2019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（1）

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2019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（1）
一、选择题
1．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为 .
故选：C.
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
2．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
3．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
故选：D.
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
4．（2021·全国乙卷）在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
5．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111
其中 2个0不相邻 共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
6．（2021·全国乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= ，
满足a+b> 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
直线a+b＝ 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P＝,
故选B。
【分析】利用几何概型解答。
7．（2020·新课标Ⅰ·文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】如图，
从 5个点中任取3个有
共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为 .
故答案为：A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
8．（2023·全国甲卷）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（　　）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】根据题意，结合V-N图，
易得A+B=50，B+C=60，A+B+C=70，
∴B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=40，
记报名足球俱乐部为事件A，报名兵乓球俱乐部为事件C，
由条件概率得
【分析】借助韦恩图分析各部分报名人数，由古典概型、条件概率公式得出答案.
9．（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况，
这2名同学来自不同年级的有种情况，
2名同学来自不同年级的概率为。
故选：D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数，得出答案。
10．（2023·全国乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型；圆的标准方程
【解析】【解答】 区域表示以圆心，半径为和半径为组成的圆环，
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域，其中，结合对称性可得所求概率
故选：C.
【分析】 画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
11．（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数，
若甲乙抽到的主题不同，则共有，
其概率为.
故选：A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
12．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者进行比较即可解决.
13．（2021·新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，
则，
对于A，P(AC)=0；
对于B，；
对于C，；
对于D，P(CD)=0.
若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),
故B正确.
故答案为：B
【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可
14．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
15．（2020·新高考Ⅰ）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故答案为：C.
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式 可得结果.
二、多项选择题
16．（2023·新高考Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】A,B,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意
发送 0 1
收到0的概率
收到1的概率
A：依次发送1，0，1的事件相互独立，依次发送1，0，1的概率为，故A正确；
B：三次传输发送1依次收到1，0，1是相互独立，概率为，故B正确
C：三次传输发送1译码为1的概率，是依次收到1，1，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1的概率和，
概率为，故C错误
D：由C知三次传输发送0译码为0的概率，单次传输0译码为0的概率，
，
由知，
三次传输方案译码为0的概率大于单次传输方案译码为0，故D正确
故选：ABD
【分析】利用相互独立事件和互斥事件的概率求解逐项判断可得答案。
三、填空题
17．（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 　 　， 　 　．
【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
∴，
故答案为：；
【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的数学期望定义即可求解．
18．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有m=6+6=12个，
故所求概率．
故答案为： ．
【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求出．
19．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 .
故答案为：
【分析】根据古典概型计算即可.
20．（2021·浙江）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 　 　， 　 　.
【答案】1；
【知识点】等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意 ，所以 ，
又有 ， 所以 ， 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
【分析】 先由取出的两个球都是红球的概率为 ，由古典概型公式得到 ｍ＋ｎ＝5，再由ξ的可能取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.
21．（2023·天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为　 　；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为：；
第二空：由三个盒子总数之比为，可设三个盒子中球的数量分别为，则总球数为：15x；
黑球总数为，
∴白球的数量为9x，故任取一球是白球的概率为：，
故答案填：|.
【分析】由分步乘法原理计算都拿到黑球的概率，根据黑球所占比例可进一步算出白球所占总球数的比例得出答案.
22．（2022·天津市）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为　 　；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为　 　
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出两次都抽到A的概率；再利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率。
23．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
【答案】0.14
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ．
故答案为：0.14
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
24．（2021·天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为　 　，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
故答案为：
【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求解即可.
四、解答题
25．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
26．（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第天不变的概率最大.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算表格的个数，根据古典概型求“上涨”的概率；
（2）分别计算上涨，下跌，不变的概率，再计算 4天中2天 “上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）通过分析表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行估计第天的情况。
27．（2023·上海卷） 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型有棕色内饰.
求，并据此判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望
【答案】（1）根据题意可知，模型总数为25个，含红色外观模型的有12+2=14(个)，含综合内饰模型的有12+8=20(个)，即含红色外观又含棕色内饰模型的有12个
∴，，，
又∵，故事件A与事件B不独立.
（2）由题意可知，X可能为600，300，150.
设拿到外观和内饰均为同色为事件C、拿到外观内饰都异色为事件D、拿到仅外观或仅内饰同色为事件E，
∴
∵，即
故X的分别列为
X 150 300 600
P
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)根据条件概率公式分别计算即可得出 ， 为判断事件和事件是否独立只需判断 与是否相等；
(2)分别求出三种抽奖结果的概率并根据概率大小对应金额排序计算数学期望.
28．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；
乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；
丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ；
（II）X所有可能取值为0，1，2，3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
（III）甲的平均数：
乙的平均数：
丙的平均数：
甲的方差：
乙的方差：
丙的方差：
在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由题意 X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；
（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
29．（2021·北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则 ，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
【知识点】简单随机抽样；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①根据 “k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；
②根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；
（2）根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.
30．（2021·新高考Ⅰ）某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
【答案】（1） 的取值可能为 ， ， ，
，
，
，
的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）假设先答 类题，得分为 ，
则 可能为0，80，100，
，
，
，
的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
，
由（1）可知 ，
，
∴应先答B类题．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；
（2）根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X)，E(Y)并比较即可判断.
31．（2020·新课标Ⅰ·理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）解：记事件M:甲连胜四场，则 ；
（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
32．（2021·新高考Ⅱ卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
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2019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（1）
一、选择题
1．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（　　）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
4．（2021·全国乙卷）在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
6．（2021·全国乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·新课标Ⅰ·文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·全国甲卷）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（　　）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
9．（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·全国乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
13．（2021·新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
14．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
15．（2020·新高考Ⅰ）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　）
A．62% B．56% C．46% D．42%
二、多项选择题
16．（2023·新高考Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题
17．（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 　 　， 　 　．
18．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　 　．
19．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　 　．
20．（2021·浙江）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 　 　， 　 　.
21．（2023·天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为　 　；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为　 　．
22．（2022·天津市）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为　 　；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为　 　
23．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
24．（2021·天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为　 　，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为　 　．
四、解答题
25．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
26．（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
27．（2023·上海卷） 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型有棕色内饰.
求，并据此判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望
28．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；
乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；
丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
29．（2021·北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
30．（2021·新高考Ⅰ）某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题 每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
31．（2020·新课标Ⅰ·理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
32．（2021·新高考Ⅱ卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为 .
故选：C.
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
2．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
3．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
故选：D.
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
4．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111
其中 2个0不相邻 共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
6．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= ，
满足a+b> 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
直线a+b＝ 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P＝,
故选B。
【分析】利用几何概型解答。
7．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】如图，
从 5个点中任取3个有
共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为 .
故答案为：A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
8．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】根据题意，结合V-N图，
易得A+B=50，B+C=60，A+B+C=70，
∴B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=40，
记报名足球俱乐部为事件A，报名兵乓球俱乐部为事件C，
由条件概率得
【分析】借助韦恩图分析各部分报名人数，由古典概型、条件概率公式得出答案.
9．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况，
这2名同学来自不同年级的有种情况，
2名同学来自不同年级的概率为。
故选：D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数，得出答案。
10．【答案】C
【知识点】几何概型；圆的标准方程
【解析】【解答】 区域表示以圆心，半径为和半径为组成的圆环，
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域，其中，结合对称性可得所求概率
故选：C.
【分析】 画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
11．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数，
若甲乙抽到的主题不同，则共有，
其概率为.
故选：A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
12．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者进行比较即可解决.
13．【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，
则，
对于A，P(AC)=0；
对于B，；
对于C，；
对于D，P(CD)=0.
若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),
故B正确.
故答案为：B
【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可
14．【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
15．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故答案为：C.
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式 可得结果.
16．【答案】A,B,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意
发送 0 1
收到0的概率
收到1的概率
A：依次发送1，0，1的事件相互独立，依次发送1，0，1的概率为，故A正确；
B：三次传输发送1依次收到1，0，1是相互独立，概率为，故B正确
C：三次传输发送1译码为1的概率，是依次收到1，1，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1的概率和，
概率为，故C错误
D：由C知三次传输发送0译码为0的概率，单次传输0译码为0的概率，
，
由知，
三次传输方案译码为0的概率大于单次传输方案译码为0，故D正确
故选：ABD
【分析】利用相互独立事件和互斥事件的概率求解逐项判断可得答案。
17．【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
∴，
故答案为：；
【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的数学期望定义即可求解．
18．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有m=6+6=12个，
故所求概率．
故答案为： ．
【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求出．
19．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 .
故答案为：
【分析】根据古典概型计算即可.
20．【答案】1；
【知识点】等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意 ，所以 ，
又有 ， 所以 ， 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
【分析】 先由取出的两个球都是红球的概率为 ，由古典概型公式得到 ｍ＋ｎ＝5，再由ξ的可能取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.
21．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为：；
第二空：由三个盒子总数之比为，可设三个盒子中球的数量分别为，则总球数为：15x；
黑球总数为，
∴白球的数量为9x，故任取一球是白球的概率为：，
故答案填：|.
【分析】由分步乘法原理计算都拿到黑球的概率，根据黑球所占比例可进一步算出白球所占总球数的比例得出答案.
22．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出两次都抽到A的概率；再利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率。
23．【答案】0.14
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ．
故答案为：0.14
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
24．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
故答案为：
【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求解即可.
25．【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
26．【答案】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第天不变的概率最大.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算表格的个数，根据古典概型求“上涨”的概率；
（2）分别计算上涨，下跌，不变的概率，再计算 4天中2天 “上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）通过分析表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行估计第天的情况。
27．【答案】（1）根据题意可知，模型总数为25个，含红色外观模型的有12+2=14(个)，含综合内饰模型的有12+8=20(个)，即含红色外观又含棕色内饰模型的有12个
∴，，，
又∵，故事件A与事件B不独立.
（2）由题意可知，X可能为600，300，150.
设拿到外观和内饰均为同色为事件C、拿到外观内饰都异色为事件D、拿到仅外观或仅内饰同色为事件E，
∴
∵，即
故X的分别列为
X 150 300 600
P
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)根据条件概率公式分别计算即可得出 ， 为判断事件和事件是否独立只需判断 与是否相等；
(2)分别求出三种抽奖结果的概率并根据概率大小对应金额排序计算数学期望.
28．【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ；
（II）X所有可能取值为0，1，2，3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
（III）甲的平均数：
乙的平均数：
丙的平均数：
甲的方差：
乙的方差：
丙的方差：
在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由题意 X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；
（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
29．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则 ，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
【知识点】简单随机抽样；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①根据 “k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；
②根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；
（2）根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.
30．【答案】（1） 的取值可能为 ， ， ，
，
，
，
的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）假设先答 类题，得分为 ，
则 可能为0，80，100，
，
，
，
的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
，
由（1）可知 ，
，
∴应先答B类题．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；
（2）根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X)，E(Y)并比较即可判断.
31．【答案】（1）解：记事件M:甲连胜四场，则 ；
（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
32．【答案】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
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