝ + ， ＝3 + ，且 ， 的夹角为θ，
所以 ＝3 +4 + ＝4+4cosα，
＝ +2 + ＝2+2cosα，
＝9 +6 + ＝10+6cosα；
则cos2θ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ，
所以cosα＝ 时，cos2θ取得最小值为 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】设 、 的夹角为α，由题意求出cosα≥ ；再求 ， 的夹角θ的余弦值cos2θ的最小值即可．
31．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知可得 ， ， ，代入向量的夹角公式即可得结果.
32．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】 【解答】解：∵ ， ，∴ ，展开整理可得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知 ，展开整理可得 ，再求出 ，代入向量的夹角公式即可.
33．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ a+kb与a-kb互相垂直 ∴
【分析】利用两个向量垂直可得，从而得出结果。
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