2022-2023学年湖南省常德市汉寿县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市汉寿县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ，，，这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
3. 一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是米，其方差别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是( )
A. 甲班 B. 乙班 C. 同样整齐 D. 无法确定
5. 如图，点，，都在上，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. 且 C. 且 D.
8. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，，以此类推，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算： ______ ．
10. 袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为亿亩将用科学记数法表示为______ ．
11. 分解因式： ______ ．
12. 已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积为 ．
13. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
14. 掷一枚六个面分别标有，，，，，的正方体骰子，则向上一面的数不大于的概率是______．
15. 幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等例如：图就是一个幻方，图是一个未完成的幻方，则的值是 ．
16. 如图，在等腰三角形纸片中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形可拼成若干个不同的平行四边形，则在这些平行四边形中最长对角线的长度为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
20. 本小题分
小明和同学一起去书店买书，他们先用元买了一种科普书，又用元买了一种文学书科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少本．
这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
若准备用元购买科普书和文学书两种书共本，则至少要购买文学书多少本？
21. 本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点．
求点的坐标及的值；
根据图象直接写出当不等式时的取值范围；
已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积．
22. 本小题分
为深入学习贯彻党的二十大大精神，引领广大职工准确把握党的二十大报告的丰富内涵、精神实质、实践要求，我区教育工会开展了学习二十大知识竞赛活动，根据竞赛活动的成绩划分了四个等级：合格，良好，优秀，非常优秀现随机抽查部分竞赛成绩的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
填空： ______ ，“优秀”对应扇形的圆心角度数为______ ；
请你补全条形统计图；
若我区有名教职工，请你估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有多少人？
23. 本小题分
图是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头保持垂直．胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为即的长度，枪身．
求的度数；
测温时规定枪身端点与额头规定范围为在图中若，张阿姨与测温员之间的距离为问此时枪身端点与张阿姨额头的距离是否在规定范围内，并说明理由．
结果保留小数点后两位．参考数据：
24. 本小题分
如图，是的直径，弦平分，过点作，垂足为．
判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点为直线与抛物线在轴下方的一个交点，点为此抛物线上的一个动点．
求此抛物线的解析式；
若直线为，求点的坐标；
在的条件下，当点在直线下方时，求面积的最大值．
26. 本小题分
已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图放置，使点在上，取的中点，连接，．
观察发现：图中，的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
探究证明：将图中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点如图，问中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
拓展延伸：将图中的绕点顺时针转动任意角度转动角度在到之间，再连接的中点如图，问中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了实数的比较大小，解题时注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可．
本题考查单项式的乘法．熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：这个组合体的主视图如下：
故选：．
根据简单组合体的三视图的定义画出其主视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
参赛学生身高比较整齐的班级是乙班，
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】
【解析】解：，
是等腰三角形，
，
，即，
，
．
故选：．
根据题意可知是等腰三角形，，可得出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，．
A、在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：．
因为，所以、同号，又，所以，，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
7.【答案】
【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，，，，；
，
故选：．
先根据图形得出，，，，，，再代入、裂项求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
9.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用二次根式性质，以及立方根定义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：二次根式性质及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】
【解析】解：圆锥底面圆的直径，
圆锥底面圆的周长为，
该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
先求出圆锥底面圆的周长为，再根据扇形面积公式即可求解．
本题考查圆锥的侧面积．熟知圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆周长是解题的关键．
13.【答案】且
【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义和分式的分母不能为得出且，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，注意：式子中，分式的分母．
14.【答案】
【解析】解：根据题意不大于的面有，，，，
则向上一面的数不大于的概率是，
故答案为：．
根据概率公式计算即可．
本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，由题意得：，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
，解得：，
，即，解得：，则，
所以．
故答案为：．
如图，设空白处的字母为，，，，根据题意列出方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图：过点作于点，
边，，
，
，
如图所示：可得四边形是长方形，则其对角线长为：，
如图所示：，
连接，过点作于点，
则，，
则对角线，
如图所示：，
由题意可得：，，
故，
，
最长的对角线的长是．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长，进行比较即可．
此题主要考查了图形的剪拼，平行四边形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
，
，，
，，
当时，
原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式加法和除法的运算法则，注意：分式取值一定要使分式有意义．
20.【答案】解：设文学书的价格为元，科普书的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则科普书的价格为：元．
答：文学书的价格为元，科普书的价格为元；
设至少购买文学书本．
则有，
解得，．
答：至少要购买文学书本．
【解析】设文学书的价格为元，科普书的价格为元，根据题意可得：元所买的科普书比所买的文学书少本，列方程求解；
设至少购买文学书本．构建不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或不等式求解．
21.【答案】解：将代入得，
，
，
，
将代入得，
；
，关于原点对称，
，
由图象知，当或时，，即．
故答案为：或；
作点作于点，
，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为．
【解析】将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标；
利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围；
作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：总人数为人，，，
“优秀”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；；
“优秀”的人数为人，
补全统计图如图所示：
；
解：估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有人，
答：估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有人．
根据“良好”的人数除以占比得出总人数，用“合格”的人数除以总人数得出，根据“非常优秀”的人数除以占比得出，根据“优秀”的占比乘以得出“优秀”对应扇形的圆心角度数；
根据“优秀”的占比乘以总人数得出“优秀”的人数，进而补全统计图；
用乘以“优秀”和“非常优秀”的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：过点作于，则，，
，
，
，
；
在规定范围内，理由如下：
过点作交的延长线于点，过点作于，
则，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
又，
，
规定范围为，
在规定范围内．
【解析】过点作于，则，，由锐角三角函数定义求出，即可解决问题；
过点作交的延长线于点，过点作于，则，，先证是等腰直角三角形，得，再求出，即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】解：直线与相切；
理由：连接，
的平分线是，
．
，
．
，
，
，
．
是的半径，
直线与相切；
连接，
，，
，
是的直径，
，
，
∽，
，
，
的半径为．
【解析】连接，根据角平分线的性质与角的等量代换易得，而是圆上的一点；故可得直线与相切；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质列方程得到，根据切线的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：由抛物线与轴的交点为可知：
，
把点，点代入抛物线可得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：；
由题意可得方程组：
，
解得：或，
又点为直线与抛物线在轴下方的一个交点．
点的坐标为；
设点，
当点在第三象限时，
设直线与轴交于点，设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，则，
，
当点在第四象限时，
设交轴于点，
同理可得：，
综上，，
，故有最大值，当时，其最大值为．
【解析】根据点坐标得到值，再将，坐标代入，解之，即可求解；
联立抛物线表达式和的表达式，解之，根据点的位置可得结果；
设点，分点在第三象限和第四象限分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】 相互垂直
【解析】解：，，，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
即：，
．
故答案为：，相互垂直；
仍然成立．
证明：如图，延长交于点，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，，
，
，
又，
且．
仍然成立．证明：如图，延长至点，使，连接、、，
在与中，
，
≌，
，，
，
，，
，，
，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
且．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据，，得到，．
延长交于点，先证明≌，得到，，根据，，得到，又因为，所以且．
延长至点，使，连接，，，可证明≌，得到，，继而求得≌，得到，，所以，可得且．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
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