2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（3）
一、选择题
1．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
2．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
3．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
4．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
5．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
7．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点A到直线 距离最大，即可求得结果.
8．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
9．（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程
【解析】【解答】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
10．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
11．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
12．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
二、多项选择题
13．（2021·新高考Ⅰ）已知点P在圆 + =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3 D．当∠PBA最大时，|PB|=3
【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：，即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为，则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
三、填空题
14．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
15．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 ．
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
16．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
17．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
18．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
19．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
四、解答题
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
22．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
23．（2020·新课标Ⅲ·文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
24．（2020·新课标Ⅲ·理）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求 ；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
25．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
26．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
27．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
28．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
29．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
30．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（3）
一、选择题
1．（2021·全国甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
10．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
11．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
12．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
13．（2021·新高考Ⅰ）已知点P在圆 + =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3 D．当∠PBA最大时，|PB|=3
三、填空题
14．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
15．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 ．
16．（2021·全国乙卷）双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
17．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为 。
18．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
19．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为 ．
四、解答题
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
21．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
22．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
23．（2020·新课标Ⅲ·文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
24．（2020·新课标Ⅲ·理）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求 ；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
25．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
26．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
27．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
28．（2021·全国乙卷）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
29．（2021·天津）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若 ，求直线l的方程．
30．（2021·新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点 (- ，0)， ( ，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：，即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c，0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入，得，解得，所以，
又因为双曲线的渐近线为，所以，
所以，则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
5．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
7．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点A到直线 距离最大，即可求得结果.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程
【解析】【解答】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
11．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
12．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
13．【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：，即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为，则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
14．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
15．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
17．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
18．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
19．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
20．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
22．【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
23．【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
24．【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
25．【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
26．【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
27．【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
28．【答案】（1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0，y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A，B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A，B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
29．【答案】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a，b，c的关系求得b，从而求得椭圆的方程；
（2）设M(x0，y0)，可得直线l的方程，求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线l的方程
30．【答案】（1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
1 / 1
