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2019-2023高考数学真题分类汇编23 平面解析几何（1）
一、选择题
1．（2023·北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2023·全国甲卷）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津卷）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
8．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
9．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若面积是 的 2 倍， 则m=（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·天津市）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2023·新高考Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与C交于M，N两点，为C的准线，则（ ）
A． B．
C．以MN为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
三、填空题
12．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
13．（2023·天津卷）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
14．（2023·全国乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
15．（2023·上海卷）已知的面积为，求 ；
16．（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的的一个值
17．（2022·天津市）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
18．（2022·浙江）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 ．
19．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为 ．
四、解答题
20．（2023·北京卷）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
21．（2023·全国甲卷）已知直线与抛物线交于两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．
22．（2023·全国甲卷）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且．
（1）求；
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
23．（2023·天津卷）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
24．（2023·全国乙卷）已知椭圆C：的离心率为，点在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
25．（2023·全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
26．（2023·上海卷）已知抛物线，A为第一象限内上的一点，设点的纵坐标是.
（1）若到抛物线的准线的距离为3，求的值；
（2）若B为轴上一点，且线段的中点在上，求点坐标及原点O到直线的距离；
（3）设直线，是第一象限上异于的一点，直线交于点H是在上的投影，若点满足“对任意点都有"，求的取值范围.
27．（2023·新高考Ⅱ卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上.
28．（2022·天津市）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
29．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
30．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】 到直线的距离为5 ，
到直线准线的距离为4，由抛物线定义知
故答案为：D
【分析】 到直线的距离为5 得出 到直线准线的距离为4，所以.
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知，，
，，
故选：B
【分析】利用椭圆定义和勾股定理得出，和与乘积的关系，利用完全平方公式间的公式转化求解。
3．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
4．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
5．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，设 ．
若渐近线为可知P点在第四象限，与直线的斜率为正数矛盾，
故此渐近线为，即，
∵，则，
∴，，
设，则.解得，即，
∴，
，解得，
∴，， 所以双曲线的方程为，
故选：D.
【分析】结合图象分析由结合点到直线距离公式得出b值，易分析此时P点位置可用系数a、b、c表示，进而结合与基本关系消元解关于a的方程得出双曲线标准方程.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
7．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】，整理得
其中圆心O为，半径r=3.
另x-y=k，如下图，易知当直线x-y=k与圆相切时取得最大
即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=.解得k=
由k最大，即k取
故选：C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可行域范围内分析并计算可得答案。
8．【答案】（1）B
【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M，使得对于任意点 ， 都有 使得.
不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在，
以此M点为假设存在的点，∵P、Q均在椭圆上，且，，故对于 任意点，都有使得 .
由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故对任意的情形依然存在且符合题意；
故所有的椭圆都是“自相关曲线"为真命题.
②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不存在双曲线是“自相关曲线”.
【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.
9．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如下图，设与轴交点为，
，，，
，即，其中，
当位于中间时，，解得，
当位于右侧时，，解得，易检验此时直线与椭圆无交点，舍去。 故选：C
【分析】画图辅助图分析，将转化为计算分类讨论结果即得答案。
10．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的准线方程为，进而得出c的值，从而得出焦点的坐标，不妨设点为第二象限内的点，联立可得交点A的坐标，再利用且，则为等腰直角三角形，且，再利用两点距离公式和勾股定理得出的值，再结合c的值和双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
11．【答案】A,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A：由题意可得 直线 过焦点 ，即，，
抛物线C：，故A正确；
B、D：设，，联立，
整理，解得，，代入直线得，，
即，，
，，
由抛物线性质可得，
不为等腰三角形，故B、D错误；
C：设中点为，到准线距离为，则，
以直径的圆与准线相切，故C正确。
故选：AC
【分析】根据题意求出焦点坐标得出p判断A，联立可求得直线与抛物线交点坐标结合抛物线性质可判断B、D，
利用抛物线性质表示圆心到的距离即可判断C。
12．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
13．【答案】6
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】由 ，易得圆心，半径，，
结合焦点在x轴上的抛物线 可知圆与抛物线均关于x轴对称，
故不妨设过原点的直线为令，即，如下图所示，
∵与圆相切，
∴，解得，
设点， 由，
则，解得，即，
将P点代入 得，解得.
故答案填：6.
【分析】由圆与直线相切转化为圆心到直线距离为半径列出方程求出直线解析式，结合两点间距离公式代入得出p的值.
14．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，求得，抛物线上点到准线距离.
故答案为：
【分析】直接代入点坐标求抛物线方程，利用，求抛物线上点到准线距离。
15．【答案】-3
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵，
∴，
设该圆的半径为R，则
∴，即
解得
故答案为：-3
【分析】将圆的一般方程转换成标准方程，得出R2结合面积计算可得m值.
16．【答案】中选一个即可
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆的方程知，由 可知直线其过
若m=0，易得此时与圆有且仅有一个交点，故不符合题意
若，由题意设，，
面积为，，
代入圆的方程，解得，
为或或或，
此时直线斜率为，代入解得
故答案为：中任选一个
【分析】初步分析 过定点，利用面积公式与原方程求得符合条件的坐标，由直线方程斜率公式建立关系解得m值。
17．【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：2.
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由勾股定理和，进而得出实数m的值。
18．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，
由于 且 ，则点B在渐近线上，不妨设，
设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即则
∴，
又，则，
又，则，则，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程化简可得
所以
故答案为：
【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而可求离心率．
19．【答案】
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：记 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
【分析】记 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，结合已知条件求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可求得直线方程.
20．【答案】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，结合，求解椭圆方程；
（2）设，由题意求出直线，，的方程，联立求出点 ， 坐标，利用证明 ．
21．【答案】（1）由题意可设，，
联立，消y整理得：，其中，
解得或，
，，
，解得或（舍去），
∴．
（2）由(1)得，C： ，，如图，
设：，，，
直线与x轴交点为，
联立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化简得
代入上式整理得，即
解得或
则
，
当且仅当时，即m=0时，取得最小值.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)联立利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；
(2)为方便联立及避开分类，可设直线，利用，找出的关系并求出取值范围，表示出进而根据范围可求得最小值。
22．【答案】（1）由题意可设，，
联立，消y整理得：，其中，
解得或，
，，
，解得或（舍去），
∴．
（2）由(1)得，C： ，，如图，
设：，，，
直线与x轴交点为，
联立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化简得
代入上式整理得，即
解得或
则
，
当且仅当时，即m=0时，取得最小值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)联立利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；
(2)为方便联立及避开分类，可设直线，利用，找出的关系并求出取值范围，表示出进而根据范围可求得最小值。
23．【答案】（1）解：∵，
∴，即a=2，
此时，
∴，
∴椭圆的方程为，离心率为.
（2）解：由(1)得，，，，
设直线 的解析式为，此时Q点易得，
联立，整理得，即
∴，
，
∵三角形的面积是三角形面积的二倍
∴，整理得，
解得，
∴直线 的解析式为，
即或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由 得长轴2a=4，c=1，结合椭圆基本性质易得其方程与离心率；
(2)由直线过x轴一点，可设直线，得出，进而表示出三角形与三角形面积，利用等量关系可求得k值，即得直线的方程．
24．【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.
（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：
其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即
直线的中点是定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，结合离心率和列方程组求解；
（2）设直线方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点为定值。
25．【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.
（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：
其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即
直线的中点是定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，结合离心率和列方程组求解；
（2）设直线方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点为定值。
26．【答案】（1）根据题意，由点A在抛物线 上 ，则，
又∵， 故抛物线焦点为(1，0)，准线为x=-1，
∴点A 到抛物线的准线的距离为， 且 ，解得；
（2）若 则，依题意可设点B为，则线段AB中点为，
由在 上 ，故，解得，
即，，则，
∴AB所在直线方程为，即，
∴点O到直线AB的距离为；
（3）如图，由(1)得，，设点，
则，，
∴，
∴AP所在直线方程为，即，
令x=-3，则，
则
∵
∴，即，
∴，
∵对任意点都有，即恒成立，
故.
综上所述， 的取值范围是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由抛物线方程得出准线，代入即可算出答案；
(2)设将线段AB中点表达代入抛物线中可算出B点，求出AB所在直线方程，由点到直线距离公式可计算距离；
(3)设将 计算整理表达有关于a，n的代数式，求a的取值范围可进行参变分离转化成恒成立问题，即得答案.
27．【答案】（1）设双曲线方程为，
又左焦点，离心率，
可得，，
∴
双曲线方程为
（2）由（1）知，，
设，，
①若直线斜率为0，则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上.
②若直线MN斜率不为0，由直线过定点 ，
设：，
联立，整理得：，
其中，，，
直线的斜率，即此时直线的方程为
同理可得直线的方程为
联立方程可得
解得，
即点P在定直线上运动。
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线性质直接求出与曲线方程；
（2）分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点的直线可设为，联立双曲线方程，再利用点斜式表达出，方程，联立求其交点，进而结合韦达定理化简整理求解。
28．【答案】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出a，b的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，从而利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率的值。
（2） 由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，①，再利用求交点的坐标得出交点M的坐标，由结合两点距离公式得出，②，由结合三角形的面积公式得出，③，联立①②③可得k，m，a的值，从而得出椭圆的标准方程。
29．【答案】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则
等号在 时取到.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）设直线，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，再分别联立直线与直线，求得，，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．
30．【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
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2019-2023高考数学真题分类汇编23 平面解析几何（1）
一、选择题
1．（2023·北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】 到直线的距离为5 ，
到直线准线的距离为4，由抛物线定义知
故答案为：D
【分析】 到直线的距离为5 得出 到直线准线的距离为4，所以.
2．（2023·全国甲卷）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知，，
，，
故选：B
【分析】利用椭圆定义和勾股定理得出，和与乘积的关系，利用完全平方公式间的公式转化求解。
3．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
4．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的定义
【解析】【解答】双曲线定义知，，
渐近线方程为，渐近线与圆有交点，即与圆有交点
圆心到渐近线距离或（舍去），
弦长。
故选：D
【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求。
5．（2023·天津卷）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，设 ．
若渐近线为可知P点在第四象限，与直线的斜率为正数矛盾，
故此渐近线为，即，
∵，则，
∴，，
设，则.解得，即，
∴，
，解得，
∴，， 所以双曲线的方程为，
故选：D.
【分析】结合图象分析由结合点到直线距离公式得出b值，易分析此时P点位置可用系数a、b、c表示，进而结合与基本关系消元解关于a的方程得出双曲线标准方程.
6．（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
7．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】，整理得
其中圆心O为，半径r=3.
另x-y=k，如下图，易知当直线x-y=k与圆相切时取得最大
即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=.解得k=
由k最大，即k取
故选：C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可行域范围内分析并计算可得答案。
8．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
【答案】（1）B
【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M，使得对于任意点 ， 都有 使得.
不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在，
以此M点为假设存在的点，∵P、Q均在椭圆上，且，，故对于 任意点，都有使得 .
由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故对任意的情形依然存在且符合题意；
故所有的椭圆都是“自相关曲线"为真命题.
②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不存在双曲线是“自相关曲线”.
【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.
9．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若面积是 的 2 倍， 则m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如下图，设与轴交点为，
，，，
，即，其中，
当位于中间时，，解得，
当位于右侧时，，解得，易检验此时直线与椭圆无交点，舍去。 故选：C
【分析】画图辅助图分析，将转化为计算分类讨论结果即得答案。
10．（2022·天津市）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的准线方程为，进而得出c的值，从而得出焦点的坐标，不妨设点为第二象限内的点，联立可得交点A的坐标，再利用且，则为等腰直角三角形，且，再利用两点距离公式和勾股定理得出的值，再结合c的值和双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
二、多项选择题
11．（2023·新高考Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与C交于M，N两点，为C的准线，则（ ）
A． B．
C．以MN为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【答案】A,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A：由题意可得 直线 过焦点 ，即，，
抛物线C：，故A正确；
B、D：设，，联立，
整理，解得，，代入直线得，，
即，，
，，
由抛物线性质可得，
不为等腰三角形，故B、D错误；
C：设中点为，到准线距离为，则，
以直径的圆与准线相切，故C正确。
故选：AC
【分析】根据题意求出焦点坐标得出p判断A，联立可求得直线与抛物线交点坐标结合抛物线性质可判断B、D，
利用抛物线性质表示圆心到的距离即可判断C。
三、填空题
12．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
13．（2023·天津卷）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】由 ，易得圆心，半径，，
结合焦点在x轴上的抛物线 可知圆与抛物线均关于x轴对称，
故不妨设过原点的直线为令，即，如下图所示，
∵与圆相切，
∴，解得，
设点， 由，
则，解得，即，
将P点代入 得，解得.
故答案填：6.
【分析】由圆与直线相切转化为圆心到直线距离为半径列出方程求出直线解析式，结合两点间距离公式代入得出p的值.
14．（2023·全国乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，求得，抛物线上点到准线距离.
故答案为：
【分析】直接代入点坐标求抛物线方程，利用，求抛物线上点到准线距离。
15．（2023·上海卷）已知的面积为，求 ；
【答案】-3
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】∵，
∴，
设该圆的半径为R，则
∴，即
解得
故答案为：-3
【分析】将圆的一般方程转换成标准方程，得出R2结合面积计算可得m值.
16．（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的的一个值
【答案】中选一个即可
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆的方程知，由 可知直线其过
若m=0，易得此时与圆有且仅有一个交点，故不符合题意
若，由题意设，，
面积为，，
代入圆的方程，解得，
为或或或，
此时直线斜率为，代入解得
故答案为：中任选一个
【分析】初步分析 过定点，利用面积公式与原方程求得符合条件的坐标，由直线方程斜率公式建立关系解得m值。
17．（2022·天津市）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：2.
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由勾股定理和，进而得出实数m的值。
18．（2022·浙江）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，
由于 且 ，则点B在渐近线上，不妨设，
设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即则
∴，
又，则，
又，则，则，
∴点A的坐标为，代入双曲线方程化简可得
所以
故答案为：
【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而可求离心率．
19．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：记 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
【分析】记 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，结合已知条件求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可求得直线方程.
四、解答题
20．（2023·北京卷）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，结合，求解椭圆方程；
（2）设，由题意求出直线，，的方程，联立求出点 ， 坐标，利用证明 ．
21．（2023·全国甲卷）已知直线与抛物线交于两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．
【答案】（1）由题意可设，，
联立，消y整理得：，其中，
解得或，
，，
，解得或（舍去），
∴．
（2）由(1)得，C： ，，如图，
设：，，，
直线与x轴交点为，
联立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化简得
代入上式整理得，即
解得或
则
，
当且仅当时，即m=0时，取得最小值.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)联立利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；
(2)为方便联立及避开分类，可设直线，利用，找出的关系并求出取值范围，表示出进而根据范围可求得最小值。
22．（2023·全国甲卷）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且．
（1）求；
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】（1）由题意可设，，
联立，消y整理得：，其中，
解得或，
，，
，解得或（舍去），
∴．
（2）由(1)得，C： ，，如图，
设：，，，
直线与x轴交点为，
联立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化简得
代入上式整理得，即
解得或
则
，
当且仅当时，即m=0时，取得最小值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)联立利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；
(2)为方便联立及避开分类，可设直线，利用，找出的关系并求出取值范围，表示出进而根据范围可求得最小值。
23．（2023·天津卷）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】（1）解：∵，
∴，即a=2，
此时，
∴，
∴椭圆的方程为，离心率为.
（2）解：由(1)得，，，，
设直线 的解析式为，此时Q点易得，
联立，整理得，即
∴，
，
∵三角形的面积是三角形面积的二倍
∴，整理得，
解得，
∴直线 的解析式为，
即或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由 得长轴2a=4，c=1，结合椭圆基本性质易得其方程与离心率；
(2)由直线过x轴一点，可设直线，得出，进而表示出三角形与三角形面积，利用等量关系可求得k值，即得直线的方程．
24．（2023·全国乙卷）已知椭圆C：的离心率为，点在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.
（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：
其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即
直线的中点是定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，结合离心率和列方程组求解；
（2）设直线方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点为定值。
25．（2023·全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.
（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：
其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即
直线的中点是定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，结合离心率和列方程组求解；
（2）设直线方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点为定值。
26．（2023·上海卷）已知抛物线，A为第一象限内上的一点，设点的纵坐标是.
（1）若到抛物线的准线的距离为3，求的值；
（2）若B为轴上一点，且线段的中点在上，求点坐标及原点O到直线的距离；
（3）设直线，是第一象限上异于的一点，直线交于点H是在上的投影，若点满足“对任意点都有"，求的取值范围.
【答案】（1）根据题意，由点A在抛物线 上 ，则，
又∵， 故抛物线焦点为(1，0)，准线为x=-1，
∴点A 到抛物线的准线的距离为， 且 ，解得；
（2）若 则，依题意可设点B为，则线段AB中点为，
由在 上 ，故，解得，
即，，则，
∴AB所在直线方程为，即，
∴点O到直线AB的距离为；
（3）如图，由(1)得，，设点，
则，，
∴，
∴AP所在直线方程为，即，
令x=-3，则，
则
∵
∴，即，
∴，
∵对任意点都有，即恒成立，
故.
综上所述， 的取值范围是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由抛物线方程得出准线，代入即可算出答案；
(2)设将线段AB中点表达代入抛物线中可算出B点，求出AB所在直线方程，由点到直线距离公式可计算距离；
(3)设将 计算整理表达有关于a，n的代数式，求a的取值范围可进行参变分离转化成恒成立问题，即得答案.
27．（2023·新高考Ⅱ卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上.
【答案】（1）设双曲线方程为，
又左焦点，离心率，
可得，，
∴
双曲线方程为
（2）由（1）知，，
设，，
①若直线斜率为0，则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上.
②若直线MN斜率不为0，由直线过定点 ，
设：，
联立，整理得：，
其中，，，
直线的斜率，即此时直线的方程为
同理可得直线的方程为
联立方程可得
解得，
即点P在定直线上运动。
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线性质直接求出与曲线方程；
（2）分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点的直线可设为，联立双曲线方程，再利用点斜式表达出，方程，联立求其交点，进而结合韦达定理化简整理求解。
28．（2022·天津市）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【答案】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出a，b的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，从而利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率的值。
（2） 由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，①，再利用求交点的坐标得出交点M的坐标，由结合两点距离公式得出，②，由结合三角形的面积公式得出，③，联立①②③可得k，m，a的值，从而得出椭圆的标准方程。
29．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则
等号在 时取到.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）设直线，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，再分别联立直线与直线，求得，，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．
30．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此C的方程为 .
（2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ，
联立消去y并化简整理得：
设 ，线段中点为 ，则 ，
设 ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，即 ，
即 ；
由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
∴由 ，
∴ ，
所以直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程 ，即 中，
得： ，
解得 的横坐标： ，
同理： ，
∴
∴ ，
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③：
由①②解得： ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在上，等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
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