2019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（2）
一、选择题
1．（2019·全国Ⅲ卷文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设两位男同学为1，2，两位女同学为a，b，
则随机排成一列的情况为12ab，12ba，1a2b，1ab2，1b2a，1ba2，21ab，21ba，2a1b，2ab1，2b1a，2ba1，
a12b，a1b2，a21b，a2b1，ab12，ab21，b12a，b1a2，b21a，b2a1，ba12，ba21，共24种，
其中两位女同学相邻的情况为12ab，12ba，1ab2，1ba2，21ab，21ba，2ab1，2ba1，ab12，ab21，ba12，ba21，
共12种，则两位女同学相邻的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】由已知利用列举法，得到四位同学随机排成一列和两位女同学相邻的种数，即可求出概率.
2．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
3．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（ ）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】 【解答】解：E（X）= ，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.
4．（2019·全国Ⅰ卷理）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设该重卦恰有3个阳爻的事件为A，
根据题意，所有重卦的种数有 种，满足该重卦恰有3个阳爻的情况有 种，利用古典概型求概率的公式,该重卦恰有3个阳爻的概率为： 。
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，从而求出该重卦恰有3个阳爻的概率。
二、填空题
5．（2020·天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
6．（2020·江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
7．（2020·浙江）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝ ；E（ξ）＝ ．
【答案】；1
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；
计算P（ξ＝0）＝ + ＝ ；
P（ξ＝1）＝ + ＝ ；
P（ξ＝2）＝ + ＝ ；
所以E（ξ）＝0× +1× +2× ＝1．
故答案为： ，1．
【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．
8．（2019·江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设3名男同学为： 2名女同学为：
设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，
则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：
共十种，
选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为： 共七种，
利用古典概型求概率的公式，得：
【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
9．（2019·全国Ⅰ卷理）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是
【答案】0.18
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】 【解答】因为甲以 获胜，所以只需看前五场，用√表示甲胜，用×表示甲败。
第一种情况是：主×主√客√客√主√，概率为：
第二种情况是：主√主×客√客√主√，概率为：
第三种情况是：主√主√客×客√主√，概率为：
第四种情况是：主√主√客√客×主√，概率为：
所以甲队以4：1获胜的概率是这四种情况的概率之和为：
【分析】根据实际问题的已知条件结合分类计数原理和分步计数原理求概率的方法，求出甲队以4：1获胜的概率。
三、解答题
10．（2020·新课标Ⅰ·文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
【答案】（1）解：由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ；
（2）解：甲分厂加工100件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【知识点】频率分布表；随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
11．（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【答案】（1）解： ，
，
.
（2）解： ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结果.
12．（2020·北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，
该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为： ;
（Ⅲ）
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 ，再根据频率估计概率 ，即得大小.
13．（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，
令 .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
【答案】（1）解：当 时， 的所有可能取值是 ．
的概率分布为 ，
（2）解：设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；
②若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
③若 ，则 ，因为当 时， ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
④若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法．
综上，当 时， 的所有可能取值是 和 ，且
．
因此，
【知识点】离散型随机变量及其分布列；正态密度曲线的特点
【解析】 【分析】利用已知条件求出离散型随机变量 的概率分布。（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况，再利用分类讨论的方法结合求最值的方法得出a,c的取值的取法，从而求出当 时， 的所有可能取值是 和 ，且 ，
因此，求出用n表示的概率P（X≤n）为： 。
14．（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
15．（2019·全国Ⅱ卷理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）解： X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】 【分析】（1）第一问要求 的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
16．（2019·全国Ⅰ卷理）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明： （i=0，1，2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
【答案】（1） 解：
所以X的分布列为：
X -1 0 1
P
（2）（i）证明： 则 利用等比数列的定义证出：数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列。（ii）
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，认为甲药比乙药更有效的概率仅为 而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列；
(ii)由（i）证出的数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列求出等比数列 的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出 的值，再利用 的值结合甲药比乙药更有效的概率仅为 得出乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编24 概率及其应用（2）
一、选择题
1．（2019·全国Ⅲ卷文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时（ ）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
4．（2019·全国Ⅰ卷理）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2020·天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
6．（2020·江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
7．（2020·浙江）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝ ；E（ξ）＝ ．
8．（2019·江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
9．（2019·全国Ⅰ卷理）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是
三、解答题
10．（2020·新课标Ⅰ·文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
11．（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
12．（2020·北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
13．（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，
令 .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
14．（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
15．（2019·全国Ⅱ卷理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
16．（2019·全国Ⅰ卷理）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明： （i=0，1，2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设两位男同学为1，2，两位女同学为a，b，
则随机排成一列的情况为12ab，12ba，1a2b，1ab2，1b2a，1ba2，21ab，21ba，2a1b，2ab1，2b1a，2ba1，
a12b，a1b2，a21b，a2b1，ab12，ab21，b12a，b1a2，b21a，b2a1，ba12，ba21，共24种，
其中两位女同学相邻的情况为12ab，12ba，1ab2，1ba2，21ab，21ba，2ab1，2ba1，ab12，ab21，ba12，ba21，
共12种，则两位女同学相邻的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】由已知利用列举法，得到四位同学随机排成一列和两位女同学相邻的种数，即可求出概率.
2．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】 【解答】解：E（X）= ，
，
根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；
故答案为：D.
【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.
4．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设该重卦恰有3个阳爻的事件为A，
根据题意，所有重卦的种数有 种，满足该重卦恰有3个阳爻的情况有 种，利用古典概型求概率的公式,该重卦恰有3个阳爻的概率为： 。
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，从而求出该重卦恰有3个阳爻的概率。
5．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
6．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 个.
点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为 .
故答案为： .
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
7．【答案】；1
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；
计算P（ξ＝0）＝ + ＝ ；
P（ξ＝1）＝ + ＝ ；
P（ξ＝2）＝ + ＝ ；
所以E（ξ）＝0× +1× +2× ＝1．
故答案为： ，1．
【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．
8．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设3名男同学为： 2名女同学为：
设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，
则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：
共十种，
选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为： 共七种，
利用古典概型求概率的公式，得：
【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
9．【答案】0.18
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】 【解答】因为甲以 获胜，所以只需看前五场，用√表示甲胜，用×表示甲败。
第一种情况是：主×主√客√客√主√，概率为：
第二种情况是：主√主×客√客√主√，概率为：
第三种情况是：主√主√客×客√主√，概率为：
第四种情况是：主√主√客√客×主√，概率为：
所以甲队以4：1获胜的概率是这四种情况的概率之和为：
【分析】根据实际问题的已知条件结合分类计数原理和分步计数原理求概率的方法，求出甲队以4：1获胜的概率。
10．【答案】（1）解：由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ；
（2）解：甲分厂加工100件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【知识点】频率分布表；随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
11．【答案】（1）解： ，
，
.
（2）解： ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结果.
12．【答案】解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，
该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为： ;
（Ⅲ）
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 ，再根据频率估计概率 ，即得大小.
13．【答案】（1）解：当 时， 的所有可能取值是 ．
的概率分布为 ，
（2）解：设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；
②若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
③若 ，则 ，因为当 时， ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法；
④若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或 ，有2种取法．
综上，当 时， 的所有可能取值是 和 ，且
．
因此，
【知识点】离散型随机变量及其分布列；正态密度曲线的特点
【解析】 【分析】利用已知条件求出离散型随机变量 的概率分布。（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况，再利用分类讨论的方法结合求最值的方法得出a,c的取值的取法，从而求出当 时， 的所有可能取值是 和 ，且 ，
因此，求出用n表示的概率P（X≤n）为： 。
14．【答案】解：（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 .
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】 【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式。
（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，利用 分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数学期望。
（Ⅱ）先列出发生事件M的几种情况，由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，由此即可求出事件M发生的概率。
15．【答案】（1）解： X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】 【分析】（1）第一问要求 的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
16．【答案】（1） 解：
所以X的分布列为：
X -1 0 1
P
（2）（i）证明： 则 利用等比数列的定义证出：数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列。（ii）
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，认为甲药比乙药更有效的概率仅为 而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列；
(ii)由（i）证出的数列 （i=0，1，2，…，7）为等比数列求出等比数列 的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出 的值，再利用 的值结合甲药比乙药更有效的概率仅为 得出乙药的治愈率大于甲药 故这种试验方案是合理的。
1 / 1
