2019-2023高考数学真题分类汇编15 数列及等差数列
一、选择题
1．（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，
故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。
2．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】设等差数列的首项为，由其公差为，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有两个元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根据题意结合余弦函数周期性分析得出，，即可计算ab的值.
3．（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 是公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】设 ，则 ，
根据题意，有 ，且 ，
所以 ，故 .
故答案为：D
【分析】设 ，可得关于 的方程求解即可.
4．（2021·北京） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，则，则，所以.
故答案为：B
【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.
5．（2020·新课标Ⅰ·文）执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；循环结构
【解析】【解答】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故答案为：C.
【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数n，根据等差数列求和公式即可求出．
6．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
7．（2020·北京）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故答案为：B.
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
8．（2020·浙江）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ≤1．记b1＝S2，bn+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4＝a2+a6 B．2b4＝b2+b6 C．a42＝a2a8 D．b42＝b2b8
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在等差数列{an}中，an=a1+ ( n-1 ) d，
∴a2=a1+d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，bn+1=S2n+2-S2n，
∴b2=S4-S2=a3+a4，b4=S8-S6=a7+a8，b6=S12-S10=a11+a12，b8=S16-S14=a15+a16，
A.2a4=a2+a6，根据等差数列的性质可得A正确，
B.若2b4=b2+b6，则2 ( a7+a8)=a3+a4+a11+a12=( a3+a12)+( a4＋a11 )，成立，B正确，
C．若a42=a2a8，则 ( a1+3d ) 2= ( a1+d ) ( a1+7d ) ，
即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d＋7d2，得a1d=d2，
∵d≠0，∴a=d，符合 ≤1，C正确；
D.若b42=b2b8，则( a7+a8 ) 2= ( a3+a4 ) ( a15+a16 )，
即4a12+52a1d+169d2=4a12+68a1d+145d2，得16a1d=24d2，
∵d≠0，∴2a1=3d，不符合 ≤1，D错误；
故答案为：D．
【分析】由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得b2，b4，b6，b8，分析B，D成立时是否满足公差d≠0， ≤1判断B与D．
9．（2019·全国Ⅰ卷理）记Sn为等差数列 的前n项和。已知 =0， =5，则（ ）
A．an=2n-5 B．an=3n-10
C．Sn=2n2-8n D．Sn= n2-2n
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】 利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式得，
①
②
①②联立求出:
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
10．（2019·浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn= n2+ n+3(n∈N*)，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．数列{an}是递增数列
C．a1，a5，a9成等差数列
D．S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：利用前n项和公式即可求出当n≥2时的，
因为[]=,
当n=1时，，所
以，故A选项不正确，
该数列从第二项开始才为等差数列，B选项也是第一项不满足，C选项也涉及到第一项不合乎题意，D选项不直接涉及到第一项故正确。
故答案为：D
【分析】首先利用已知条件结合的关系式求出数列的通项公式，该数列时从第二项开始的等差数列，由此针对每一个选项判断即可得出结论。
11．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
二、填空题
12．（2022·全国乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
【答案】2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由 可得 ，化简得 ，即 ，解得 .
故答案为：2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
13．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
14．（2019·江苏）已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则 的值是 .
【答案】16
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】 数列 是等差数列，又
利用等差数列通项公式 得：
①
是等差数列 前n项和，且
利用等差数列前n项和公式 得：
②
①②联立，得：
【分析】根据已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n项和公式求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式求出等差数列前8项的和。
15．（2019·全国Ⅲ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若 ，则 .
【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：100.
【分析】由已知列式 ，得到 ，代入等差数列的求和公式即可求值.
16．（2019·全国Ⅲ卷理）记Sn为等差数列{an}项和，若a1≠0，a2=3a1，则 = 。
【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵等差数列{an}中 ，∴ ，∴ ，
故答案为：4.
【分析】由已知得到 ，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.
17．（2019·北京）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3，S5=-10，则a5= ，Sn的最小值为 .
【答案】0；-10
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】解： ，
解得 ，所以 ，
，
根据二次函数的性质，当n=4或5时， 有最小值-10.
故答案为：0；-10.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出 和 ，结合二次函数的性质求出最小值即可.
三、解答题
18．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
19．（2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
20．（2023·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，
（1）求的通项公式.
（2）证明：当n>5时，>.
【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为
（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时
则，即
②当n为奇数且n>5，此时
则，即
综上所述，当时，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列通项公式与前n项和公式代入求解；
（2）分组求出当为奇数和偶数的值，与作差结合二次函数或因式分解比较代数式的大小。
21．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
22．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ，从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
23．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
24．（2021·新高考Ⅰ）已知数列{ }满足 =1，
（1）记 = ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和
【答案】（1） 为偶数，
则 ， ，
，即 ，且 ，
是以 为首项，3为公差的等差数列，
， ， ．
（2）当 为奇数时， ，
的前 项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
25．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
26．（2019·全国Ⅰ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5
（1）若a3=4，求{an}的通项公式。
（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。
【答案】（1） 解：设 的公差为d．
由 得 ．
由a3=4得 ．
于是 ．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 ．
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
( 2 )由（1）得 ，故 .
由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。
27．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1，n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为1，n>1，推导出 ，显然 为等差数列 。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编15 数列及等差数列
一、选择题
1．（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
2．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 是公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（2021·北京） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
5．（2020·新课标Ⅰ·文）执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
6．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
7．（2020·北京）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
8．（2020·浙江）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ≤1．记b1＝S2，bn+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4＝a2+a6 B．2b4＝b2+b6 C．a42＝a2a8 D．b42＝b2b8
9．（2019·全国Ⅰ卷理）记Sn为等差数列 的前n项和。已知 =0， =5，则（ ）
A．an=2n-5 B．an=3n-10
C．Sn=2n2-8n D．Sn= n2-2n
10．（2019·浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn= n2+ n+3(n∈N*)，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．数列{an}是递增数列
C．a1，a5，a9成等差数列
D．S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列
11．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
12．（2022·全国乙卷）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
13．（2020·新课标Ⅱ·文）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
14．（2019·江苏）已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则 的值是 .
15．（2019·全国Ⅲ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若 ，则 .
16．（2019·全国Ⅲ卷理）记Sn为等差数列{an}项和，若a1≠0，a2=3a1，则 = 。
17．（2019·北京）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3，S5=-10，则a5= ，Sn的最小值为 .
三、解答题
18．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
19．（2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（2023·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，
（1）求的通项公式.
（2）证明：当n>5时，>.
21．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
22．（2021·全国甲卷）记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．
23．（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
24．（2021·新高考Ⅰ）已知数列{ }满足 =1，
（1）记 = ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和
25．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
26．（2019·全国Ⅰ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5
（1）若a3=4，求{an}的通项公式。
（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。
27．（2021·全国甲卷）已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，
故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】设等差数列的首项为，由其公差为，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有两个元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根据题意结合余弦函数周期性分析得出，，即可计算ab的值.
3．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】设 ，则 ，
根据题意，有 ，且 ，
所以 ，故 .
故答案为：D
【分析】设 ，可得关于 的方程求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，则，则，所以.
故答案为：B
【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；循环结构
【解析】【解答】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故答案为：C.
【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数n，根据等差数列求和公式即可求出．
6．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
7．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故答案为：B.
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
8．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在等差数列{an}中，an=a1+ ( n-1 ) d，
∴a2=a1+d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，bn+1=S2n+2-S2n，
∴b2=S4-S2=a3+a4，b4=S8-S6=a7+a8，b6=S12-S10=a11+a12，b8=S16-S14=a15+a16，
A.2a4=a2+a6，根据等差数列的性质可得A正确，
B.若2b4=b2+b6，则2 ( a7+a8)=a3+a4+a11+a12=( a3+a12)+( a4＋a11 )，成立，B正确，
C．若a42=a2a8，则 ( a1+3d ) 2= ( a1+d ) ( a1+7d ) ，
即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d＋7d2，得a1d=d2，
∵d≠0，∴a=d，符合 ≤1，C正确；
D.若b42=b2b8，则( a7+a8 ) 2= ( a3+a4 ) ( a15+a16 )，
即4a12+52a1d+169d2=4a12+68a1d+145d2，得16a1d=24d2，
∵d≠0，∴2a1=3d，不符合 ≤1，D错误；
故答案为：D．
【分析】由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得b2，b4，b6，b8，分析B，D成立时是否满足公差d≠0， ≤1判断B与D．
9．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】 利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式得，
①
②
①②联立求出:
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
10．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：利用前n项和公式即可求出当n≥2时的，
因为[]=,
当n=1时，，所
以，故A选项不正确，
该数列从第二项开始才为等差数列，B选项也是第一项不满足，C选项也涉及到第一项不合乎题意，D选项不直接涉及到第一项故正确。
故答案为：D
【分析】首先利用已知条件结合的关系式求出数列的通项公式，该数列时从第二项开始的等差数列，由此针对每一个选项判断即可得出结论。
11．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
12．【答案】2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由 可得 ，化简得 ，即 ，解得 .
故答案为：2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
13．【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为：25.
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.
14．【答案】16
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】 数列 是等差数列，又
利用等差数列通项公式 得：
①
是等差数列 前n项和，且
利用等差数列前n项和公式 得：
②
①②联立，得：
【分析】根据已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n项和公式求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式求出等差数列前8项的和。
15．【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：100.
【分析】由已知列式 ，得到 ，代入等差数列的求和公式即可求值.
16．【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】 【解答】解：∵等差数列{an}中 ，∴ ，∴ ，
故答案为：4.
【分析】由已知得到 ，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.
17．【答案】0；-10
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】解： ，
解得 ，所以 ，
，
根据二次函数的性质，当n=4或5时， 有最小值-10.
故答案为：0；-10.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出 和 ，结合二次函数的性质求出最小值即可.
18．【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
19．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
20．【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为
（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时
则，即
②当n为奇数且n>5，此时
则，即
综上所述，当时，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列通项公式与前n项和公式代入求解；
（2）分组求出当为奇数和偶数的值，与作差结合二次函数或因式分解比较代数式的大小。
21．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
22．【答案】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由 数列 是等差数列 ，及 ，即可得到 等差数列 的公差 ，从而得到 ， ，进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
23．【答案】（1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2)
+ =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1=
故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =
故an=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。
24．【答案】（1） 为偶数，
则 ， ，
，即 ，且 ，
是以 为首项，3为公差的等差数列，
， ， ．
（2）当 为奇数时， ，
的前 项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
25．【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
26．【答案】（1） 解：设 的公差为d．
由 得 ．
由a3=4得 ．
于是 ．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 ．
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
( 2 )由（1）得 ，故 .
由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。
27．【答案】选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1，n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为1，n>1，推导出 ，显然 为等差数列 。
1 / 1
