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2019-2023高考数学真题分类汇编26 概率和统计综合
一、选择题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
故答案为：B.
【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
二、解答题
2．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；
（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为 ；
（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到的机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付超过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；
（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；
（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.
3．（2023·全国甲卷）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
m 合计
对照组
实验组
合计
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）根据题意，X的可能分别是0，1，2.
，
，
∴的分布列为：
X 0 1 2
P
∴.
（2）（i）依题意得，从40只小鼠按小到大顺序排列中，体重位于中间两位的是23.2与23.6.
∴，
故列联表为：
m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由图标代入公式可得
，
根据参考数据，
∵6.4>3.841
故能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)依题意得列出X的可能性，结合简单求概率公式易得X分布列及数学期望；
(2)根据已知数据求出m的值，并统计得到 2×2列联表，由独立性检验计算结果并结合参考数据得出结论.
4．（2022·新高考Ⅱ卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 ，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
【答案】（1）解：平均年龄 （岁）
（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则
（3）设B={任选一人年龄位于区间 }，C={任选一人患这种族病}，
则由条件概率公式，得
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 A= {一人患这种疾病的年龄在区间 [20，70） }，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
5．（2022·全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则 ；
则A家公司长途客车准点的概率为 ；
B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则 .
B家公司长途客车准点的概率为 .
（2）解：列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
= ，
根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
附：
P(K2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：
(ii)利用该调查数据，给出 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.
【答案】（1）
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）用局部估计总体
(i)
(ii)
故R的估计值为6
【知识点】独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；
（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；
(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得 ，再代入R，求解即可.
7．（2020·新课标Ⅲ·文）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为3的概率为 ，等级为4的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
8．（2020·新课标Ⅲ·理）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】独立性检验的应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
9．（2020·新高考Ⅰ）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 和 浓度（单位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
【答案】（1）解：由表格可知，该市100天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超过150的天数有 天，
所以该市一天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超过150的概率为 ；
（2）解：由所给数据，可得 列联表为：
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
（3）解：根据 列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得 列联表；（3）计算出 ，结合临界值表可得结论.
10．（2019·天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
【答案】解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件 发生的概率
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为，采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。
11．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） 支付方式 （0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= ，P（X=1）= ,
P（X=2）= ，
所以分布列为
X 0 1 2
P
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】 【分析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.
12．（2019·全国Ⅰ卷文）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=
P（K2≧k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2） ．
由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用 的公式估计出男、女顾客对该商场服务满意的概率。（2）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用独立性检验的方法判断出有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异。
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2019-2023高考数学真题分类汇编26 概率和统计综合
一、选择题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
2．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
3．（2023·全国甲卷）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
m 合计
对照组
实验组
合计
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
4．（2022·新高考Ⅱ卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 ，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
5．（2022·全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
6．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
附：
P(K2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：
(ii)利用该调查数据，给出 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.
7．（2020·新课标Ⅲ·文）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
8．（2020·新课标Ⅲ·理）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
9．（2020·新高考Ⅰ）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 和 浓度（单位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过75，且 浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
10．（2019·天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
11．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） 支付方式 （0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
12．（2019·全国Ⅰ卷文）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=
P（K2≧k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
故答案为：B.
【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
2．【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；
（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为 ；
（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到的机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付超过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；
（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；
（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.
3．【答案】（1）根据题意，X的可能分别是0，1，2.
，
，
∴的分布列为：
X 0 1 2
P
∴.
（2）（i）依题意得，从40只小鼠按小到大顺序排列中，体重位于中间两位的是23.2与23.6.
∴，
故列联表为：
m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由图标代入公式可得
，
根据参考数据，
∵6.4>3.841
故能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)依题意得列出X的可能性，结合简单求概率公式易得X分布列及数学期望；
(2)根据已知数据求出m的值，并统计得到 2×2列联表，由独立性检验计算结果并结合参考数据得出结论.
4．【答案】（1）解：平均年龄 （岁）
（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则
（3）设B={任选一人年龄位于区间 }，C={任选一人患这种族病}，
则由条件概率公式，得
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 A= {一人患这种疾病的年龄在区间 [20，70） }，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
5．【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则 ；
则A家公司长途客车准点的概率为 ；
B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则 .
B家公司长途客车准点的概率为 .
（2）解：列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
= ，
根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.
6．【答案】（1）
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）用局部估计总体
(i)
(ii)
故R的估计值为6
【知识点】独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；
（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；
(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得 ，再代入R，求解即可.
7．【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为3的概率为 ，等级为4的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
8．【答案】（1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为
（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）解： 列联表如下：
人次 人次
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
，
因此，有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【知识点】独立性检验的应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
9．【答案】（1）解：由表格可知，该市100天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超过150的天数有 天，
所以该市一天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超过150的概率为 ；
（2）解：由所给数据，可得 列联表为：
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
（3）解：根据 列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得 列联表；（3）计算出 ，结合临界值表可得结论.
10．【答案】解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件 发生的概率
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为，采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。
11．【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= ，P（X=1）= ,
P（X=2）= ，
所以分布列为
X 0 1 2
P
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】 【分析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.
12．【答案】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2） ．
由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用 的公式估计出男、女顾客对该商场服务满意的概率。（2）根据实际问题的已知条件结合 的列联表，用独立性检验的方法判断出有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异。
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