2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（4）

2019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（4）
一、选择题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
2．（2019·浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得 ，所以离心率e= .
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到 ，即可求出离心率e.
3．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
4．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
5．（2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M： ，直线 ： ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【解答】圆的方程可化为 ，点M到直线l的距离为 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故答案为：D.
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
6．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
7．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 于Q，则线段 的垂直平分线（　　）．
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点P，即求解.
8．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心C的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当C在线段 上时取得等号，
故答案为：A.
【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.
9．（2020·浙江）已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3 图象上的点，则|OP|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：点O （0，0），A（﹣2，0），B （2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，
可知P的轨迹是双曲线 的右支上的点，
P为函数y＝3 图象上的点，即 在第一象限的点，
联立两个方程，解得P（ ， ），
所以|OP|＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】求出P满足的轨迹方程，求出P的坐标，即可求解|OP|．
10．（2019·上海）以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足 ，则点 的轨迹是（　　）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
则 ，
设 ，则 为直线，
故答案为： ．
【分析】根据实际问题的已知条件结合直线的定义和图象特征求出点 的轨迹。
11．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （O为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
12．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
13．（2019·全国Ⅲ卷文）已知F是双曲线C： 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： ，则 ，∴ ， ，设P在C上，如图：
设 ，过P作 ，∴△POM是直角三角形，∵ =3，∴①，
又点P在C上，代入双曲线方程得到 ②，由①②解得 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，得到△POM是直角三角形，由 ，利用勾股定理和点P在C上列式，求出 ，即可求出△PFO的面积.
14．（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： =1，则 ，∴ ， ，渐近线方程为 ，
设P在渐进线 上，过P作 ，如图：
∵ ，∴△POF是等腰三角形，∴ ，代入渐进线方程 中，可得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，由 ，得到△POF是等腰三角形，求出 ，即可求出△PFO的面积.
二、多项选择题
15．（2020·新高考Ⅰ）已知曲线 .（　　）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，C符合题意；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， 时表示两条直线.
三、填空题
16．（2020·天津）已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为　 　．
【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为：5．
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式 ，即可求得 ．
17．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.
18．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为　 　.
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
19．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =　 　．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
20．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
21．（2020·北京）已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为　 　；C的焦点到其渐近线的距离是　 　．
【答案】(3,0)；
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】在双曲线C中， ， ，则 ，则双曲线C的右焦点坐标为 ，
双曲线C的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
22．（2020·浙江）设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝　 　；b＝　 　．
【答案】；﹣
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l与C1，C2都相切，
故有d1＝ ＝1，d2＝ ＝1，
则有 ＝ ，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d1＝ ＝1，解得k＝ ，则b＝﹣ ，
故答案为： ；﹣ ．
【分析】根据直线l与两圆都相切，分别列出方程d1＝ ＝1，d2＝ ＝1，解得即可．
23．（2019·江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】
双曲线 经过点（3，4)，
将点（3，4)代入双曲线标准方程中得：
双曲线的标准方程为：
双曲线的焦点再x轴上， 双曲线的渐近线方程为：
又
双曲线的渐近线方程为：
【分析】根据点在双曲线上求出b的值，从而求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的标准方程结合焦点的位置，用a,b的值求出双曲线的渐近线方程。
24．（2019·浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=　 　，r=　 　
【答案】-2；
【知识点】圆的切线方程
【解析】 【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以 ，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r= .
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
25．（2019·浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　 　
【答案】
【知识点】椭圆的应用
【解析】 【解答】解：设P（m，n），则 （1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（ ），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 （2）
将（1）和（2）联立得 ，
故直线PF的斜率为 .
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
26．（2019·全国Ⅲ卷理）设F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　。
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C: ，则 ，∴ ， ，
设 ，∴①，∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴②，由①②解得 ，则M的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】由已知M为C上一点，得到 ，再由 为等腰三角形，得到 ，利用两点间的距离公式，得到 ，由①②即可解出M的坐标.
四、解答题
27．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
28．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
29．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
30．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
31．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
32．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
33．（2020·浙江）如图，已知椭圆C1： +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）p＝ ，则 ＝ ，则抛物线C2的焦点坐标（ ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由 ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，
∴x1+x2＝﹣ ，∴x0＝ （x1+x2）＝﹣ ，
∴y0＝kx0+t＝ ，∴M（﹣ ， ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ ＝ ＝ ，
联立 ，解得x1＝ ，＝ ，
代入椭圆方程可得 + ＝1，解得t2＝
∴p2＝ ＝
＝ ≤ ＝ ，
∴p≤ ，当且仅当1＝2k2，即k2＝ ，t2＝ 时等号成立，
故p的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由 ，根据韦达定理定理求出M（﹣ ， ），可得p，再由 ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ ，化简整理得p2＝ ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
34．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： ，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，解得 或 .将 代入 ，得 ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l，求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A，联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D，联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B，从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E，再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
35．（2019·上海）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义： ．
（1）当 时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得 ；
（3） ， ， 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系．
【答案】（1）解：抛物线方程 的焦点 ， ，
， 的方程为 ，代入抛物线的方程，解得 ，
抛物线的准线方程为 ，可得 ，
， ；
（2）证明：当 时， ，
设 ， ， ，则 ，
联立 和 ，可得 ，
，
，
则存在常数 ，使得 ；
（3）解：设 ， ， ，则
，
由 ，
，
则 ．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义结合的定义求出当 时的的值。
（2）利用综合法结合已知条件，用求根公式结合弦长公式，用的定义证出存在常数 ，使得 。
（3）利用抛物线标准方程求出准线方程，从而求出准线上的三点 ， ， 的坐标，再利用两点间距离相等结合两点距离公式变形化简判断出。
36．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
37．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
38．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
39．（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .
整理得 设 ，
同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时， =2，所求圆的方程为 ； 当 时， ，所求圆的方程为 .
【知识点】恒过定点的直线；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 与向量 平行列式，解出t的值，即可求出该圆的方程.
40．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编22 平面解析几何（4）
一、选择题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．（2019·浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M： ，直线 ： ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 于Q，则线段 的垂直平分线（　　）．
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2020·浙江）已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3 图象上的点，则|OP|＝（　　）
A． B． C． D．
10．（2019·上海）以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足 ，则点 的轨迹是（　　）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
11．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （O为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
12．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
13．（2019·全国Ⅲ卷文）已知F是双曲线C： 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
14．（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
15．（2020·新高考Ⅰ）已知曲线 .（　　）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
16．（2020·天津）已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为　 　．
17．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率是　 　.
18．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为　 　.
19．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =　 　．
20．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是　 　．
21．（2020·北京）已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为　 　；C的焦点到其渐近线的距离是　 　．
22．（2020·浙江）设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝　 　；b＝　 　．
23．（2019·江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是　 　.
24．（2019·浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=　 　，r=　 　
25．（2019·浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　 　
26．（2019·全国Ⅲ卷理）设F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　。
四、解答题
27．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
28．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
29．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
30．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
31．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
32．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
33．（2020·浙江）如图，已知椭圆C1： +y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ ，求抛物线C2的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
34．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
35．（2019·上海）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义： ．
（1）当 时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得 ；
（3） ， ， 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系．
36．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
37．（2019·浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
38．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
39．（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
40．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C:
，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得 ，所以离心率e= .
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到 ，即可求出离心率e.
3．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【解答】圆的方程可化为 ，点M到直线l的距离为 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故答案为：D.
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
6．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
7．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点P，即求解.
8．【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心C的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当C在线段 上时取得等号，
故答案为：A.
【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.
9．【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：点O （0，0），A（﹣2，0），B （2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，
可知P的轨迹是双曲线 的右支上的点，
P为函数y＝3 图象上的点，即 在第一象限的点，
联立两个方程，解得P（ ， ），
所以|OP|＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】求出P满足的轨迹方程，求出P的坐标，即可求解|OP|．
10．【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
则 ，
设 ，则 为直线，
故答案为： ．
【分析】根据实际问题的已知条件结合直线的定义和图象特征求出点 的轨迹。
11．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
12．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
13．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： ，则 ，∴ ， ，设P在C上，如图：
设 ，过P作 ，∴△POM是直角三角形，∵ =3，∴①，
又点P在C上，代入双曲线方程得到 ②，由①②解得 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，得到△POM是直角三角形，由 ，利用勾股定理和点P在C上列式，求出 ，即可求出△PFO的面积.
14．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】解：∵双曲线C： =1，则 ，∴ ， ，渐近线方程为 ，
设P在渐进线 上，过P作 ，如图：
∵ ，∴△POF是等腰三角形，∴ ，代入渐进线方程 中，可得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 ，过P作 ，由 ，得到△POF是等腰三角形，求出 ，即可求出△PFO的面积.
15．【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，C符合题意；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， 时表示两条直线.
16．【答案】5
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为：5．
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式 ，即可求得 ．
17．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.
18．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
19．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
20．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
21．【答案】(3,0)；
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】在双曲线C中， ， ，则 ，则双曲线C的右焦点坐标为 ，
双曲线C的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
22．【答案】；﹣
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l与C1，C2都相切，
故有d1＝ ＝1，d2＝ ＝1，
则有 ＝ ，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d1＝ ＝1，解得k＝ ，则b＝﹣ ，
故答案为： ；﹣ ．
【分析】根据直线l与两圆都相切，分别列出方程d1＝ ＝1，d2＝ ＝1，解得即可．
23．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】 【解答】
双曲线 经过点（3，4)，
将点（3，4)代入双曲线标准方程中得：
双曲线的标准方程为：
双曲线的焦点再x轴上， 双曲线的渐近线方程为：
又
双曲线的渐近线方程为：
【分析】根据点在双曲线上求出b的值，从而求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的标准方程结合焦点的位置，用a,b的值求出双曲线的渐近线方程。
24．【答案】-2；
【知识点】圆的切线方程
【解析】 【解答】解：圆心与切点连线与直线2x-y+3=0垂直，
所以 ，解得m=-2；
根据两点间的距离公式，可得r= .
【分析】根据圆心与切点连线与切线垂直，结合直线的斜率求出m，根据两点间距离公式求出r即可.
25．【答案】
【知识点】椭圆的应用
【解析】 【解答】解：设P（m，n），则 （1）
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（ ），
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 （2）
将（1）和（2）联立得 ，
故直线PF的斜率为 .
故答案为.
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.
26．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C: ，则 ，∴ ， ，
设 ，∴①，∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴②，由①②解得 ，则M的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】由已知M为C上一点，得到 ，再由 为等腰三角形，得到 ，利用两点间的距离公式，得到 ，由①②即可解出M的坐标.
27．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
28．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
29．【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
30．【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
31．【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为
∴ ,
由椭圆定义可得： .
∴ 的周长为
（2）解：设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限，
∴
∵准线方程为
∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）解：设 ，点M到直线 的距离为d.
∵ ，
∴直线 的方程为
∵点O到直线 的距离为 ，
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得 ， .
∴ 或 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长；（2）设 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， ，求出 ，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设 ，点M到直线 的距离为d，由点O到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
32．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
33．【答案】解：（Ⅰ）p＝ ，则 ＝ ，则抛物线C2的焦点坐标（ ，0），
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由 ，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，
∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，
∴x1+x2＝﹣ ，∴x0＝ （x1+x2）＝﹣ ，
∴y0＝kx0+t＝ ，∴M（﹣ ， ），
∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，
∴p＝ ＝ ＝ ，
联立 ，解得x1＝ ，＝ ，
代入椭圆方程可得 + ＝1，解得t2＝
∴p2＝ ＝
＝ ≤ ＝ ，
∴p≤ ，当且仅当1＝2k2，即k2＝ ，t2＝ 时等号成立，
故p的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由 ，根据韦达定理定理求出M（﹣ ， ），可得p，再由 ，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝ ，化简整理得p2＝ ，利用基本不等式即可求出p的最大值．
34．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： ，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 ，得 ，解得 或 .将 代入 ，得 ，
因此 .又F2(1，0)，所以直线BF2： .
由 ，得 ，解得 或 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
将 代入 ，得 .因此 .解法二：
由（1）知，椭圆C： .如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 ，得 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 .
因此 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 的值和焦点 坐标，再利用 的值求出圆F2: 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l，求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: 交于点A，联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D，联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B，从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E，再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
35．【答案】（1）解：抛物线方程 的焦点 ， ，
， 的方程为 ，代入抛物线的方程，解得 ，
抛物线的准线方程为 ，可得 ，
， ；
（2）证明：当 时， ，
设 ， ， ，则 ，
联立 和 ，可得 ，
，
，
则存在常数 ，使得 ；
（3）解：设 ， ， ，则
，
由 ，
，
则 ．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义结合的定义求出当 时的的值。
（2）利用综合法结合已知条件，用求根公式结合弦长公式，用的定义证出存在常数 ，使得 。
（3）利用抛物线标准方程求出准线方程，从而求出准线上的三点 ， ， 的坐标，再利用两点间距离相等结合两点距离公式变形化简判断出。
36．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .
所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。
37．【答案】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x= 1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 . 所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
. 令 ，则m>0， .
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；
（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.
38．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
39．【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .
整理得 设 ，
同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时， =2，所求圆的方程为 ； 当 时， ，所求圆的方程为 .
【知识点】恒过定点的直线；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 与向量 平行列式，解出t的值，即可求出该圆的方程.
40．【答案】（1）解：设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， .
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积.
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