2019-2023高考数学真题分类汇编27 算法框图与推理证明、反证法
一、选择题
1．（2019·北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
2．（2023·全国甲卷）执行下边的程序框图，则输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】
k 1 2 3 4
是 是 是 否；输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选：B
【分析】根据程序框图流程列表，得出答案。
3．（2023·全国甲卷）执行下面的程序框遇，输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】
n 1 2 3 4
是 是 是 否；输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选：B
【分析】根据程序框图流程列表分析，得出答案。
4．（2022·全国乙卷）执行下边的程序框图，输出的 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次循环： ， ，
；
第二次循环， ， ，
；
第三次循环， ， ，
，故输出 .
故选：B
【分析】根据程序框图循环计算即可.
5．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故答案为：C．
【分析】根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足 ，从 开始，利用列举法即可解出．
6．（2020·新课标Ⅱ·文）执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环
输出 .
故答案为：C.
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
7．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
8．（2020·新高考Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
9．（2020·北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为 ，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可得出结果.
10．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（ ）
A．5 B．8 C．24 D．29
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
11．（2019·全国Ⅲ卷理） 执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】解：执行已知程序框图，第1次： ，不满足条件，继续循环；第2次： ，不满足条件，继续循环；第3次： ，不满足条件，继续循环；…；第7次： ，满足条件，结束循环，输出S的值，即 ，
故答案为：C.
【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 ，即可求出输出S的值.
12．（2019·全国Ⅱ卷文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
13．（2019·全国Ⅰ卷理）下图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A= B．A=2+ C．A= D．A=1+
【答案】A
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】
第一步:
第二步：
第三步：
因为输出的A的值满足题意输得的结果，所以判断框里应该填
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出满足要求的结果，从而确定判断框里所填的选项。
二、填空题
14．（2019·江苏）下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .
【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】第一步： 不成立；
第二步： 不成立；
第三步： 不成立；
第四步： 成立；
输出的
【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。
三、解答题
15．（2023·北京卷）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足使得．
【答案】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】(1)先求，再利用 分别 求的值；
(2)由得到，再利用反证法证明，结合等差数列求 ；
(3)讨论大小，利用反证法分析证明存在，满足使得．
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编27 算法框图与推理证明、反证法
一、选择题
1．（2019·北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全国甲卷）执行下边的程序框图，则输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
3．（2023·全国甲卷）执行下面的程序框遇，输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
4．（2022·全国乙卷）执行下边的程序框图，输出的 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2020·新课标Ⅱ·文）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
6．（2020·新课标Ⅱ·文）执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·新高考Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
9．（2020·北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（ ）
A．5 B．8 C．24 D．29
11．（2019·全国Ⅲ卷理） 执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·全国Ⅱ卷文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
13．（2019·全国Ⅰ卷理）下图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A= B．A=2+ C．A= D．A=1+
二、填空题
14．（2019·江苏）下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .
三、解答题
15．（2023·北京卷）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足使得．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
2．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】
k 1 2 3 4
是 是 是 否；输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选：B
【分析】根据程序框图流程列表，得出答案。
3．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】
n 1 2 3 4
是 是 是 否；输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选：B
【分析】根据程序框图流程列表分析，得出答案。
4．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次循环： ， ，
；
第二次循环， ， ，
；
第三次循环， ， ，
，故输出 .
故选：B
【分析】根据程序框图循环计算即可.
5．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故答案为：C．
【分析】根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足 ，从 开始，利用列举法即可解出．
6．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环
输出 .
故答案为：C.
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
7．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
8．【答案】B
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
9．【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为 ，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可得出结果.
10．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】解：执行已知程序框图，第1次： ，不满足条件，继续循环；第2次： ，不满足条件，继续循环；第3次： ，不满足条件，继续循环；…；第7次： ，满足条件，结束循环，输出S的值，即 ，
故答案为：C.
【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 ，即可求出输出S的值.
12．【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
13．【答案】A
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】
第一步:
第二步：
第三步：
因为输出的A的值满足题意输得的结果，所以判断框里应该填
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出满足要求的结果，从而确定判断框里所填的选项。
14．【答案】5
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】第一步： 不成立；
第二步： 不成立；
第三步： 不成立；
第四步： 成立；
输出的
【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。
15．【答案】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】(1)先求，再利用 分别 求的值；
(2)由得到，再利用反证法证明，结合等差数列求 ；
(3)讨论大小，利用反证法分析证明存在，满足使得．
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