2019-2023高考数学真题分类汇编20 棱柱、棱锥、棱台、旋转体的体积面积距离

2019-2023高考数学真题分类汇编20 棱柱、棱锥、棱台、旋转体的体积面积距离
一、选择题
1．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（　　）
A．26% B．34% C．42% D．50%
4．（2021·新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·全国甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
7．（2023·全国甲卷）在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·天津卷）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·天津市）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（　　）
A．23 B．24 C．26 D．27
11．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 和 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
12．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
13．（2022·全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（2021·北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
16．（2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A． B． C． D．
17．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
18．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
19．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
20．（2018·全国Ⅰ卷文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A． B．12π C． D．
21．（2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
22．（2019·全国Ⅰ卷理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC， ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点， CEF=90°，则球O的体积为（　　）
A． B． C． D．
23．（2019·浙江）已知四面体ABCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=2，AD=3，∠ACD=120°，则四面体ABCD体积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为45°，则（　　）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
25．（2022·新高考Ⅱ卷）如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（　　）
A． B． C． D．
26．（2021·新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC- 中，AB=AA1=1，点P满足 ，其中λ∈[0，1]， ∈[0，1]，则（　　）
A．当λ=1时，△ P的周长为定值
B．当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．当λ= 时，有且仅有一个点P，使得
D．当 = 时，有且仅有一个点P，使得 B⊥平面A P
三、填空题
27．（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　 　 .
28．（2020·浙江）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为　 　．
29．（2023·全国甲卷）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为　 　．
30．（2021·全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　 　．
31．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
32．（2020·新高考Ⅰ）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　 　．
33．（2020·江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是　 　cm.
34．（2019·江苏）如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是　 　.
35．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　 　.
36．（2019·全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　 　g.
37．（2023·全国乙卷）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，
代入棱台的体积公式，得，
故选：C
【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.
2．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以棱台的体积为
故答案为：D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
3．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：==≈0.42=42%
故答案为：C
【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
4．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】
取中点O，连接，
是边长为2的等边三角形，，
且，
，
又，，
，
.
故选：A
【分析】通过证明，得出PO为棱锥的高，进而利用体积公式求解。
7．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，连接AC，
在正方形中，
在△PAC中，根据余弦定理
，解得：.
又∵，
根据对称性可知PB=PA=，
此时在△PBC中，根据余弦定理可得
，
∴，
∴，
故选：C.
【分析】根据题意结合余弦定理得出PA，结合与底面正方形对称性得出PA=PB，则在已知三边的三角形中，结合余弦定理得出夹角正弦值及其面积.
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，
设，
∵，，
∴，
，
故选：B
【分析】利用同高将三棱锥体积之比转化成底面积之比，由已知两三角形边存在数量关系易联想正弦定理求三角形面积得出底面积之比.
9．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如下图，取AB中点C，连接PC，
依题意得∵∠AOB=120°，，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据题意画出草图计算圆锥体高结合圆锥体积公式得出答案.
10．【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以，
在直棱柱中，平面BHC，则，
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故答案为：D.
【分析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，再利用，进而得出的长，再利用重叠后的底面为正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，设重叠后的EG与交点为再结合棱锥体积公式和棱柱体积公式，再利用几何法和作差法得出该几何体的体积。
11．【答案】A
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 ，所以球的表面积为 ．
故答案为：A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积．
12．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则，
所以r1=2r2，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1，r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
13．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆的半径为r，则
所以该四棱锥的高 ，则
当且仅当 ，即 时等号成立，所以四棱锥的高为
故选：C
【分析】假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆的半径为r，则 ，所以该四棱锥的高 ，得到四棱锥体积表达式，再利用基本不等式去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
14．【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
15．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，则r=50
则雨水的体积为，
则降雨的厚度（高度）为
故答案为：B
【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.
16．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1，即AD=3BD，
设球的半径为R，则，解得R=2，
所以AB=AD+BD=4BD=4，
所以BD=1，AD=3
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCD
又因为∠ADC=∠BDC
所以△ACD∽△CBD
所以
∴
∴这两个圆锥的体积之和为
故答案为：B
【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.
17．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
18．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
19．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
20．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设上下半径为r，则高为2r，
∴ 。
则圆柱表面积为 ，
故答案为：B.
【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，得到圆柱的高为8，底面直径为8，由此求圆柱的表面积.
21．【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
22．【答案】D
【知识点】球内接多面体
【解析】 【解答】设 则
在 中，由中线定理得：
利用勾股定理，得：
求出 所以
【分析】利用三棱锥P-ABC的结构特征结合三棱锥与球O的位置关系，再利用中线定理和勾股定理求出球O的半径，再利用球的体积公式结合球的半径求出球O的体积。
23．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】不妨以△ACD为底，B到平面ACD的距离为高来考虑四面体ABCD的体积.
在△ACD中，设AC=m，DC=n，则由余弦定理知32=m2+n2+mn，
由基本不等式知32=m2+n2+mn≥3mn，即mn≤3，
所以S△ACD=mn·sin120°=mn≤，
另一方面，设斜线CB与平面ACD所成角为θ，
则由最小角定理知θ≤60°，从而sinθ≤，
所以B到平面ACD的距离h=|CB|sinθ≤，
所以V=S△ACD·h≤··=，
故答案为：D.
【分析】先由已知利用余弦定理和基本不等式，得到mn≤3，可得S△ACD≤，再由最小角定理得sinθ≤，即可求出四面体ABCD体积的最大值.
24．【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图
， ，
在中，
A：圆锥体积，故A正确；
B：圆锥侧面积，故B错误；
C、D：设D为中点，连接，，
在等腰，有，，
二面角的平面角为，即，
在等腰中有，，
在中，，AC=2AD=
，故C正确，D错误。
故选：AC
【分析】画图分析，由圆锥几何特征求出圆锥半径和高，结合圆锥体体积与扇形面积可判断A、B，由二面角分析构造垂直转化为，再计算即可判断C、D。
25．【答案】C,D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设 ，因为 平面 ， ，则 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则 ，
则 ， ，
，则 ， ， ，
则 ，则 ， ， ，A、B不符合题意；C、D符合题意.
故答案为：CD
【分析】直接由体积公式计算 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 计算出 ，依次判断选项即可.
26．【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由 点P满足 可知点P在正方形BCC1B1内，
对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中，，
因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.
对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，
易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，
△A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，分别取线段BB1，CC1的中点M，N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
很显然若点P与D，D1重合，均满足题意，故C错误；
对于D，当时，分别取线段BB1，CC1的中点D，D1，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.
27．【答案】28
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图
根据题意，如图，，，，
由相似易得 ，
，，，
故答案为：28
【分析】由相似易得所截棱台的高，结合棱台体积公式直接求解。
28．【答案】1
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，
设圆锥的母线长为a，则 a2π＝2π，∴a＝2，
∴侧面展开扇形的弧长为2π，
设圆锥的底面半径OC＝r，则2πr＝2π，解得r＝1．
故答案为：1．
【分析】利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．
29．【答案】12
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图所示，分别取中点G、M、N，
设正方体的边长为，易得，
，即以EF为直径的球半径为，
易得，
故以EF为直径的球面经过点N，
同理，由对称性可知，以EF为直径的球面经过正方体任一边上的中点，
此时球与棱均相切，即与正方体的棱均只有一个交点，
故答案为：12
【分析】由正方体与球的结构特点结合对称性分析易得出答案.
30．【答案】39π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得，
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
31．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
32．【答案】
【知识点】球面距离及相关计算；直线与平面垂直的性质；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如图：
取 的中点为E， 的中点为F， 的中点为 ，
因为 60°，直四棱柱 的棱长均为2，所以△ 为等边三角形，所以 ， ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 侧面 ，
设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，
因为球的半径为 ， ，所以 ，
所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，
因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，
因为 ，所以 ，
所以根据弧长公式可得 .
故答案为： .
【分析】根据已知条件易得 ， 侧面 ，可得侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，可得侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，再根据弧长公式可求得结果.
33．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
34．【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
在长方体中， 平面 又 在 上， 平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体 的体积是120，
又为 的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
35．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
36．【答案】118.8
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】 【解答】解：∵E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，
∴四棱锥O —EFGH的体积 ，
又∵长方体 的体积 ，∴该模型的体积 ，
∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8g，
故答案为118.8.
【分析】由已知得到四棱锥O —EFGH和长方体 的体积，求出该模型的体积 ，即可求出制作该模型所需原料的质量.
37．【答案】2
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，设外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，解得：
设直三棱锥外接球球心为，连接，，
，
易得
又，
∴，
.
故答案为：2
【分析】先利用正弦定理求外接圆半径，再利用直三棱锥外接球性质求.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编20 棱柱、棱锥、棱台、旋转体的体积面积距离
一、选择题
1．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，
代入棱台的体积公式，得，
故选：C
【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.
2．（2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以棱台的体积为
故答案为：D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
3．（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（　　）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：==≈0.42=42%
故答案为：C
【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
4．（2021·新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．（2023·全国甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】
取中点O，连接，
是边长为2的等边三角形，，
且，
，
又，，
，
.
故选：A
【分析】通过证明，得出PO为棱锥的高，进而利用体积公式求解。
7．（2023·全国甲卷）在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，连接AC，
在正方形中，
在△PAC中，根据余弦定理
，解得：.
又∵，
根据对称性可知PB=PA=，
此时在△PBC中，根据余弦定理可得
，
∴，
∴，
故选：C.
【分析】根据题意结合余弦定理得出PA，结合与底面正方形对称性得出PA=PB，则在已知三边的三角形中，结合余弦定理得出夹角正弦值及其面积.
8．（2023·天津卷）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，
设，
∵，，
∴，
，
故选：B
【分析】利用同高将三棱锥体积之比转化成底面积之比，由已知两三角形边存在数量关系易联想正弦定理求三角形面积得出底面积之比.
9．（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如下图，取AB中点C，连接PC，
依题意得∵∠AOB=120°，，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据题意画出草图计算圆锥体高结合圆锥体积公式得出答案.
10．（2022·天津市）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（　　）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以，
在直棱柱中，平面BHC，则，
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故答案为：D.
【分析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，再利用，进而得出的长，再利用重叠后的底面为正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，设重叠后的EG与交点为再结合棱锥体积公式和棱柱体积公式，再利用几何法和作差法得出该几何体的体积。
11．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 和 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【答案】A
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 ，所以球的表面积为 ．
故答案为：A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积．
12．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则，
所以r1=2r2，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1，r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
13．（2022·全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆的半径为r，则
所以该四棱锥的高 ，则
当且仅当 ，即 时等号成立，所以四棱锥的高为
故选：C
【分析】假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆的半径为r，则 ，所以该四棱锥的高 ，得到四棱锥体积表达式，再利用基本不等式去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
14．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
15．（2021·北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，则r=50
则雨水的体积为，
则降雨的厚度（高度）为
故答案为：B
【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.
16．（2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1，即AD=3BD，
设球的半径为R，则，解得R=2，
所以AB=AD+BD=4BD=4，
所以BD=1，AD=3
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCD
又因为∠ADC=∠BDC
所以△ACD∽△CBD
所以
∴
∴这两个圆锥的体积之和为
故答案为：B
【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.
17．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
18．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
19．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
20．（2018·全国Ⅰ卷文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A． B．12π C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设上下半径为r，则高为2r，
∴ 。
则圆柱表面积为 ，
故答案为：B.
【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，得到圆柱的高为8，底面直径为8，由此求圆柱的表面积.
21．（2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
22．（2019·全国Ⅰ卷理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC， ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点， CEF=90°，则球O的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球内接多面体
【解析】 【解答】设 则
在 中，由中线定理得：
利用勾股定理，得：
求出 所以
【分析】利用三棱锥P-ABC的结构特征结合三棱锥与球O的位置关系，再利用中线定理和勾股定理求出球O的半径，再利用球的体积公式结合球的半径求出球O的体积。
23．（2019·浙江）已知四面体ABCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=2，AD=3，∠ACD=120°，则四面体ABCD体积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】不妨以△ACD为底，B到平面ACD的距离为高来考虑四面体ABCD的体积.
在△ACD中，设AC=m，DC=n，则由余弦定理知32=m2+n2+mn，
由基本不等式知32=m2+n2+mn≥3mn，即mn≤3，
所以S△ACD=mn·sin120°=mn≤，
另一方面，设斜线CB与平面ACD所成角为θ，
则由最小角定理知θ≤60°，从而sinθ≤，
所以B到平面ACD的距离h=|CB|sinθ≤，
所以V=S△ACD·h≤··=，
故答案为：D.
【分析】先由已知利用余弦定理和基本不等式，得到mn≤3，可得S△ACD≤，再由最小角定理得sinθ≤，即可求出四面体ABCD体积的最大值.
二、多项选择题
24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为45°，则（　　）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图
， ，
在中，
A：圆锥体积，故A正确；
B：圆锥侧面积，故B错误；
C、D：设D为中点，连接，，
在等腰，有，，
二面角的平面角为，即，
在等腰中有，，
在中，，AC=2AD=
，故C正确，D错误。
故选：AC
【分析】画图分析，由圆锥几何特征求出圆锥半径和高，结合圆锥体体积与扇形面积可判断A、B，由二面角分析构造垂直转化为，再计算即可判断C、D。
25．（2022·新高考Ⅱ卷）如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设 ，因为 平面 ， ，则 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则 ，
则 ， ，
，则 ， ， ，
则 ，则 ， ， ，A、B不符合题意；C、D符合题意.
故答案为：CD
【分析】直接由体积公式计算 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 计算出 ，依次判断选项即可.
26．（2021·新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC- 中，AB=AA1=1，点P满足 ，其中λ∈[0，1]， ∈[0，1]，则（　　）
A．当λ=1时，△ P的周长为定值
B．当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．当λ= 时，有且仅有一个点P，使得
D．当 = 时，有且仅有一个点P，使得 B⊥平面A P
【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由 点P满足 可知点P在正方形BCC1B1内，
对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中，，
因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.
对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，
易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，
△A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，分别取线段BB1，CC1的中点M，N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
很显然若点P与D，D1重合，均满足题意，故C错误；
对于D，当时，分别取线段BB1，CC1的中点D，D1，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.
三、填空题
27．（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　 　 .
【答案】28
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图
根据题意，如图，，，，
由相似易得 ，
，，，
故答案为：28
【分析】由相似易得所截棱台的高，结合棱台体积公式直接求解。
28．（2020·浙江）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为　 　．
【答案】1
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，
设圆锥的母线长为a，则 a2π＝2π，∴a＝2，
∴侧面展开扇形的弧长为2π，
设圆锥的底面半径OC＝r，则2πr＝2π，解得r＝1．
故答案为：1．
【分析】利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．
29．（2023·全国甲卷）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为　 　．
【答案】12
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图所示，分别取中点G、M、N，
设正方体的边长为，易得，
，即以EF为直径的球半径为，
易得，
故以EF为直径的球面经过点N，
同理，由对称性可知，以EF为直径的球面经过正方体任一边上的中点，
此时球与棱均相切，即与正方体的棱均只有一个交点，
故答案为：12
【分析】由正方体与球的结构特点结合对称性分析易得出答案.
30．（2021·全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　 　．
【答案】39π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得，
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
31．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
32．（2020·新高考Ⅰ）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　 　．
【答案】
【知识点】球面距离及相关计算；直线与平面垂直的性质；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如图：
取 的中点为E， 的中点为F， 的中点为 ，
因为 60°，直四棱柱 的棱长均为2，所以△ 为等边三角形，所以 ， ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 侧面 ，
设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，
因为球的半径为 ， ，所以 ，
所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，
因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，
因为 ，所以 ，
所以根据弧长公式可得 .
故答案为： .
【分析】根据已知条件易得 ， 侧面 ，可得侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，可得侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，再根据弧长公式可求得结果.
33．（2020·江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是　 　cm.
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
34．（2019·江苏）如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是　 　.
【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
在长方体中， 平面 又 在 上， 平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体 的体积是120，
又为 的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
35．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
36．（2019·全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　 　g.
【答案】118.8
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】 【解答】解：∵E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，
∴四棱锥O —EFGH的体积 ，
又∵长方体 的体积 ，∴该模型的体积 ，
∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8g，
故答案为118.8.
【分析】由已知得到四棱锥O —EFGH和长方体 的体积，求出该模型的体积 ，即可求出制作该模型所需原料的质量.
37．（2023·全国乙卷）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则　 　．
【答案】2
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，设外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，解得：
设直三棱锥外接球球心为，连接，，
，
易得
又，
∴，
.
故答案为：2
【分析】先利用正弦定理求外接圆半径，再利用直三棱锥外接球性质求.
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