【精品解析】2019-2023高考数学真题分类汇编18 等差、等比数列综合

2019-2023高考数学真题分类汇编18 等差、等比数列综合
一、选择题
1．（2021·浙江）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023·北京卷）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则　 　；数列所有项的和为　 　．
3．（2020·新高考Ⅰ）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为　 　．
4．（2020·江苏）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是　 　．
三、解答题
5．（2023·天津卷）已知为等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
6．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
7．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
8．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
9．（2021·浙江）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围.
10．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
11．（2020·新课标Ⅲ·文）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
12．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
13．（2019·上海）已知数列 ， ，前 项和为 ．
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围．
14．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
15．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
16．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
17．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
18．（2022·天津市）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
19．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
20．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
21．（2020·江苏）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
22．（2020·浙江）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝ cn（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+ ．
23．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
24．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，且
由 可得
，即由
∴，即
∴ ，当且仅当 时取等号，
，
所以
即 ．
故答案为：A．
【分析】由递推公式，先得到，进一步推导出，然后用累加法等推导出。
2．【答案】48；384
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知 ，设后7项公比为
后7项成等比数列 ，
公比，
首项，
，
后7项和为
前3项成等差数列，
前3项成和为，
数列所有项的和为.
故答案为：48；384
【分析】通过等比中项依次求出 ，，在利用 成等差数列，等比数列求和公式求出数列所有项的和。
3．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【解答】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
4．【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，根据题意 .
等差数列 的前n项和公式为 ，
等比数列 的前n项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：4
【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
5．【答案】（1）解：设等差数列 的首项为，公差为d，
∴．
解得：
∴通项公式为，
由求和项数为，
∴
（2）(Ⅰ)由(1)，
∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，即，(k≥2)
故(k≥2)；
证毕！
（Ⅱ） 由(1)得，，则，
设的公比为q，
则，即恒成立，
当，则，
∴此时为使q在实数范围内恒成立，q=2，
此时
同理，由
∴
∴，即恒成立，
故，
∴，
∴，
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用通项公式将已知等差数列各项的关系转化为首项与公差的方程组，进而解方程组得出通项公式；利用等差数列通项公式结合求和符号及其意义代入计算得出 ；
(2)根据题意易得 ，从而为分析q与首项，即得，从而结合不等式恒成立分析得出q的值；结合n的取值此处分析，同理，通过不等式恒成立分析即可得出.
6．【答案】解：（Ⅰ） 设 ，依题意得， .
解得 ，则 ，
于是 .
（Ⅱ）设 ，依题意得，
，
故
对任意正整数n成立.
时，显然成立；
时， ，则 ；
时， .
综上所述， .
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列 的首项 及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；
（Ⅱ） 设 ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．
7．【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素的个数问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
8．【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
9．【答案】（1）解：当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，①②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据递推公式，证明 {an} 是等比数列 ，进一步求得an，
（2）先由an与bn的关系，求出bn，然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn；
在由 恒成立，进一步求得 的取值范围。
10．【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
11．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以
（2）解：令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，根据已知列出关于 的等量关系式，求得结果.
12．【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
13．【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解： ，
存在， ，且 ，
，
， ，
或 ，
公比 的取值范围为 ．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的首项和公差结合等差数列前n项和公式求出等差数列前n项和。
（2）利用等比数列前n项和公式结合求极限的方法和数列极限的取值范围求出等比数列公比的取值范围。
14．【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
15．【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
16．【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
17．【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
18．【答案】（1）解：设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）解：因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式，进而得出数列 与的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和分析法证出 成立。
（3）利用已知条件结合数列 与的通项公式和错位相减的方法得出 的值。
19．【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
20．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
21．【答案】（1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ；（3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
22．【答案】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，
∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，
整理，得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝﹣ （舍去），或q＝ ，
∴cn+1＝ cn＝ cn＝ cn＝ cn＝4 cn，
∴数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴cn＝1 4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．
∴an+1﹣an＝cn+1＝4n，
则a1＝1，
a2﹣a1＝41，
a3﹣a2＝42，
……
an﹣an﹣1＝4n﹣1，
各项相加，可得
an＝1+41+42+…+4n﹣1＝ ＝ ．
（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝ cn（n∈N*），可得
bn+2 cn+1＝bn cn，
两边同时乘以bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn，
∵b1b2c1＝b2＝1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，
bnbn+1cn＝1+d，
∴cn＝ ＝ ＝（1+ ） ＝（1+ ）（ ﹣ ），
∴c1+c2+…+cn
＝（1+ ）（ ﹣ ）+（1+ ）（ ﹣ ）+…+（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（1﹣ ）
＜1+ ，
∴c1+c2+…+cn＜1+ ，故得证．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】本题第（Ⅰ）题先根据等比数列的通项公式将b2＝q，b3＝q2代入b1+b2＝6b3，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简cn+1＝ cn可得cn+1＝4cn，则可发现数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{cn}的通项公式，然后将通项公式代入cn+1＝an+1﹣an，可得an+1﹣an＝cn+1＝4n，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题通过将已知关系式cn+1＝ cn不断进行转化可构造出数列{bnbn+1cn}，且可得到数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，从而可得bnbn+1cn＝1+d，再计算得到cn＝ ，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．
23．【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
24．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编18 等差、等比数列综合
一、选择题
1．（2021·浙江）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，且
由 可得
，即由
∴，即
∴ ，当且仅当 时取等号，
，
所以
即 ．
故答案为：A．
【分析】由递推公式，先得到，进一步推导出，然后用累加法等推导出。
二、填空题
2．（2023·北京卷）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则　 　；数列所有项的和为　 　．
【答案】48；384
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知 ，设后7项公比为
后7项成等比数列 ，
公比，
首项，
，
后7项和为
前3项成等差数列，
前3项成和为，
数列所有项的和为.
故答案为：48；384
【分析】通过等比中项依次求出 ，，在利用 成等差数列，等比数列求和公式求出数列所有项的和。
3．（2020·新高考Ⅰ）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【解答】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
4．（2020·江苏）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是　 　．
【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，根据题意 .
等差数列 的前n项和公式为 ，
等比数列 的前n项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：4
【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
三、解答题
5．（2023·天津卷）已知为等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】（1）解：设等差数列 的首项为，公差为d，
∴．
解得：
∴通项公式为，
由求和项数为，
∴
（2）(Ⅰ)由(1)，
∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，即，(k≥2)
故(k≥2)；
证毕！
（Ⅱ） 由(1)得，，则，
设的公比为q，
则，即恒成立，
当，则，
∴此时为使q在实数范围内恒成立，q=2，
此时
同理，由
∴
∴，即恒成立，
故，
∴，
∴，
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用通项公式将已知等差数列各项的关系转化为首项与公差的方程组，进而解方程组得出通项公式；利用等差数列通项公式结合求和符号及其意义代入计算得出 ；
(2)根据题意易得 ，从而为分析q与首项，即得，从而结合不等式恒成立分析得出q的值；结合n的取值此处分析，同理，通过不等式恒成立分析即可得出.
6．（2022·浙江）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） 设 ，依题意得， .
解得 ，则 ，
于是 .
（Ⅱ）设 ，依题意得，
，
故
对任意正整数n成立.
时，显然成立；
时， ，则 ；
时， .
综上所述， .
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列 的首项 及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；
（Ⅱ） 设 ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．
7．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素的个数问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
8．（2022·全国甲卷）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
9．（2021·浙江）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，①②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据递推公式，证明 {an} 是等比数列 ，进一步求得an，
（2）先由an与bn的关系，求出bn，然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn；
在由 恒成立，进一步求得 的取值范围。
10．（2021·全国乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .
11．（2020·新课标Ⅲ·文）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以
（2）解：令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，根据已知列出关于 的等量关系式，求得结果.
12．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
13．（2019·上海）已知数列 ， ，前 项和为 ．
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围．
【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解： ，
存在， ，且 ，
，
， ，
或 ，
公比 的取值范围为 ．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的首项和公差结合等差数列前n项和公式求出等差数列前n项和。
（2）利用等比数列前n项和公式结合求极限的方法和数列极限的取值范围求出等比数列公比的取值范围。
14．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
15．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
16．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
17．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
18．（2022·天津市）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
【答案】（1）解：设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）解：因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式，进而得出数列 与的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和分析法证出 成立。
（3）利用已知条件结合数列 与的通项公式和错位相减的方法得出 的值。
19．（2021·天津）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；
（2）（ⅰ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ⅱ）利用放缩法得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
20．（2020·天津）已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
【答案】解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
21．（2020·江苏）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
【答案】（1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ，即得 ；（3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
22．（2020·浙江）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝ cn（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+ ．
【答案】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，
∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，
整理，得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝﹣ （舍去），或q＝ ，
∴cn+1＝ cn＝ cn＝ cn＝ cn＝4 cn，
∴数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴cn＝1 4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．
∴an+1﹣an＝cn+1＝4n，
则a1＝1，
a2﹣a1＝41，
a3﹣a2＝42，
……
an﹣an﹣1＝4n﹣1，
各项相加，可得
an＝1+41+42+…+4n﹣1＝ ＝ ．
（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝ cn（n∈N*），可得
bn+2 cn+1＝bn cn，
两边同时乘以bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn，
∵b1b2c1＝b2＝1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，
bnbn+1cn＝1+d，
∴cn＝ ＝ ＝（1+ ） ＝（1+ ）（ ﹣ ），
∴c1+c2+…+cn
＝（1+ ）（ ﹣ ）+（1+ ）（ ﹣ ）+…+（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（1﹣ ）
＜1+ ，
∴c1+c2+…+cn＜1+ ，故得证．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】本题第（Ⅰ）题先根据等比数列的通项公式将b2＝q，b3＝q2代入b1+b2＝6b3，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简cn+1＝ cn可得cn+1＝4cn，则可发现数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{cn}的通项公式，然后将通项公式代入cn+1＝an+1﹣an，可得an+1﹣an＝cn+1＝4n，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题通过将已知关系式cn+1＝ cn不断进行转化可构造出数列{bnbn+1cn}，且可得到数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，从而可得bnbn+1cn＝1+d，再计算得到cn＝ ，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．
23．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
24．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
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