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2019-2023高考数学真题分类汇编23 计数原理、二项式、排列组合
一、选择题
1．（2023·新高考Ⅱ卷）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同抽样结果共有（ ）.
A．种 B．种
C．种 D． 种
【答案】D
【知识点】分层抽样方法；分步乘法计数原理
【解析】【解答】 根据分层抽样定义
初中抽取：(人)，高中抽取：(人)，
再利用分步乘法计数原理共有不同抽样结果。
故选：D
【分析】根据分层抽样计算初中抽取40人，高中抽取20人，再用分步乘法计算共有多少结果。
2．（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：，
故答案为：C.
【分析】利用排列与组合来求解。
3．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
4．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
5．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
6．（2023·全国甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】星期六先选两人参加服务，则有种选择，
星期天从两人中选一人，同时从剩下三人中选一人，则有种选择，
由分步乘法原理则共有种.
故选：B.
【分析】根据题意，可以从时间角度按步进行选择，结合分步乘法原理即可.
7．（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意，两人选读的总选法有：种，
其中，两人选择的读物中都不同的选法有：种，
两人选择的读物中都相同的选法有：种，
故两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有：225-90-15=120种，
故选：C.
【分析】由事件总数减去两人选择的读物均相同或均不同情形可得出答案.
8．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式.
故答案为：B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.
9．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式通项为，
令，解得，
展开式中的系数为.
故答案为：D
【分析】根据 展开式通项公式得出答案.
10．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
11．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
二、多项选择题
12．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
三、填空题
13．（2022·浙江）已知多项式 ，则 ， ．
【答案】8；-2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
∴；
令x＝0，则，
令x＝1，则
∴．
故答案为：8，﹣2．
【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得的值．
14．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
15．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为
【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
16．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
17．（2021·浙江）已知多项式 ，则 ， .
【答案】5；10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5;
同理故a2=3;
故a=7,
所以 10.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
18．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
19．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
20．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
21．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：在五天里，甲连续参加2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，用排列数求出不同的安排方法种数。
22．（2023·天津卷）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ，则通项，
当，即，此时系数.
故答案填：60.
【分析】根据二项式定理得出通项，整理代入即得 项的系数.
23．（2023·上海卷）已知，其中，若且，当时，的最大值是 ；
【答案】49
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ；
当 ，即
①当r为偶数时，，不符合题意
②当r为奇数时，只需，即，∴k<50
则符合题意r值最大为49.
故答案为：49
【分析】由二项式定理通项公式化简整理，结合不等式奇偶分析解得符合题意的k值.
24．（2020·新课标Ⅲ·理） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】240
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【分析】写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
25．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
26．（2020高二下·北京期中） 的展开式中的常数项为 .
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可得解.
27．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
28．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
29．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
30．（2023·上海卷）空间内存在三点，满足，在空间内取不同两点(不计顺序)，使得这两点与可以组成正四棱锥，求方案数为 ；
【答案】9
【知识点】基本计数原理的应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】在△ABC为等边三角形，故三点不能同时作为正四棱锥的底面，必有一点作为顶点.共三种可能.
考虑其中两点作为正四棱锥底面，即构成正方形的两点：
①若其中两点为边：如图，此时有两种可能，
故可能的方案有3×2=6(种)，
②若其中两点为对角线，结合空间结构分析此时只有一种情况，故3×1=3(种)，
∴总方案有9中，
故答案为：9
【分析】由正四棱锥几何结构分析，三点中必有一点作为顶点，另两点构成底面正方形中的两点，再分别讨论底面组成情况得出答案.
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2019-2023高考数学真题分类汇编23 计数原理、二项式、排列组合
一、选择题
1．（2023·新高考Ⅱ卷）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同抽样结果共有（ ）.
A．种 B．种
C．种 D． 种
2．（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
3．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
4．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
5．（2019·全国Ⅲ卷理）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2023·全国甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
7．（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
8．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
9．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
10．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
11．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、多项选择题
12．（2021·新高考Ⅱ卷）设正整数 ，其中 ，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·浙江）已知多项式 ，则 ， ．
14．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
15．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为
16．（2021·北京） 展开式中常数项为 ．
17．（2021·浙江）已知多项式 ，则 ， .
18．（2021·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
19．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
20．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
21．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
22．（2023·天津卷）在的展开式中，项的系数为 ．
23．（2023·上海卷）已知，其中，若且，当时，的最大值是 ；
24．（2020·新课标Ⅲ·理） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
25．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
26．（2020高二下·北京期中） 的展开式中的常数项为 .
27．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
28．（2019·浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
29．（2019·天津） 是展开式中的常数项为 .
30．（2023·上海卷）空间内存在三点，满足，在空间内取不同两点(不计顺序)，使得这两点与可以组成正四棱锥，求方案数为 ；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；分步乘法计数原理
【解析】【解答】 根据分层抽样定义
初中抽取：(人)，高中抽取：(人)，
再利用分步乘法计数原理共有不同抽样结果。
故选：D
【分析】根据分层抽样计算初中抽取40人，高中抽取20人，再用分步乘法计算共有多少结果。
2．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：，
故答案为：C.
【分析】利用排列与组合来求解。
3．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】解：∵ 的通项公式为 ，
∴展开式中x3的系数为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知利用 的通项公式为 ，结合 即可求出展开式中x3的系数.
6．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】星期六先选两人参加服务，则有种选择，
星期天从两人中选一人，同时从剩下三人中选一人，则有种选择，
由分步乘法原理则共有种.
故选：B.
【分析】根据题意，可以从时间角度按步进行选择，结合分步乘法原理即可.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意，两人选读的总选法有：种，
其中，两人选择的读物中都不同的选法有：种，
两人选择的读物中都相同的选法有：种，
故两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有：225-90-15=120种，
故选：C.
【分析】由事件总数减去两人选择的读物均相同或均不同情形可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式.
故答案为：B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.
9．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式通项为，
令，解得，
展开式中的系数为.
故答案为：D
【分析】根据 展开式通项公式得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
11．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
12．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， ， ，
则，故A正确；
对于B，取n=2，2×2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，
而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；
对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1· 24+……+ak· 2k+3
所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，
4n+3=a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1· 23+……+ak· 2k+2，
所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，
所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；
对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，
所以ω(2n-1)=n，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
13．【答案】8；-2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
∴；
令x＝0，则，
令x＝1，则
∴．
故答案为：8，﹣2．
【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得的值．
14．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
15．【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
16．【答案】-4
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为
令12-4k=0，得k=3
故常数项为
故答案为：-4
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.
17．【答案】5；10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5;
同理故a2=3;
故a=7,
所以 10.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
18．【答案】160
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式是
令18-4r=6，得r=3
所以 的系数是
【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.
19．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
20．【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
21．【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：在五天里，甲连续参加2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，用排列数求出不同的安排方法种数。
22．【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ，则通项，
当，即，此时系数.
故答案填：60.
【分析】根据二项式定理得出通项，整理代入即得 项的系数.
23．【答案】49
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ；
当 ，即
①当r为偶数时，，不符合题意
②当r为奇数时，只需，即，∴k<50
则符合题意r值最大为49.
故答案为：49
【分析】由二项式定理通项公式化简整理，结合不等式奇偶分析解得符合题意的k值.
24．【答案】240
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【分析】写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
25．【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
26．【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可得解.
27．【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
28．【答案】；5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（ +x）9展开式的通项 ，
当r=0时，得展开式的常数项为 ；
当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.
【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.
29．【答案】28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】 【解答】展开式的通项公式为
令 可得
故展开式中的常数项为
故答案为：28
【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。
30．【答案】9
【知识点】基本计数原理的应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】在△ABC为等边三角形，故三点不能同时作为正四棱锥的底面，必有一点作为顶点.共三种可能.
考虑其中两点作为正四棱锥底面，即构成正方形的两点：
①若其中两点为边：如图，此时有两种可能，
故可能的方案有3×2=6(种)，
②若其中两点为对角线，结合空间结构分析此时只有一种情况，故3×1=3(种)，
∴总方案有9中，
故答案为：9
【分析】由正四棱锥几何结构分析，三点中必有一点作为顶点，另两点构成底面正方形中的两点，再分别讨论底面组成情况得出答案.
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