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2019-2023高考数学真题分类汇编23 平面解析几何（2）
一、选择题
1．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
2．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
3．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
4．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得，再根据，将y1用x1表示，化简求得，再结合离心率公式即可得解.
5．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
6．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】易知抛物线的焦点为 ，则 ，
即点A到准线 的距离为2，所以点A的横坐标为1，
不妨设点A在x轴上方，代入得， ，
所以
故选：B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
7．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
故选：C
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
8．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
二、多项选择题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
三、填空题
12．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线为 ，即x±my=0，不妨取x+my=0，
圆，即x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径r=1，
依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离 ，
解得或（舍去）．
故答案为： ．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
13．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
14．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
15．（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆 存在公共点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 关于 对称点的坐标为 ， 在直线 上，所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；根据圆方程可得圆心 ，半径 ，
依题意知圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.
16．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵点M在直线 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ， ，
则的方程为 .
故答案为：
【分析】设出点M的坐标，利用点 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
17．（2022·全国甲卷）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 ，
所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
所以，
又因为e>1，所以 ，
故答案为：2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
18．（2022·全国乙卷）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为 ，
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或 .
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，列方程组，求解即可.
19．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是 ．
【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
21．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
22．（2021·浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】；
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
因为圆B方程:,所以|AB|=C, BF1= 所以
所以直线PF1的斜率为k=
将x=c代入椭圆方程, ,可得P点的坐标:
由 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【分析】（1）取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得 的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算 a的值，进一步得到离心率。
四、解答题
23．（2022·全国甲卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 ．
（2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 ， ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
24．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
25．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
26．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
27．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
28．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
29．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
30．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
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2019-2023高考数学真题分类汇编23 平面解析几何（2）
一、选择题
1．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
2．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
11．（2021·新高考Ⅱ卷）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题
12．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
13．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
14．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
15．（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆 存在公共点，则实数a的取值范围为 ．
16．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 ．
17．（2022·全国甲卷）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
18．（2022·全国乙卷）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
19．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是 ．
21．（2021·北京）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．
22．（2021·浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
四、解答题
23．（2022·全国甲卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
24．（2022·全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
25．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
26．（2022·全国甲卷）设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程：
（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程．
27．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
28．（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
29．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
30．（2021·浙江）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
2．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
3．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得，再根据，将y1用x1表示，化简求得，再结合离心率公式即可得解.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
6．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】易知抛物线的焦点为 ，则 ，
即点A到准线 的距离为2，所以点A的横坐标为1，
不妨设点A在x轴上方，代入得， ，
所以
故选：B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
故选：C
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
8．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2对于C，若点A在圆C外，则a2+b2>r2，则，则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，则，则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
12．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线为 ，即x±my=0，不妨取x+my=0，
圆，即x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径r=1，
依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离 ，
解得或（舍去）．
故答案为： ．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
13．【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
15．【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 关于 对称点的坐标为 ， 在直线 上，所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；根据圆方程可得圆心 ，半径 ，
依题意知圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.
16．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵点M在直线 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ， ，
则的方程为 .
故答案为：
【分析】设出点M的坐标，利用点 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
17．【答案】2（满足 皆可）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 ，
所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
所以，
又因为e>1，所以 ，
故答案为：2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
18．【答案】 或 或 或
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为 ，
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， 三点，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或 .
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，列方程组，求解即可.
19．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
20．【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
21．【答案】5；
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.
22．【答案】；
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
因为圆B方程:,所以|AB|=C, BF1= 所以
所以直线PF1的斜率为k=
将x=c代入椭圆方程, ,可得P点的坐标:
由 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【分析】（1）取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得 的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算 a的值，进一步得到离心率。
23．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 ．
（2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 ， ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
24．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为：
（2）证明： ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设椭圆方程为 ，将所给点的坐标代入方程求解即可；
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线HN，化简即可得解.
25．【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
26．【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，
所以 ，
若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线AB：，结合韦达定理可解.
27．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
28．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线MN：y=kx+b(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可求解.
29．【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
30．【答案】（1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2） 设 ， 并设 ， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ，结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
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