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等差数列、等比数列
知识要点：
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列。数列的项不能少于三项，所谓的按一定顺序排列并不是指一定具有某种可用解析式表示的规律。项与项数不同，数列实质上是一个函数值列，项是函数值，项数是自变量值。
数列与集合有着本质的区别。数列的项有顺序并且必须是数，各项的值也允许重复至少要有三项；集合中的元素之间无顺序，可以不是数，元素不允许重复并且可以少于三个元素直至没有元素。
数列实质上的就是定义域为N（或N的形如{1，2，…，n}的有限子集）的函数值列。应该注意N的无限子集中除N外均不能做为数列所对应的函数的定义域，有限子集也必须是规定的形式，比如：{1，3，5，…}、{2，3，4，…，10}等等就不可以。数列的通项公式，前n项和公式实质上就是函数解析式。
数列的通项与前n项和的关系是数列中普遍存在的最基本的关系：
即。任意数列{}的通项与前n项和之间都存在上述关系公式。很容易知道：、等在数列{}中没有意义，因其n的取值不在定义域中。此公式说明：知前n项和一定可求出通项。
递推公式是给出数列的一种方法，应该能根据递推公式写出数列的前几项。根据需要对数列的项进行变形，对数列进行总体观察会数出项数，通过对比、分析、综合、抽象概括找出规律是数列中最基本的能力，函数与方程的思想在数列中有着广泛的应用。
2、等差数列：
定义中要求（为同一个常数，）或（为同一个常数，且）。由a，A，b成等差数列可得出：的结论，其中A叫a，b的等差中项；同时由也可以得出a，A，b成等差数列且b，A，a也成等差数列的结论。
（）这一等差数列的通项公式，教科书中用数学归纳法给出的，需要“归纳、猜想、证明”；也可以根据定义用“累加法”推得。
∵ （为公差）
将以上个等式相加，有
∴
故
当时，。这说明公式此时也成立，因此，，（）。
，这一等差数列前n项和公式，教科书中用颠倒相加法给出的。
从函数角度观察等差数列的通项公式：，会得的形式。若，为常数列，为常数函数形式；若 ，为时的一次函数的形式。
等差数列的前n项和公式： 若，有（时为正比例函数形式，时为常数为0的常数函数的形式）；若，为，，时的二次函数的形式。时，有最小值；时，有最大值。
从方程观点研究等差数列的通项公式及前n项和公式，知，对于中五个量知三可求另外其二。
3、等比数列：
定义中要求（为同一个常数，）或（ 为同一个常数， 且）不能由或（且）得出数列{}为等比数列的结论，因为等比数列与零无缘。
我们知道，a，G，b成等比数列即。由些可见，同另两数才能有等比中项，并且不唯一有两个互为相反数的等比中项。反过来，由或并不能得出a，G，b成等比数列的结论，原因是G，a，b中可能有为零者，或仍成立，但a，G，b不能成等比数列。
等比数列的通项公式（）教科书中是用数学归纳法给出的，可以根据等比数列的定义用“累乘法”得到。
（，）
∴将以上个等式相乘，有
∴
当时，公式也成立，
因此，（）
等比数列的前n项和公式
会知，用了分类计论的方法，分公比和两种情况，公式是用“错位相减法”给出的，它还可以引伸为求数列{}的前n项和的方法，其中，{}，{}分别为等差数列和等比数列。
从方程观点研究等比数列的通项公式及前n项和公式对于中五个量知其三可求另其二。在解决等比数列的有关问题时常用除法消元的方法，要注意对公比，时进行分类讨论。指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数在及两种不同情况。
1、指数函数：
定义：函数叫指数函数。
定义域为R，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数中的a必须。
因为若时，，当时，函数值不存在。
，，当，函数值不存在。
时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但的反函数不存在， 因为要求函数中的。
1、对三个指数函数的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征 函数性质
（1）图象都位于x轴上方； （1）x取任何实数值时，都有；
（2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a取任何正数，时，；
（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反； （3）当时， 当时，
（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。 （4）当时，是增函数，当时，是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。
②与的图象关于y轴对称。
③通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数式。）
由于故中N必须大于0。
当N为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成，再改写为指数式就比较好办。
解：设
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求中的，化为对数式即成。
（2）对数恒等式：
由
将（2）代入（1）得
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：
解：原式。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数；
②1的对数是零；
③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①
②
③
④
3、对数函数：
定义：指数函数的反函数叫做对数函数。
1、对三个对数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征 函数性质
（1）图象都位于 y轴右侧； （1）定义域：R+，值或：R；
（2）图象都过点（1，0）； （2）时，。即；
（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反； （3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；
（4）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。 （4）时，是增函数；时，是减函数。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。
（2）的图象与的图象关于x 轴对称。
（3）通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
由换底公式可得：
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称 题型 解法
基本型同底数型不同底数型需代换型 取以a为底的对数取以a为底的对数取同底的对数化为换元令转化为的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称 题型 解法
基本题 对数式转化为指数式
同底数型 转化为（必须验根）
需代换型 换元令转化为代数方程空间两个平面
知识要点：
重点: 两个平面的位置关系; 两平面平行和垂直的判定和性质; 二面角及其平面角的概念与计算。
难点: 二面角及二面角的平面角的确定。
1、两个平面平行的判定和性质
两个平面平行是用否定语来定义的(即两个平面没有公共点时称两个平面平行), 用它直接来判定两个平面平行是困难的, 判定定理是用肯定语句得出了两个平面平行的结论。证明的根据又只有定义时, 证明方法自然是间接证法——反证法。
判定定理1: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行, 即
简言之:“线面平行, 则面面平行。”
判定定理2: 垂直于同一直线的两个平面平行, 即
两个平面平行的性质：
(1)两个平行平面中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
即:
简言之:“面面平行, 则线面平行。”
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行, 即
简言之:“面面平行, 则线线平行。”
(3)如果两个平行平面中的一个垂直于一条直线, 那么另一个也和这条直线垂直。或叙述为: 一条直线垂直于两个平行平面之一, 也必垂直于另一个平面, 即
(4)夹在两个平行平面间平行线段相等。
例: 经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
已知: 点A平面。
求证: 存在是唯一的。
证明: (存在性)
在内任意取两条相交直线a, b, 经过点A作直线a∥a, b
∥b, 从而有, 过a, b作平面。
(唯一性)设平面, 则A和a确定一个平面r, , 因为经过直线a外一点A只有一条直线和a平行, ∴l与a重合, 即平面经过b, 因此重合, 所以经过A有且只有一个平面和平行。
2、二面角及二面角的平面角
二面角及二面角的平面角, 是非常重要的两个概念, 尤其是二面角的平面角, 它是两个平面相交关系的数量刻划。
二面角的平面角的定义: 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
这里要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:
(1)过棱上任意一点;
(2)分别在两个面内引射线;
(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
确定二面角的平面角的方法：
确定二面角的平面角的方法虽然很多, 但以利用三垂线定理或逆定理为最重要, 如求二面角—l—的平面角方法如下: 在内任取一点A, 由A向平面引垂线AO(O为垂足), 再由O向棱引垂线OB(B是垂足), 连结AB, 则ABO即为二面角—l—的平面角,
3、两个平面垂直的判定与性质
两个平面垂直的概念：
在平面几何中, 两直线相交成四个角, 如果其中一个是直角, 那么四个角全是直角, 称这两直线互相垂直。
在空间, 两个平面相交得到四个二面角, 因为二面角的大小用它的平面角来度量, 如果其中一个二面角是直二面角, 那么这四个二面角全是直二面角。称两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判定：
两个平面互相垂直的定义可以直接用来判定两个平面垂直, 判定的方法是:
①找出两个相交平面所成二面角的平面角;
②证明这个角是直角;
③根据定义, 这两个平面互相垂直。
判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直, 即
简言之“线面垂直, 则面面垂直。”
3、两个平面垂直的性质：
性质定理: 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面, 即
简言之:“面面垂直, 则线面垂直。”
性质定理推论1: 如果两个平面垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
即:
性质定理推论2: 如果两个相交平面都垂直于第三个平面, 那么它们的交线垂直于第三个平面。
即:
性质定理推论3: 三个两两垂直的平面的交线两两垂直, 即三角函数与三角变换
知识要点：
本专题主要涉及任意角的三角函数和三角变换两部分内容。在高中数学学习过程中, 是在学习了任意角的三角函数之后, 接着学习三角函数的图象和性质, 然后再学习三角变换。这里把三角变换放在三角函数的图象和性质之前, 主要目的有两点: 一是将三角公式进行系统归纳; 二是提高知识的综合性, 将三角变换运用到研究三角函数的图象和性质中去。
一、任意角的三角函数
1、知识系统
2、知识的内在联系
(1)根据生产实际和进一步学习数学的需要, 引入了任意大小的正、负角的概念, 采用弧度制来度量角。实际上是在角的集合和实数集R之间建立了这样的一一对应关系: 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应。
(2)三角函数的定义是本单元的核心, 其它内容都是从定义推导出来的。
三角函数的定义是利用角终边上任一点P的坐标(x, y)和点P到原点的距离r(r > 0), 由x、y、r两两组成六个不同的比值。从而得到:
这六个三角函数, 都是以角为自变量, 以比值为函数值的函数。由于角的集合与实数集之间的一一对应关系, 故三角函数可以看作是以实数为自变量的函数。因此注意从函数的角度去研究三角函数。
(3)理解推导过程是正确记忆的有效途径
对于三角函数的定义域、值域, 各三角函数在各象限的符号, 同角三角函数的关系, 诱导公式, 特殊角的函数值等, 要掌握是怎样利用三角函数的定义推导出来的, 当你记忆不清时, 一定要回到定义上去。这是正确记忆的有效途径。
二、三角变换
1、公式推导系统
当是任意角时, 首先掌握的证明过程, 得出
然后建立如下公式系统
2、知识的内在联系
(1)上面公式系统可以看和、差、倍、半公式之间的联系, 这种联系是推导公式的基础, 当遗忘时, 要回忆公式的推导过程是记忆的关键。
如由
对于万能公式也易记错, 但要注意推导过程。
如,
(2)在进行恒等变形, 要注意公式的有关变形。
如
.
将变形为
等。
(3)明确各类公式的作用, 避免因盲目套用致使函数式的变形失去方向。
如对于公式来说, 它的作用主要有:
①把一个角的余弦化成它的半角的三角函数;
②利用, 把一个角的正、余弦化为它的二倍角的三角函数;
③进行正、余弦函数的“降幂”或“升幂”的变形、即把化为作为“降幂”使用, 反过来把又可作为“升幂”使用。
(4)注意有关变形技巧。
如角的“和、差、倍、半”的相对性。
等。
如“1”在三角变换中作用, 1可看作,
等。等差等比数列的综合及数列求和
知识要点：
1、等差数列、等比数列的综合
（1）等差数列通项公式有如下求法：
∴
当成立。
由此，这种“累加法”适用于如下数列，
的数列求通项公式。
（2）等比数列通项公式有如下求法：
当成立。
由此，这种“累乘法”知用于如下数列，
的数列求通项公式。
（3）“错位相减法”求“差比数列”的前n项和
等比数列前n项和公式采用的是“错位相减法”求得，用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n项和：，其中是等差数列，是等比数列，公差为d，公比为q。
设
……（1）
两边同乘以q，得
……（2）
（1）－（2），得：
∴
2、数列求和
求的方法有如下几种
（1）公式法：等差数列中
等比数列中
（2）错位相减法：如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n项和公式可以采用“错位相减法”求得。
（3）裂项法：如果一个数列的通项公式是分式形式，通常可考虑采用这种方法。
3、方程与函数思想在等差数列、等比数列中的应用：
对于等差数列来说，其通项公式可以写成自变量的函数式，其图象是在同一条直线的一系列点，d为这些点所在直线的斜率，纵截距。
等差数列的前n项和公式可以写成自变量的函数式，其图象是分布在抛物线上的一系列点，为二次项系数，为一次项系数，常数项为0。容易知道，>0时有最小值，<0时有最大值。
对于等比数列常采用方程的方法解决问题，解决问题时除用“代入法消元”、“加减法消元”之外还常用“除法消元”。
4、“换元法”求数列的通项公式
如果一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，但由构造的新数列是等差数列或等比数列，通过求的通项公式，由解出的通项公式的方法是“换元法”我们也可以称之为“等差数列、等比数列转化法”。直线与平面
知识要点：
本讲主要内容是平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及它们所成的角、距离等概念，并能运用上述概念、公理、定理进行判断、论证和解决有关的问题，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
1、直线与直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面三种情况；两直线共面（平行或相交），两直线异面（既不相交也不平行）。
异面直线是一个重要的概念，在理解概念上，要重点抓以下三个问题：
（1）如何证明两条直线是异面直线，一般采用下面两种方法：
一是证两直线不共面，即证两直线既不相交、也不平行，注意正确运用反证法；
二是根据异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（2）两条异面直线所成的角
研究异面直线所成的角，是将它们转化为两条相交直线所成的角（锐角或直角），基本方法是平移，平移时所选择的点和平行线应具有特殊的位置，或处特殊位置上，其步骤是：
①根据定义构造出要计算的角（是异面直线所成的角或是异面直线所成角的补角）；
②作出含有角的三角形，解此三角形计算出角的值。
（3）两条异面直线之间的距离
确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：
一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；
二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
2、直线与平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有三种：直线在平面内（有无数个公共点），直线与平面相交（有且只有一个公共点），直线与平面平行（没有公共点），把后两种情况统称为直线在平面外。
（1）掌握直线与平面平行的判定和性质，直线与平面垂直的判定和性质定理。
（2）三垂线定理及其逆定理，这是立体几何中极为重要的定理，不仅掌握它的内容和证明过程，更要注意它的用途，主要用途有：
①判定空间两条直线或直线与平面是否垂直；
②通过判定两条直线垂直，来确定图形的形状，或求异面直线所成的角。
③解决有关距离问题，如求点到直线的距离，求异面直线的距离等。
（3）直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，是将它们转化为直线与它在平面上的射影所成的角，因此，求直线与平面所成的角关键在于在平面内找到该直线的射影，其步骤是：
①根据定义构造出直线与平面所成的角，一定要指明哪个角是直线与平面所成的角。
②作出含有角的三角形，解此三角形计算出角的值。这里要注意把题目的已知条件集中到含有角的三角形或有关的三角形。
3、平面与平面的位置关系
两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。
（1）两个平面平行的判定和性质定理。
（2）两个平面垂直的判定和性质定理。
（3）二面角和二面角的平面角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。
这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。
求二面角的平面角的大小步骤：
首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。
然后作出含有该角的三角形，利用有关知识计算出来。第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构
加法原理、乘法原理
排列数
排列
排列数应用
组合数 排列组合综合应用
组合
合数应用
二项式定理
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种
解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.?
例2 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( )
A.60种 B.48种 C.36种 D.24种
解：根据题的条件可知，A、B必须相邻且B在A的右边，所以先将A、B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故总的排法有
P44=4×3×2×1=24(种).
可知此题应选D.
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种
解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为
3P13=9(种).
(三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）?
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种
根据加法原理可得总的取法有
C24·C25+C24·C15=40+30=70(种)
可知此题应选C.
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式
解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×5××1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.
例6 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（ ）
A.160 B.240 C.360 D.800
解：∵(x2+3x+2)5
=C05(x2+3x)5+C15(x2+3x)4×２+C25(x2+3x)3×22+C35(x2+3x)2×23+C45(x2+3x)×24+C55×25.
在展开式中只有C45(x2+3x)×24才含有x，其系数为
C４5×3×24=5×3×16=240.
故此题应选B.
例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于___________
解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为
=
在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-20.
(五)综合例题赏析
例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（ ）
A.1 B.-1 C.0 D.2
解：A.
例9 把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有（ ）
A.126种 B.84种 C.35种 D.21种
解：此种排法相当于6个元素的全排列，6!=720.
∴应选C.
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有（ ）.
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.
∴应选C.
例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（ ）
A.27种 B.48种 C.21种 D.24种
解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
∵C13·C17+C23=3×7+3=24，
∴应选D.
例12 由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）.
A.210个 B.300个 C.464个 D.600个
解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个 应有P15·P55=600个.
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.
∴有×600=300个符合题设的六位数.
应选B.
例13 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）.
A.70个 B.64个 C.58个 D.52个
解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.
其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1)的有4组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)?
应选C.
例14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）.
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
解：设正六棱锥为O—ABCDEF.
任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
∴共有C16×4=24对异面直线.
应选B.
例15 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共_____个(以数字作答).
解：7点中任取3个则有C37=35组.
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).
∴三角形个数为35-3=32个.
例16 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
解：设2143表示第一人拿第二人的卡、第二人拿第一人的卡，第三人拿第四人的卡，第四人拿第三人的卡，它是符合题设的分配方法.
第一人只能拿二、三、四人的卡之一(P13).
设第一人拿的是第二人的卡，则2143，2341，2413是全部可能的分配方式，计3种，共有P?1?3·3=9种不同的分配方式∴应选B.
例17 在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_______种(用数字作答).
解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C34·C246+C44·C146=4186(种)
例18 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）.
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种
解：先从10人中选2个承担任务甲(C210)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C18)
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C17)
∴有C210·C18C17=2520(种).
应选C.
例19 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）.
A.24个 B.30个 C.40个 D.60个
解：末位数字只能是2或4(P12)
剩下四个数字考虑顺序任取其2(P24)，
∴共有P12·P24=24个偶数.
应选A.
例20 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有（ ）.
A.C233197种 B.C23C3197+C33C2197 C.C5200-C5197 D.C5200-C13C4197
解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，
5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，
∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197.
应选B.
例21 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是（ ）.
A.C58C38 B.P12C58C38 C.P58P38 D.P88
解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座.
∴应有P88种不同的入座法.
应选D.
例22 7人并排站成一行，如果甲、乙必须不相邻，那么不同排法的总数是（ ）.
A.1440 B.3600 C.4320 D.4800
解：7人的全排列数为P77.
若甲乙必须相邻则不同的排列数为P22P66.
∴甲乙必须不相邻的排列数为P77-P22P66=5P66=3600.
应选B.
例23 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有多少种承包方式
解：甲(C38)→乙(C15)→丙(C24).
∴有C38C15C24=1680种承包方式.
例24 用1，2，3，4，四个数字组成没有重复的四位奇数的个数是_____个(用具体数字作答).
解：末位数(C12)，前三位数(P33).
∴有C12P33=12个四位奇数.
例25 用1，2，3，4，四个数字组成的比1234大的数共有_____个(用具体数字作答).
解：若无限制，则可组成4!=24个四位数，其中1234不合题设.
∴有24-1=23个符合题设的数.
例26 用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的总共有（ ）.
A.120个 B.96个 C.60个 D.36个
解：末位为0，则有P34=24个偶数.
末位不是0的偶数有P12P13P23=36个.
∴共有24+36=60个数符合题设.
应选C.
例27 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：
(1)CA∪B，且C中含有3个元素；
(2)C∩A≠(表示空集).
解：∵A∪B含有12+12-4=20个元素；
B含12个元素，
∴∩B含20-12=8个元素，
若C中恰含A中1个元素，则有C112·C28个，
若C中恰含A中2个元素，则有C212·C28·C28个，
若C中恰含A中3个元素，则有C312个，
∴符合题设的集合C的个数为
C112C28+C212C18+C312=1084个.
例28 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
解：从10点中任取4点的组合数为C410=210.
其中有4·C46=60组点，每组中的四点恰为一个侧面上的点.
其中任取同一棱上3点它们和相对棱的中点共面，即有6组这种情况应排除.
其中还有底面两棱中点和对面两棱中点共面，即有3组这种情况应排除.
∴符合题设的取法有150-6-3=141种.
应选D.
例29 已知(-)9的展开式中x3的系数为，常数a的值为_______.
解：Tk+1 =Ck9( )9-k( )k
=Ck9·a9-k2·x
令k-9+=3，得k=8，
∴x３的系数为C89·a·2-4=.
即a= ,得a=4.
例30 (-)6的展开式中的常数项为（ ）
A.-160 B.-40 C.40 D.160
解：Tk+1 =Ck6()6-k(-)k
=Ck6·(-2)k·x
令-=0，得k=3
∴常数项为C36·(-2)3=--160
应选A.
例31 (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若系数a＞1，那么a=_______.
解：Tk+1=Ck7(ax)7-k=Ck6a7-k·x7-k.
∴T6=C57a2x2,T5=C47a3x3，T4=C37a4x4，
由已知有2C47a3=C57a2+C37a4，
由a＞1，得2C47a3=C57a2+C37a4，
即35a2-70a＋21=0.
解得a=1+(舍去a=1-).
例32 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4展开式中x2的系数等于_________.
解：(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4
=(x-1)-(x-1)2〔1-(x-1)+(x-1)2〕
=(x-1)-(x2-2x+1)(x2-3x+3)
=……-(3+6+1)x2+….
∴x2的系数为-10.
例33 9192除以100的余数_________.
解：9192=(100-9)92≡992(mod 100).
992=(10-1)92=1092-…+C9092·100-C919210+1
≡-C9192·10+1(mod 100)
-C9192·10+1=-920+1=-919≡-19(mod 100)，
-19≡81(mod 100).
∴9192除以100的余数是81.
例34 由(x+)100的展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（ ）
A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
解：Tk+1=Ck100()100-k()k
=Ck100·()100-k()k·x100-k(k=0，1，2，…，100)
由∈N，∈N，k∈｛0，1，2，…，100｝，得
k=0，6，12，18，…，96，共17项.
∴应选B.
例35 在(3-x)7的展开式中，x5的系数是________(用数字作答).
解：Tk+1=Ck7·37-k·(-x)k=Ck7·(-1)k·xk，
∴T6=C57·37-5·(-1)5x5=-189x5.
即x5的系数是-189.
例36 在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是（ ）.
A.-297 B.-252 C.297 D.207
解：(1-x3)(1+x)10
=(1-x3)(…+C550x5+…+C210x2+…)
∴x5的系数为+C550-C210=207.
应选D.
例37 求(2x3-)15的展开式的常数项.
解：Tk+1=Ck5·(2x3)5-k·(-)k=(-1)k·Ck5·25-k·x15-3k-2k
令15-5k=0，得k=3
∴常数项为T4=(-1)3·C35·25-3=-40.
例38 (-)8的展开式中，x的一次项的系数为_________.
解：Tk+1=Ck8·()8-k·(-)k=Ck8·(-1)k·x
令-=1，得k=2.
∴常数项为T3＝C28(-1)2·x=28x.
x的系数为28.
例39 在(x-)8的展开式中，x4的系数与的系数之差是_________.
解：Tk+1=Ck8·(-x)8-k·(-)k=Ck8·(-1)k·x8-k-k.
令8-2k=-4，得k=6，
∴T8=C68·(-1)6=28·.
∴x4与的系数之差是28-28=0.
例40 已知(x+a)7的展开式中，x4的系数是=-280，则a=_______.
解：T4=C37·x4a3=C37a3x4.
由已知C37a3=-28035a3=-280，得a=-2.
例41 在(1-x2)20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，
(1)求r的值；
(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.
解：(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是C4r-120和Cr+120
C4r-120=Cr+1204r-1=r+1或4r-1+r=1=20，
得r=4和r=(舍去)
∴r=4
(2)T4r=T16=C1520·(-x2)15=-15504x30，
Tr+2=T6=C520(-x2)5=-15504x10
例42 在(1+x+x2)(1-x)10的展开式中，x5的系数是________(用具体数字作答).
解：(1+x+x2)(1-x)10
=(1+x+x2)(1-1x+45x2-120x3+210x4-252x5+…)
=…+(-120+210-252)x5+….
∴x5的系数是-120+210-252=-162.
例43 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7；那么a1+a2+…+a7=________.
解：令x=1，代入已知式，得-1=a0+a1+…+a7，
将x=0代入已知式，得1=a0
∴a1+a2+…+a7=-1-a0=-2.
例44 如果n是正偶数，则C0n+C2n+C4n+…+Cn-2n+Cnn=（ ）.
A.2n B.2n-1 C.2n-2 D.(n-1)2n-1 E.(n-1)2n-2
解：∵C0n+C2n+…+Cn-2n+Cnn=C1n+C3n+…+Cn-1n，
又(C0n+C2n+…+Cn-2n+Cnn)+(C1n+C3n+…+Cn-1n)=2n，
∴2(C0n+C2n+…+Cn-2n+Cnn)=2n，
C0n+C2n+…+Cn-2n+Cnn=2n-1.
应选B.
四、能力训练
(一)选择题
1.有多少个整数n能使(n+i)4成为整数（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知(ax+1)2n和(x+a)2n+1的展开式中含xn项的系数相同(a≠0为实数，n∈N)，则a的取值范围是（ ）
A.a=1 B.a＞1 C.a＜1 D.a≥1
3.在(+)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（ ）
A.330 B.462 C.682 D.792
4.若x=，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（ ）
A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项
5.n∈N，A＝（+2）2n+1，B为A的小数部分，则AB的值应是（ ）
A.72n+1 B.22n+1 C.32n+1 D.52n+1
6.从0，1，2，3，4，5六个数中任取四个互异的数字组成四位数，个位，百位上必排偶数数字的四位数共有（ ）
A.52个 B.60个 C.54 D.66个
7.用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位不是3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
8.从1，2，3，4，5，6六个数字中，任取两个不同数作为一个对数的底数和真数，得到的不同的对数值的方法有（ ）
A.20种 B.17种 C.25种 D.21种
9.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球投放在这5个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为（ ）
A.20 B.30 C.60 D.120
10.用0，1，2，3，4，5，6这7个数字排成一个数字不重复且个位数最大，十位数次之，百位数最小的三位数的个数是（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
11.要排一张5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两个合唱节目不相邻，则不同排法的种类是（ ）
A.P88 B.P55·P33 C.P55·P35 D.P55·P38
12.3人坐在一排8个座位上，若每人左右两边都有空座位，则坐法种数是（ ）
A.12 B.6 C.24 D.120
13.设A，B分别为(1+x)n展开式中的奇数项之和及偶数项之和，那么A2-B2的值为（ ）
A.(1+x)2n B.(1+x)n C.-(1-x2)n D.不是以上结果
14.若x(1+x)n的展开式中的每项的系数都用这一项的x的指数去除，则得到的新系数和等于（ ）
A.(2n+1-1)／(n+1) B.(2n-1)／(n+1)
C.(2n-1+n-2)/(n+1) D.(n·2n+1)/(n+1)
15.设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50＝a0+a1x+a2x2+…+a50x50，则a3的值是（ ）
A.2C350 B.C351 C.C451 D.C450
(二)填空题
16.在(+)100展开式中有_________个有理项.
17.今天是星期日，从今天起21991天后的第一天是星期________.
18.满足Cx-4x+1＝P3x+1的x的值是________
19.1.0096精确到0.001的近似值是________
(三)解答题
20.在10个数-9，-7，-5，-1，0，2，4，6，8中任取两个数构成虚数a+bi(a≠b)，求(1)这样不同的虚数有多少个
(2)有多少个辐角主值θ∈(，π)的不同虚数
(3)有多少个模大于5的不同虚数.
21.将数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，按从小到大次序排列，那么第25个数是什么
22.证明9·32n-8n-9能被64整除(n∈N).
23.在［(+］n展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且已知第四项是35000，试求：
(1)次数n是多少
(2)展开式中的x是多少
24.已知(x3+)n展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x项；(2)C0n-C1n+C2n-C3n+…+(-1)n·Cnn的值.
25.若(+)n展开式的二项式系数中第二、第三、第四项的系数成一个等差数列，且展开式第六项是21，求x.
能力训练参考答案
(一)1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.A 10.B 11.C 12.C 13.C 14.A 15.C
(二)16.1 17.四 18.10 19.1.055
(三)20.(1)81，(2)20，(3)64 21.32150 22.略 23.(1)n=7，(2)x1=或x2= 24.(1)210，(2) 25.x=0平面
知识要点：
重点、难点：
重点：第一章直线与平面是全书的重点，而第一单元是第一章的重点，可说“平面”这一单元是重中之重。平面的概念和反映平面基本性质的三个公理以及三个推论是今后一切推理的基础。
难点：平面的“无限延展”特征的认识，以及运用三个公理及三个推论进行推理论证，以图形、符号、文字三种语言的互译。
1、平面
平面是不定义的原始概念，它是从对桌面、黑板面、平静的水面等具体的事物抽象出平面的概念，又以通过以下几点来加深对平面的认识。
（1）一个平面把空间分成两部分，若想从某一部分到达另一部分，则必须穿过该平面，无法绕过去。这说明平面是没有“边”的，具有无限延展性。
（2）在平面上选两点，过这两点的直线上的所有点都在这个平面上（公理1），这样，用直线的“直”描述平面的“平”的性质，又由直线可以无限延长的，说明平面也是无限延展的，反映了平面的一“平”二“分”。
（3）数学中的“点”是无大小，“直线”无粗细，长短，“平面”无厚薄长宽的。
（4）“通常画平行四边形表示平面”这时所画的平行四边形是表示它所在的整个平面的一部分，平面的一部分边可以是三角形等，必要时，可以向四周列限延展，这同画直线时，也只画出它的一段表示直线，这就是用“有限”表示“无限”。
2、存在与唯一
公理3和三个推论中都指出“有且只有一个平面”或称“确定一个平面”都是指既“有一个”（存在性）又“只有一个”（唯一性）。
下面证明推论1
已知：直线a及点A，且，
求证：过直线和点A有且只有一个平面，
分析：根据题意要证明的结论是下述两个命题：
①过直线a和点A有一个平面（即存在着一个平面，使直线a和点A都在这个平面内）。 ②过直线a和点A只能有一个平面（即直线a和点A不可能同时在两个平面内）。
证明的依据是已学过的公理，特别是公理3与这里要证明的结论是相同的，只是前提不同，只须在直线a上任取两点B、C，它们和点A就构成不在一条直线的三点，转化为公理3的前提，具体证明如下：
证明：（1）（存在性）在直线a上任取B、C两点。由，知A、B、C三点不共线，∴ 经过A、B、C三点可有一个平面（公理3），
∵ B、C a
∴ （公理2）
∴ 过直线a 及点A存在一个平面。
（2）（唯一性）假定过直线a点和点A还有一个平面，由B、C a ∴ B、C
故平面经过不共线的三点A、B、C。
∴ 经过不共线的A、B、C的平面即有又有，这与公理3矛盾，既假定存在另一个平面是不可能的，∴ 过直线a及A只有一个平面。
综合（1）（2）过直线a和点A确定一个平面。
说明：（1）的证明解决“有一个”（存在性）并不表示没有第二个，而（2）的证明是证明“不能有两个”，并不表示一定存在一个，故而（1）（2）两者缺一不可，否则不能表示“存在且唯一”，解斜三角形 反三角函数
知识要点：
1、解斜三角形
正弦定理：(R表示三角形外接圆的半径)
余弦定理：
内角和定理：
面积公式：
说明：
①正弦定理中2R是比例常数，通过2R可化边为角的关系或化角为边的关系
②要注意余弦定理的变形公式 例如：
③注意常有的一些关系式 例如：
④三角形的证明题属于条件等式证明，一般把边和角互化
2、反三角函数
①三角函数在其它义域内不存在反函数，注意与反三角函数定义的联系
②加强反三角函数符号的理解，如反正弦函数，有三点含义
(1) (2)
(3)角，这是反三角函数的关键点
③注意三角函数与反三角函数的区别
在三角函数中，均无意义
④要求熟悉掌握反三角函数的性质。反正弦函数与反正切函数的性质类似，反余弦函 数与反余切函数的性质类似，可以把它们之间的联系与区别找出来，加强对它们的 理解
⑤反三角函数公式
(1)
(2)1
(3)
(4)
3、简单的三角方程
要熟悉最简单的三角方程的解集，其它的三角方程均可转化为最简单的三角方程求解。第二章 三角、反三角函数
一、考纲要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。
5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。?
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
二、知识结构
1.角的概念的推广：?
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z
第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z
第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z
第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z
(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+α，k∈Z。
(5)特殊角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k∈Z｝
终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈Z｝
终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝
终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝
2.弧度制：
(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：
1°＝弧度，1弧度＝()°
(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。
弧长公式：l=｜α｜R
扇形面积公式：S=lR=｜α｜R2?
3.周期函数：?
(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
(2)几个常见结论：
①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。 (1)
②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么也是y=f(wx)(w≠0)的周期。
③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。
4.三角函数定义：
(1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,Secα=,cscα= (如图(1))。
(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))
(3)同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1
商数关系：tgα=,ctgα=
平方关系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α
(4)诱导公式：
α 2kπ+α -α π-α π+α 2π-α -α +α
正弦 sinα -sinα sinα -sinα -sinα cosα cosα
余弦 cosα cosα -cosα -cosα cosα sinα -sinα
正切 tgα -tgα -tgα tgα -tgα ctgα -ctgα
余切 ctgα -ctgα -ctgα ctgα -ctgα tgα -tgα
上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。
5.已知三角函数值求角
6.三角函数的图象和性质：
(1)三角函数线：
如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS
(2)三角函数的图像和性质：
函数 y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx
图象
定义域 R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域 ［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1x=2kπ- 时ymin=-1 ［-1,1］x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1 R无最大值无最小值 R无最大值无最小值
周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
单调性 在［2kπ-,2kπ+ ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) 在(kπ-，kπ+)内都是增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
7.函数y=Asin(wx+)的图像：
函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到：
＞0，图像左移
(1)y=sinx y=sin(x+)
＜0，图像右移｜｜
w＞1，横坐标缩短为原来的倍
y=sin(wx+)
0＜w＜1，横坐标伸长为原来的倍
A＞1，纵坐标伸长为原来的A倍
y=Asin(wx+)
0＜A＜1，纵坐标缩短为原来的A倍
w＞1,横坐标缩短为原来的倍
(2)y=sinx
0＜w＜1,横坐标伸长为原来的倍
＞0，图像左移
y=sin(wx)
＜0,图像右移
A＞1，纵坐标伸长为原来A倍
y=sin(wx+) y=Asin(wx+)
0＜A＜1，纵坐标缩短为原来A倍
8.两角和与差的三角函数：
(1)常用公式：
两角和与差的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ，
tg(α±β)=
倍角公式：
sin2α=2sinαcosα，
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，
tg2α=.
半角公式：
sin=±,
cos=±,
tg=±==.
积化和差公式：
sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,
cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕
cosαcosβ= 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,
sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sincos,
sinα-sinβ=2cossin
cosα+cosβ=2coscos ,?
cosα-cosβ=-2sinsin
万能公式：
sinα=，cosα=,tgα=
(2)各公式间的内在联系：
(3)应注意的几个问题：
①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。
②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。
③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。
④常具的变形公式有：cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).
⑤asinα+bcosα=sin(α+).(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=确定)。
9.解斜三角形：
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C=π +＝-，2A+2B＝2π-C
余弦定理 a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC cosA=cosB=cosC
正弦定理 ===2RR为ΔABC的外接圆半径 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=
射影定理 acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a
面积公式 ①SΔ=aha=bhb=chc②SΔ=absinC=acsinB=bcsinA③SΔ=④SΔ=(P= (a+b+c))⑤SΔ= (a+b+c)r(r为ΔABC内切圆半径) sinA=sinB=sinC=
10.反三角函数：
名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
定义 y=sinx(x∈〔-, 〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy y=tgx(x∈(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgy y=ctgx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy
理解 arcsinx表示属于［-,］且正弦值等于x的角 arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 arctgx表示属于(-,)，且正切值等于x的角 arcctgx表示属于(0，π)且余切值等于x的角
图像
性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞)
值域 ［-，］ ［0，π］ (-，) (0，π)
单调性 在〔-1，1〕上是增函数 在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数 在(-∞，+∞)上是减函数
奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx
周期性 都不是同期函数
恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］) cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］) tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-,)） ctg(arcctgx)=x(x∈R)arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式 arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) arctgx+arcctgx=(X∈R)
11.三角方程：
(1) 最简单三角方程的解集：
方程 方程的解集
sinx=a ｜a｜＞1 Φ
｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝
｜a｜＜1 ｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝
cosx=a ｜a｜＞1 Φ
｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝
｜a｜＜1 ｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈z
tgx=a ｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝
ctgx=a ｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝
(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。
三、知识点、能力点提示
三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。
下面对常见考点作简单分析：
1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。
2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。
3.三角函数性质的考查
(1)定义域和值域：
(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )
(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。
4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。
5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。
6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。
进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路：
1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。
2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。
3.常数的变换：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=tg,=sin等。
4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。
5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等
6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。
7.综合运用上述各种方式。
例1 sin600°的值是( )?
A.. B.- C. D.-
解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°
=-
∴应选D.
例2 已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_______.
解:sinθ+cosθ=(sinθ+cosθ)2=()2sinθ·cosθ=-.
∴sinθ和cosθ是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的两根.
25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t1=,t2=-.
∵θ∈(0.π) sinθ＞0.
∴sinθ= ,从而cosθ=-,
∴ctgθ=.=-.
应填- .
例3 tg20°+tg40°+tg20°·tg40°的值是_______.
解：∵=tg60°=tg(20°+40°)=,
∴tg20°+tg40°= (1-tg20°·tg40°).
∴原式=(1-tg20°·tg40°)+ tg20°·tg40°).
=
应填.
例4 求值：cos·cos=________.
解：cos·cos
=(cos+cos)= (-+0)=-.
例5 关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R),有下列命题：
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-)；
③y=f(x)的图像关于点(- ,0)对称；
④y=f(x)的图像关于直线x=-对称；
其中正确命题的序号是___________.
(注：把你认为正确的命题序号都填上)
解：分别讨论四个命题.
①令4sin(2x+)=0,得2x+=kπ (k∈Z),x=- (k∈Z),设x1=-,x2=- ,k1≠k2,k1,k2∈Z,
则f(x1)=f(x2)=0,
但x1-x2=(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1-x2不是π的整数倍
∴命题①不正确.
②y=f(x)=4sin(2x+)=4cos［-(2x+)］=4cos(-2x+)=4cos(2x-)
∵命题②正确
③根据
2x+ 0 π 2π
X -
Y 0 4 0 -4 0
作出y=f(x)=4sin(2x+)的草图，如图
由图知，f(x)的图像关于点(-，0)对称，
∴命题③正确
④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-对称
∴命题④不正确
应填②、③
例6 函数y=sin(x-)·cosx的最小值是_______.
解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得
y=［sin(2x-)］+sin(-)］
= sin(2x-)-.
∵sin(2x- )∈［-1,1］,
∴ymin=-.
应填-.
例7 y= +sin2x,则y的最小值是_____.
解：利用3倍公式：
sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.
y=+sin2x
=+sin2x
=+sin2x
=+sin2x
=+sin2x
= +sin2x
=cos2x+sin2x
=sin(2x+)
∴ymin=-.
应填-
例8 在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( )?
A.有最大值和最小值0
B.有最大值但无最小值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值1但无最小值
解：∵A+B=.
∴sinA·sinB=sinA·cosA=sin2A,
A∈(0, )2A∈(0,π)
∴sinAcosA有最大值但无最小值.
应选B.
例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值
解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=
∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+2·
=sin2x+cos2x+2
=(sin2x·cos+cos2x·sin)+2
= sin(2x+)+2
∴当2x+=+2kπ时,ymax=2+
即x=+Kπ(K∈Z)，y的最大值为2+
例10 已知α是第三象限角，且sinα=-则tg=( )
A. B. C.- D.-
解：∵sinα=,sinα=-,
∴-=.
化简得12tg2+25tg +12=0，
即(4tg+3)(3tg+4)=0.
解出tg =-,tg =- .
又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，+2kπ)，
∴∈+kπ，+kπ)，
∴tg ∈(-∞，-1)，
∴tg =- (舍去tg=-1).
应选D.
例11 sin220°+cos280°+sin20°·cos80°=___________.
解：sina220°+cos280°+sin20°·cos80°
=++·2sin20°·cos80°
=1-(cos40°+cos20°)+ (sin100°-sin60°)
=1-cos30°cos10°+ cos10°-
=
应填.
例12 求sin220°+cos250°＋sin20°·cos50°的值_____________.
解:sin220°+cos250°+sin20°cos50°
=sin220°+sin240°+sin20°sin40°
=(sin20°+sin40°) 2-sin20°sin40°
=(2sin30°cos10°) 2+ (cos60°-cos20°)
=+ (-cos20°)
=
应填.
例13 tg20°+4sin20°=________.
解：tg20°+4sin20°
=
=
=
=
=
=
=.
例14 cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值等于( )
A. B. C. D.1+
解：cos275°+cos215°＋cos75°cos15°
=(sin215°+cos215°)+sin15°
=1+
=.
应选C.
例15 已知ctg=3,则cosθ=_________.
解：由已知有tg=.
∴cosθ===.
例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________.
解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgA
∴sin2A= ==.
例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.
(1)b≠0时，求tg3A的值(用a、b表示)；
(2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）.
解：(1)利用和差化积公式可得：
a=sin3A(1+2cos2A),
b=cos3A(1+2cos2A),
∴tg3A=.
(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2
∴(1+2cos2A) 2=.
又sin6A= ==,
∴(1+2cos2A)2==a2+b2.
例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )
A.arcos B.arcsin
C.arccos D.arcsin
解：不妨设此直角三角形三内角为A、B、C且A＜B＜C=90°.
由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列，
∴sin2B=sinA
又A+B=90°，得sinB=cosA,
∴cos2A=sinA,1-sin2A=sinA，
即sin2A+sinA-1=0.
解出sinA= (舍去sinA=)?
∴A=arcsin ,
应选B.
例19 如图，若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是( ).
A. ｛x｜2kπ-＜x＜2kπ+,k∈Z｝
B. ｛x｜2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z｝
C. ｛x｜kπ-＜x＜kπ+,k∈Z｝
D. ｛x｜kπ+＜x＜kπ+,k∈Z＝
解：由于sin2x和cos2x的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.
在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx和cosx的图像.
把［，π］的cosx的图像沿x轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x1=,x2＝.∴在(+2kπ，+2kπ)上有sin2x＞cos2x.
应选D.
例20 下列四个命题中的假命题是( )
A.存在这样的α和β的值，使得
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α和β，使得
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β的值，使得
cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
解：C是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D也正确.
对于A，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A正确.
对于B，取α=β=2kπ，k∈Z，则cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2kπ+sin2kπsin2kπ,
∴B.不正确.
应选B.
例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0.
解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0.
∴arctgx＜1或arctgx＞2.
又-＜arctgx＜ .
∴-＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg1.
例22 满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是( )
A.［-1,- ］ B.［-,0］
C.［0, ］ D.［,1］
解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数.
-1≤1-x≤1
∴ -1≤x≤1 ≤x≤1
1-x≤x
应选D.
例23 已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, )
求α+β(用反三角函数表示).
解：由题设得sinα==,从而cosα=,且cosβ=-
又α+β∈(π,2π)?(α+β-π)∈(0,π),
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.
∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β)〕=- .
∴-π+(α+β)=arccos
即α+β=π+arccos
例24 记函数y=的图像为l1，y=arctgx的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是( )
A.无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个?
解：作出函数草图可知有2个交点.
又x:0→时,arctgx:0→+∞, :+∞→0.
∴x＞0时，l1和l2有一个交点.
又arctgx和都是奇函数，
∴x＜0时，l1和l2也有一个交点.
应选B.
四、能力训练
1.设M＝｛第一像限角｝，N＝｛小于90°角｝，则M∩N是( )
(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案
(考查象限角的概念)
2.扇形圆心角为60°，半径为a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( )
(A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9
(考查扇形面积公式)
3.θ是第四象限角，且｜cos｜＝cos，则在( )
(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限
(考查象限角与三角函数值的符号)
4.sin21°+sin22°+…+sin290°的值属于区间( )
(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）
(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)
5.已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0)，则sinα(sinα+ctgα)+cos2α的值是( )
(A) (B) (C) (D)
(考查三角函数定义和直线方程)
6.己知0＜a＜1，＜α＜，则下列元数M=(sinα)logasinα,N=(cosα)logαcosα,P=(cosα)logasinα的大小关系是( )
(A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N
(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)
7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x等于( )
(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)
(考查诱导公式与函数解析式)
8.方程sinx=lgx的实根个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错
(考查三角函数与对数函数的图像)
9.函数y=sin(2x+)的图像中的一条对称轴方程是( )
(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=
(考查三角函数图像的特征)
10.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，
那么f(x)的解析式可以写成( )
(A)f(x)=sin(1+x)
(B)f(x)=-sin(1+x)
(C)f(x)=sin(x-1)
(D)f(x)=sin(1-x)
(考查三角函数的图像与解析式)?
11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( )
(A)它的定义域是［-1，1］
(B)它是奇函数
(C)y∈［cos1,1］
(D)不是周期函数?
(考查三角函数有关性质及弧度制)
12.函数y=tg-的最小正周期是( )
(A) (B)π (C) (D)2π
(考查三角函数的周期和恒等变形)
13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )
(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数
(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数
(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)
14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( )
(A)a＞＞b (B)a＜＜b (C)a＜b＜ (D)b＜a＜
(考查辅助角公式，三角函数的单调性)
15.下列四个命题中的假命题是( )
(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
(B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
(C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)
16.tgα、tgβ是方程7x2-8x+1=0的二根，则
sin2(α+β)-sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值是( )
(A) (B) (C) (D)
(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)
17.sin(α+β)=-，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π)，α+β∈(，2π)。则cos2β＝( )
(A)-1 (B)1 (C) (D)-
(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)
18.若ctgx=3，则cos2x+sin2x的值是( )
(A)- (B)- (C) (D)
(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式)
19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( )
(A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2
(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式)
20.在△ABC中，(1)已知tgA= sinB=，则∠C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,则∠C有且只有一解，其中正确的是( )
(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确
(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)
21.在△ABC中，若a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( )
(A)a，b，c成等差数列 (B)a，c，b成等差数列
(C)a，c，b成等比数列 (D)a，b，c成等比数列
(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列)
22.给出下列四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC是钝角三角形；
④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC是等边三角形，以上命题正确的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)
23.函数y=cosx(π≤x≤2π)的反函数是( )
(A)y=π+arccosx (B)y=π-arcsinx
(C)y=π+arcsinx (D)y=π-arccosx
(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)
24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( )
(A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx)
(B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx)
(C)y=arctgx与y=arcctg
(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)
(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义)
25.设m=arcsin,n=arccos,p=arctg，则m，n，p的大小关系是( )
(A)p＞n＞m (B)n＞m＞p (C)p＞m＞n (D)m＞n＞p
(考查反三角函数的运算及其单调性)
26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，)，则其值域是( )
(A)( ，) (B)( ，π)
(C)(- ，) (D)(- ，π)
(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)
27.函数y=logsinx(2cosx+1)的定义域是__________。
(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)
28.f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是____________
(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域)
29.把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)。然后将新得图像向左平移单位，这样得到的图像的解析式是______________。
(考查三角函数图像的变换)
30.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是_________。
(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)
31：(1)tg70°+tg50°-tg70°tg50°=________
(2)△ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log2sinc=_________
(3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)……(1+tg45°)=________
(4)己知tgA+tgB+=tgAtgB，且sinAcosB=，则△ABC的形状是______
(5)己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tgA,tgC是方程x2-px+1-p＝0(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tg(A+C)=________，tgA,tgC的取值范围分别是_____和_____，P的取值范围是__________
(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)
32.函数y=cosx-1(0≤x≤2π)的图像与x轴所围成图形的面积是_________。
(考查三角函数图形的对称变换)
33.函数y=arcsin+arctgx的值域是___________
(考查反三角函数的定义域、值域、单调性)
34.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题
①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整数倍；
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)；
③y=f(x)的图像关于点(-，0)对称；
④y=f(x)的图像关于直线x=-对称
其中正确命题的序号是______________
(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)
35.设三角函数f(x)=sin(+)，其中k≠0
(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。
(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，
(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)
36.己知x+=2cosθ，试求xn+(n∈N)的值
(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)
37.求值：
(1) (2)sec50°+tg10°
(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)
38.解答下列各题：
(1)己知A、B均为钝角，且sinA=,sinB=,求A+B
(2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=,tgβ=-,求2α-β
(3)己知α、β都是锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=
(4)求证：arcsin+arcsin(-)＝arcsin
(考查如何求角，如何证明关于角的等式)
39.根据下列所给条件，分别求出cos(α+β)的值：
(1)己知sinα-sinβ=，cosα-cosβ=
(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2kπ+β,k∈z)；
(3)己知z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z1-z2=+i；
(4)己知直线y=2x+m与圆x2+y2=1有两个公共点M，N，且x轴正半轴逆转到两射线OM，ON(O为原点)的最小正角依次为α、β
(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)
40.解答下列各题：
(1)锐角△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
(2)锐角△ABC中，求证：tgAtgBtgC＞1
(3)α、β∈［0，］，己知+=2，求证：α+β=
(考查三角函数的单调性)
41.解答下列各题：
(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。
(2)求y=的最值
(3)设函数y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式；
②试确定能使f(a)= 的a的值。
(4)求f(x)=的值域
(5)求y=2sinxsin2x的最大值
(6)若θ为钝角，求y=+(a＞b＞0)的最小值
(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范围
(8)己知3sin2α+2sin2β=2sinα，求cos2α+cos2β的最值
(考查三角函数常见最值的求法)
42.a、b、c是△ABC的三边，求证：=
(考查三角形中恒等式的证明)
43.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C＝，求sinB的值。
(考查三角形中的有关计算)
44.在△ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)
45.己知f(x)=tgx,x∈(0,)，若x1,x2∈(0, )，且x1≠x2，证明：［f(x1)+f(x2)］＞f()
(综合考查三角函数与不等式)
46.己知实数x，y满足x +y =1，问
x2+y2是否为定值 若是，请求该值：否则求其取值范围。
(考查代数与三角的综合题)
47.在高出地面30m的小山顶C处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得CD对A所张的角为45°，求电视塔的高度。
(考查应用数学知识处理实际问题的能力)
48.如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的角偏东30°，在C处测得A在船的南偏东60°，如果此船不改变航向，有无触礁的危险 ?
(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)?
49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A，B是我们的观测站，A与B间的距离是S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船只在P点，在A处测得∠BAP=α，同时在B处测得∠ABP=β，问α及β满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域
(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)
50.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆周长的动点，以AB为边，向形外作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大 并求出这个最大值。
(考查分析问题和解决问题的能力)
51.己知半径为1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。
(考查三角函数在圆形最值中的运用)
52.腰为a的等腰△ABC中，∠A=90°，当A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。
(综合考查三角、解几、最值问题)
53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角α应该是多少 ?
(考查代数与三角的综合)
54.用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木块，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大 并求出这个最大值
(考查代数、三角、立几的综合运用)
55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两点A，B，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB最大。
(考查代数，三角，解几的综合运用)
能力训练参考答案
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D
27.｛x｜2kπ＜x＜2kπ+，且x≠2kπ+，k∈z＝ 28.［-2，2］ 29.y=sin(2x+) 30.=kπ+ (k∈z) 31.(提示：应用公式tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ))(1)- (2)- (3)223(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5) ；(0，)；(0，)；［，1) 32.2π 33.［0，π］ 34.①② 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T≤1)
36.2cosnθ
方法(一)：用数学归纳法
方法(二)：设x=cosθ+t,则==cosθ-t
∴t2=-sin2θ
于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可
37.(1)-4 (2)
38.(1)∵A+B∈(0，π)，sin(A+B)=1 ∴A+B=
(2)tgα=tg［(α+β)-β］=∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-∈(-1,0)
∴β∈(,π)
∴2α-β∈(-π,- ) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β)］=1 ∴2α-β=-
(3)α+2β∈(0，π) sin(α+2β)＝1 ∴α+2β=
(4)arcsin+arcsin(-)∈(-，)， arcsin∈(0, ) 又两边正弦相等
∴等式成立。
39.提示：问题都可归结为tg==-cos(α+β)=
40.提示：
(1)～(2)A+B＞ ∴＞A＞-B＞0 ∴sinA＞sin(-B)＝cosB
同理：sinB＞cosC,sinC＞cosA
(3)显然：,必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sin2α≤cos2β sin2β≥cos2α ∴α+β≤ α+β≥ ∴α+β＝
41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转化为asinx+bcosx=c(处理)
1 (a≤-2)
(3)①f(a)= --2a-1 (-2＜a＜2＝
1-4a (a≥2)
②a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)
(4)［-,-1］∪(-1, ］ (5)y=4sin2xcosx ∴y2=8sin2x·sin2·x2cos2x≤8()2
∴ymax= (6)y=a2(1+tg2θ)+b2(1+ctg2θ)=a2+b2+(a2tg2θ+b2ctg2θ)≥(a+b)2
∴ymin=(a+b)2
(7)设cosxcosy=M,则M+=cos(x-y)∈［-1,1］ M-＝cos(x+y)∈［-1，1］
∴M∈［-，］ (8)cos2α+cos2β= (sinα-)2+ 又sin2β=sinα-sin2α∈［0，1］
∴sinα∈［0, ］ ∴ (cos2α+cos2β)max=2，(cos2α+cos2β)min=
42.提示：左====右
43.
44.由条件可知cosA=0 ∴ A= ∴12=b+c+≥2+
∴=6(2-) ∴Smax=108-72
45.分析：＞1+cos(x1+x2)＞2cosx1cosx2cos(x1-x2)＜1
46.设x=cosα，y=cosβ(α,β∈［0,π］),则sin(α+β)=1，∴α+β＝ ∴ x2+y2=1
47.150m
48.∵A离航向所在直线的距离为15＞20
∴继续航行没有触礁的危险
49.设P到AB的距离为d，则S=d(ctgα+ctgβ)
当d≤D，即ctgα+ctgβ≤时，应向外国船发出警告。
50.设∠AOB=α(0°＜α＜180°＝，则S=+2sin(α-60°)
∴α=150°时，Smax=2+
51.设∠BOC=α，则S＝(cos(2α-)-)
∴α＝时，Smax=
52.设∠BAO=α，则OC2=a2(+sin2θ+cos2θ)
∴｜OC｜max=-a
53.三边之和l=+h
∴α=30°时，lmin=+h
54.设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x、y
(1)若长边紧贴地面，则a2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα)
∴此时Vmax=a2bctg=V1
(2)若短边紧贴地面，则b2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα)
∴ 此时Vmax=b2actg=V2
∵a＞b＞0 ∴V1＞V2
∴当长边紧贴地面，且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为a2bctg
55.设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则tg∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)=
∴当x=时，(∠ACB)max=arctg不等式
知识要点：
本讲主要内容有不等式的性质、解不等式和不等式的证明。 不等式的性质是解不等式和不等式证明理论依据。
不等式不仅是高中数学的重点内容，也是学习高等数学的基础和工具，不等式一直是高考的重点内容，尤其是将不等式与方程和函数有机结合，综合地考查运算能力，逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力。
一、基础知识
1、不等式的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
对不等式的性质，关键是正确理解和运用，分清条件和结论之间的关系，防止出错。
2、解不等式
一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式，其它不等式，如高次不等式、其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。
（1）高次不等式若可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。
（2）分式不等式要正确运用以下同解原理。
不等式与不等式同解；
不等式与不等式组
同解
（3）无理不等式
将无理不等式变形为与它同解的不等式组。不等式的同解不等式组是
不等式的同解不等式组是
（4）指数、对数不等式
指数不等式的同解不等式：
当时，为；
当时，为。
对数不等式的同解不等式：
当时，为
当时，为
因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式。
（5）绝对值不等式
解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：
对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。
（6）含字母系数的不等式
对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。
3、不等式的证明
证明不等式时，常用的方法有比较法、综合法、分析法、数字归纳法和反证法。
证明不等式的基本依据：
（1）实数大小的比较原则；
（2）不等式的性质；
（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式
（4）已知函数的增减性；
（5）实系数一元二次方程的根的判别式。
用比较法证明不等式:
比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：
（1）求差比较法，要点是：作差——变形——判断。这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
（2）求商比较法，要点是：作商——变形——判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。
用分析法证明不等式:
用分析法证明不等式，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。它是证明包含根式的不等关系成立的有效方法，也是一种普通适用的方法，这种方法的实质是“充分条件”的化简。
用综合法证明不等式:
综合法是中学数学的重要方法之一，它提供了一种“执因索果”的证题模式，在解决数学许多问题中有广泛的应用。
用综合法证明不等式主要是围绕运用平均值定理展开的。
用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。
综合法要求基础知识、基本技能、基本方法熟练，要求有一定综合分析的能力，有一定的难度。
用数学归纳法证明不等式:
有关自然数的命题，（当然这里是不等式）可用数学归纳法证明。
有关自然数的命题成立的条件有二：一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。
数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。
不等式证明的综合问题:
用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。
在不等式证明中常用的基本不等式：
（1）若则；
若则；
由此可推出：
若同号，则
（2）若，则
由此推出：
（3）
不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法（比较法、分析法、综合性、反证法、数学归纳法），以用运用放缩、增量、构造（函数或不等式）、判别式等方法。
4、不等式的应用
不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。高三解析几何复习
知识要点：
1、有向线段的概念，两点间距离公式。线段的定比分点公式是解析几何研究问题的几个基本工具，应准确地、熟练地掌握和运用。
2、曲线与方程的概念，把数与形结合起来，使“数”的准确与“形”的直观有机结合，形成了解析几何的基本思想方法。要掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给的条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并能画出方程所表示的曲线，也应该会求两条曲线的交点。
3、充要条件的概念是理解曲线与方程的关系及一些命题关系的一个重要概念，要理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能初步判断给定的两个命题的充要关系。
4、直线与圆锥曲线位置关系的判定是解析几何的一个重要的学习内容，应掌握其判定方法。直线方程是一个二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，当判定两线的位置关系时，将两个方程联之为方程组，消去一元得到一个一元方程，从而由这个一元方程的解的情况来判定其位置关系（直线与圆的位置关系，还可以由圆心到直线的距离来判定）。
5、应注意对于直线与圆，直线与椭圆，消元后所得一元方程是一元二次方程，则由此方程无实数解， 有一个实数解，有两个不等实数解来确定两线是相离、相切、相交的关系，而对于直线与双曲线，直线与抛物线，消元后所得一元方程不一定是一元二次方程，可能是一元一次方程，若方程有一解，则两线有一个交点，它们分别是与渐近线，对称轴平行的直线和曲线的一个交点；如果所得方程是一元二次方程，那么同样由实数解的个数可确定交点的个数，也就判定出位置关系了。
6、当直线与圆锥曲线有两个交点P1P2时，我们称P1P2 为共弦，求它的长度是经常遇到的问题，要熟练地求解，注意可以不必将两点坐标全部求出，由一元二次方程的系数就可以计算。
7、圆锥曲线上是否存在相异两点关于某直线l对称的问题，涉及的知识较多，对这类问题也应有所了解。
8、曲线与方程的概念是形成解析几何基本方法的出发点，对“曲线与方程”、“方程的曲线”要透彻地理解，曲线的方程指的是：“如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
①曲线上的每一点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。”应该注意的是，上述两条缺一不可。
9、解析几何研究的两个基本问题是根据已知条件，求出曲线的方程及通过方程研究曲线的有关性质（如曲线的对称性、范围、交点等）。特别要掌握好依据已知条件，建立适当的坐标系，求曲线的轨迹方程，一般步骤是：
①建立适当的坐标
②设出动点（曲线上任一点）的坐标为
③依据曲线上的点满足的条件列出一个等式（即方程）
④化简方程
⑤检查以方程的实数解为坐标的点是否都在曲线上。
求曲线方程的一般方法有直接法和间接法。不等式的证明及应用
知识要点：
1．不等式证明的基本方法：
（1）比较法：
用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。
（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2> 0; | a | > 0; ; 等），推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。
（3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。
证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。
2．不等式证明的其它方法：
（1）反证法：理论依据等价。先否定命题结论，提出假设，由此出发运用已知及已知定理推出矛盾。根据原命题与逆否命题等价，得证。
（2）放缩法：理论依据 a > b, b > c a > c
（3）函数单调性法。
3．数（式）大小的比较：
（1）作差或作比法
（2）媒介法
（3）函数单调性法
4．不等式在函数中的应用：
（1）求函数的定义域
（2）求函数的值域
（3）研究函数的单调性
5．基本不等式法求最值：
（1）均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。
（2）绝对值不等式的应用。其中取等号的条件是ab < 0且|a| > |b|。|a+b| < |a| + |b|取等号的条件是ab > 0。
6．方程与不等式解的讨论
（1）一元二次方程有严格的顺序性：
。
（2）函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。第五章 复 数
一、考纲要求
1.理解复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念，掌握复数的代数形式及其运算法则，能正确地进行复数代数的运算。
2.掌握复数三角形式及其特征，三角形式与代数形式的互化能熟练运用复数的三角形式进行复数的乘、除法及乘方、开方运算。
3.理解复数的模、辐角、辐角主值和共轭复数的概念，掌握相关性质，能运用它们解决相关的复数问题。
4.理解复数的几何表示及向量表示，掌握复数加法、减法、乘法的几何意义，并能运用它们解决一些复数问题，会计算平面上两点间的距离。
5.掌握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式，会运用复数有关性质求点的轨迹方程。
6.掌握一元二次方程、二项方程在复数集上的解法，某些复系数方程和含有参数的方程的解法；韦达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用。
二、知识结构
学习复数，要抓住概念、运算、几何意义三个环节
复数概念的最重要内容是复数的二维性，即复数是形如a+bi,(a,bR)的数。复数的二维性又决定了研究复数的基本方法是分离实部和虚部的方法。新概念、新算法、新结论、范围大、头绪多是实数集合所没有的，列表如下：
i4k=1 i4k+1=I i4k+2=-1 i4k+3=-i(k∈N)
虚数单位i2=-1
=-I (1±i)2=±2 i=I =-i
a=c
复数的实部、虚部——a+bi=c+di
b=d
共轭复数 =±
=
复数 共轭虚数 =()(Z2≠0)
向量、模、等向量、零向量
a+bi(a，b)
复数的向量表示 ｜Z1｜-｜Z2｜≤｜Z1±Z2｜≤｜Z1｜+｜Z2｜
｜Z1·Z2｜=｜Z1｜·｜Z2｜
复数的模 ｜｜=
｜Zn｜=｜Z｜n
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
复数的加法法则
复数加法的几何意义
复数代数 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
形式的四 复数的减法法则
则运算 复数减法的几何意义
复平面上两点间的距离d=｜Z1-Z2｜
复数的乘法法则—(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的除法法则—=+i
— —
—
三、知识点、能力点提示
复数是一个重要内容，解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为实数问题去解决；运用三角形式把它转化成三角问题去解决；运用向量及其几何形式把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用复数本身一些特有形式如共轭运算，模运算等。复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而复数问题的解法往往综合性强且构思巧妙，方法灵活，复数运算中，求值是最常见的，不仅要用到复数的几种形式，而且有时需运用代数中的换元法及整体变形，或综合运用其他知识，如：求最值常用基本不等式，函数方法，复数还常用到数列，二项式定理等知识。
复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：
1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)
(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a+bi)2=a2-b2+2abi (a,bR)
(a-bi)2=a2-b2-2abi (a,bR)等
2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=i(bN)
3.Z+=2ReZ Z-=2ImZi(其中ReZ,ImZ分别表示复数Z的实部和虚部)
4.Z·=｜Z｜2=｜｜2
5.设w=-+i则w3=1,1+w+w2=0, =w2=
6. =± = ()=(Z2≠0)
7.｜Z1·Z2｜=｜Z1｜·｜Z2｜ ｜｜=(Z2≠0)?
8.Z=ZR
9.Z=-Z=ki(kR)=Z
10.［r1(cosθ1+isinθ1)］［r2(cosθ2+isinθ2)］…［rk(cosθk+isinθk)］?
=r1r2r3…rk［cos(θ1+θ2+θ3+…+θk)+isin(θ1+θ2+θ3+…θk)］
其中r1r2r3…rk≥0(θ1、θ2、θ3…θkR)
这些知识点沟通了复数与实数之间的联系，将复数问题化为实数问题解决，训练学生的化归思想，同时，在处理数据关系时，会根据法则，公式正确地进行运算，而且能根据题目寻求合理、简捷的运算途径，培养学生的思维能力和运算技能。复数的运算主要是数与式的组合变形和分解变形，很好的培养了学生的运算能力。
复数的几何意义包括两方面内容，一方面是复数与复平面上的点，复数与复平面上从原点出发的向量间的一一对应；另一方面是加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义。加法的几何意义：没，各与复数Z1，Z2对应，以，为边的平行四边形的对角线就与Z1+Z2对应。
减法的几何意义：没，各与复数Z1，Z2对应，则图中向量所对应的复数就是Z2-Z1。
｜Z1-Z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。
乘法的几何意义：
设表示复数r(cosθ+isinθ)(r＞0)，把绕A点按逆时针方向旋转α角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k＞0)得到，则对应的复数是［r(cosθ+isinθ)］·k(cosα+isinα)，如果把绕A点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是［r(cosθ+isinθ)］·k(cosα-isinα)
除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z1÷Z2=Z1·()因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。
复数方根的几何意义：
设对应的复数是Z，Z的n次方根(n≥2,nN)对应于从原点出发且在原点处n等分圆围角的n个向量，这n个向量的模都是，其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的n分之一，图中画出了模为8的向量所对应的复数的三次方根，，，其中?的辐角取辐角的三分之一。
理解复数运算的几何意义，通过图形来讨论代数问题，掌握数形结合这一重要的思想方法。
数学是揭示客观事物的数量和形体的本质关系和联系的科学，从认识的角度考虑“数”与“形”是事物的两个侧面，数形结合正是从这两个方面去认识事物的特征。
在解决数学问题时，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形，发挥直观对抽象的作用，实现抽象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题。
由复数的几何意义推导的下列结论对数形结合思想的培养很有帮助。
1.Z1·Z2≠0，则｜Z1+Z2｜=｜Z1-Z2｜=λi (λR且λ≠0) 对应的向量⊥
2.设P点对应的复数为Z1，点Q对应的复数为Z2，则向量对应的复数是Z2-Z1
3.向量绕点P顺时针方向旋转角θ(θ＞0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1)［cos(-θ)+isin(-θ)］而旋转之后点Q对应的复数应是(Z2-Z1)［cos(-θ)+isin(-θ)］+Z2
4.｜Z-Z1｜=｜Z-Z2｜表示以复数Z1、Z2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。
5.｜Z-Z0｜=γ表示以Z0为复平面内对应的点Z0为圆心，半径是γ的圆的方程。
6.｜Z-Z1｜+｜Z-Z2｜=2a(2a＞｜Z1Z2｜)表示以Z1、Z2在复平面内对应的点Z1、Z2为焦点，长轴是2a的椭圆方程。
7.｜Z-Z1｜-｜Z-Z2｜=2a(2a＜｜Z1Z2｜)表示以Z1、Z2在复平面内对应点Z1、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：①复数集上方程的求解；②根据方程解的情况讨论参数的取值范围；③与复数集上方程有关的计算或证明。
求解复数集上的方程主要有以下四种解法：①设Z=x+yi(x，yR)从而转化为关于实数x，y的方程。
②若是复数集上的二次方程，则可以直接利用二次方程的求根公式，但要注意判别式Δ＜0，则x1，2=
③考虑复数的几何意义，结合图形去分析。
④以复数的模为突破口，即着眼于｜Z｜，再求Z。
由复数集上的方程培养学生分类讨论，函数与方程思想的重要数学思想方法，从而培养分析问题，解决问题的能力。
复数的模及有关性质，一般是求模的取值范围或最值，通常有以下四种方法：
①利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题。
②利用不等式｜｜Z1｜-｜Z2｜｜≤｜Z1+Z2｜≤｜Z1｜+｜Z2｜
③考虑复数的几何意义转化为复平面上的几何问题。
④转化为实数范围内的最值问题。
通过这些知识点，利用换元法，待定系数法，训练学生变换与转化思想，培养逻辑思维力。
四、能力训练
1.复数Z=+(m2-2m-15)i，求实数m，使(1)Z是实数；(2)Z是纯虚数；(3)Z所对应的点在复平面的第二象限；(4)Z是复数；(5)是否存在实数m，使argZ=
知识点：复数的基本概念：实数、纯虚数、虚数、复数、辐角主值，复数所对应的点所在象限。
能力点：识记能力，计算能力。
2.计算S=1-3i+5i2-7i3+…-99i49
知识点：数列求和公式及方法，复数的四则运算。
能力点：运算能力，逻辑推量能力。
3.设f(Z)=1-，Z1=2+3i，Z2=5-i，试求：
(1)f (2)f(+)
知识点：函数的有关性质，共轭复数的有关性质：=±，=Z，()=
能力点：整体思想，运算能力
4.复数Z=cosθ+isinθ,0＜θ＜π，复数W=，求argw的最小值。
知识点：复数的辐角主值，乘、除法法则，正切函数单调性，函数最小值的求法，反三角函数。
能力点：化归思想，逻辑推理能力，运算能力。
5.已知Z=cosθ+isinθ(0＜θ＜2π),w=求argw及｜w｜
知识点：复数的辐角主值、模、三角变形。
能力点：分类讨论，逻辑推理能力，运算能力。
6.已知Z+(3+i)Z+(3-i)Z[TX-]+9=0求
①｜2Z-2i｜的最大值与最小值
②argZ的最大值与最小值及相应的复数Z。
知识点：共轭复数的性质Z+=2R(Z),Z-=2Im(Z)
(Z１＋Ｚ２)（）=｜Z１＋Ｚ２｜２ ｜Z｜=r(r≠0) =]等
求复数模的最值的三种方法：函数法、不等式法、几何法、运用模、辐角主值的几何意义解题，复数的代数、几何三角、整体形式间的相互转换。
能力点：数形结合思想，转化与化归思想，逻辑推理能力。
7.设Z1=cosθ+isinθ,Z2=cosθ-isinθ θ［π, π］,求arg(Z1+2Z2)的最值。
知识点：复数的辐角主值，正切函数的单调性。
能力点：转化与化归思想，运算能力。
8.设Z1=+i, Z2=r(cosθ+isinθ) r＞0,θ(0,π)，Z3=Z1·Z2.
若｜Z1-Z2｜=r+1，求r和θ的取值范围。
知识点：复数的代数、几何、三角三种形式间的互化。
能力点：函数或不等式的思想方法。
9.设Z1，Z2C,｜Z1｜=｜Z2｜=1,Z1、Z2在复平面内的对应点分别为Z1、Z2，O为原点。
(1)若Z2-Z1=-1，求arg；
(2)设argZ1=α，argZ2=β，若ΔOZ1Z2的重心对应复数+i求tg(α+β)的值。
知识点：辐角主值，三角的恒等变形，三种形式间的互化。
能力点：数形结合、转化与化归思想。运算能力，逻辑思维能力。
10.设复平面内有一系列向量(n=1,2,3,4,…)，将逆时针方向旋转θ，且使其模扩大原来的倍得到，已知Zn对应向量(n=1,2,3…)Z1=-1+i
(1)当θ=时，求Zn关于n的表达式。
(2)当θ=时，求使Zn为实数时所有n；将所有等于实数的Zn的倒数按原有次序排列成一个新数列求(b1+b2+…bn)
(3)当0＜θ＜π时，求｜Z1-Z2｜+｜Z2-Z3｜+…+｜Zn-Zn+1｜
知识点：乘法的几何意义，等比数列，极限。
能力点：转化与化归思想，运算能力，逻辑思维能力。
11.已知Z为虚数，Z+是实数。
(1)求Z对应复平面内点Z的集合。
(2)设N1=2iZ+1，求复数W1所对应点P的集合。
(3)设W2=+Z，求复数W2所对应点Q的集合。
知识点：复数的模与共轭，复数减法的几何意义，参数方程，集合，复数的乘、除法。?
能力点：数形结合思想，逻辑思维能力。
12.已知非零复数Z1，Z2满足等式2Z12+2Z1Z2+Z22=0,Z1,Z2与复平面上的点A，B时对应，O为坐标原点。
(1)试判定ΔOAB的形状
(2)若｜Z1-2+i｜=1，求ΔOAB的面积的最大值。
知识点：复数乘法的几何意义。
能力点：数形结合思想，逻辑思维与运算能力。
13.设复数Z满足2≤Z+≤10，试求复平面上与复数Z所对应的点的轨迹。
知识点：复数的共轭的性质，复数与不等式，反三角函数，复数的几何意义。
能力点：逻辑思维能力，分析问题与解决问题的能力。
14.已知复数Z=-i,W=+i，复数，Z2W3在复平面上所对应的点分别为P、Q，证明ΔOPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)
知识点：复数三角形式的运算，复数的模与共轭，复数乘法的几何意义。
能力点：运算能力，逻辑思维能力。
15.设复数Z=cosθ+isinθ(0＜θ＜π＝，W=并且｜W｜=,argW＜求θ
知识点：三角恒等变形，复数的模与共轭，复数的辐角主值。
能力点：分类讨论与归纳思想，逻辑思维能力。
16.等比数列｛Zn｝中，已知Z1=1，Z2=a+bi,Z3=b+ai(a,bR,a＞0)
(1)求a,b的值；并将Z2表示成三角形式。
(2)求满足Z1+Z2+…+Zn=0的最小自然数n，并计算Z1·Z2…Zn的值。
(3)前100项中有多少项是实数 并求这些实数和。
知识点：等比数列的性质，复数的三角表式。
能力点：转化与化归思想，分析与解决问题的能力。
17.已知复数集合M={Z‖Z-2+i｜≤2ZC}∩{Z‖Z-2-i｜=｜Z-4+i｜ZC}
(1)试在复平面内作集合M的图形并说明图形的名称。
(2)求集合M中元素Z辐角主值的取值范围。
(3)求集合M中元素Z模的取值范围。
知识点：集合、复数减法的几何意义，复数的辐角主值，复数的模，点到直线的距离。
能力点：数形结合思想，逻辑思维能力。
18.设复平面上有一系列向量(n=0,1,2……)满足如下关系：将绕原点按逆时针方向旋转π后，再把它的模变为原来的一半，得到，记OZn对应的复数为Zn(n=0，1，2……)，若Z0=2+2i，(i为虚数单位)
(1)求Zn
(2)n这何值时，Zn为实数 将所有为实数的Zn按原有顺序排列成数列｛an｝，写出这个数列的通项公式。
(3)求(a1+a2+…+an)
知识点：等比数列的性质，极限，棣莫佛定理。
能力点：分析与解决问题能力。
19.已知tR，且关于x的方程x2+2x+t=0的两个根为复数α，β求｜α｜+｜β｜的值。
知识点：二次方程的判别式，根与系数的关系。
能力点：分类讨论思想，函数与方程思想。
20.设关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一个根的模等于1，试确定实数a的值。
知识点：复数的模，实系数方程的两根以共轭形式出现，根与系数的关系。
能力点：函数与方程思想，分类讨论思想，逻辑思维能力。
21.设α是方程ax2+bx+c=0的根，如果a＞b＞c，求证：｜α｜＜1
知识点：不等式，二次方程根与系数的关系。
能力点：逻辑思维能力，分类讨论思想。
22.复数集合中有个一元二次方程，它的二次项是2x2，它的一次项是-x，常数项是实数，设α，β是该方程的两个复数根｜α-β｜=，解这个方程。
知识点：二次方程根与系数的关系。
能力点：分类讨论思想。
23.复数Z≠0，｜Z+｜=1求证：
≤｜Z｜≤
知识点：复数的模与共轭，不等式的应用。
能力点：逻辑思维能力，运算能力。
24.实系数方程x2-2ax+b=0的两个复数根Z1，Z2在复平面上表示Z1，Z2的点为直径端点的圆恰好过点P(1，1)，求复数a+bi所表示的点的轨迹方程。
知识点：复数减法的几何意义，二次方程根与系数的关系，虚根的求法。
能力点：分类讨论思想，数形结合思想，分析与解决问题的能力。
25.设0＜θ＜2π，复数Z=1-cosθ+isinθ,μ=a?2+ai(aR)，且Z、μ是纯虚数，求复数μ的辐角主值argμ(用θ的代数式表示)
知识点：三角恒等变形，复数的辐角主值
能力点：分类讨论思想，运算能力，逻辑思维能力
能力训练参考答案
1.解：
m2-2m-15=0
(1)由 解得m=5
R
=0
(2)由 得m=-2或m=3
m2-2m-15≠0
＜0
(3)由 得m＜-3
m2-2m-15＞0
(4)由 得m≠-3
m2-2m-15R
(5)由=m2-2m-15m3-20m-39=0
考虑函数f(m)=m2-20m-39(m≠-3)当m→+∞时 f(m)→+∞
当m→-∞时f(m)→-∞可见存在f(m0)=0，使m3-20m-39=0
表明存在实数m，使argZ=
2.解：S=1-3i+5i2-7i3+…+97i48-99i49 ①
iS=i-3i+5i3-…+97i49-99i50 ②
①+②得 (1+i)S=1-2i+2i2-…+2i48-2i49-99i50
=1-2(i-i2+…-i48+i49)-99i2
=1-2·+99
=100-2
=100-2i
∴ S=
=
=49-51i
3.解：
(1)f()=1-()=1-(Z1-Z2)=1-［(2+3i)-(5-i)］=4-4i
(2)f(+)=1-(+)
=1--
=1--
=1--
=-i
4.解：w =
=
=
∵W的实部＜0，虚部＞0可见＜argw＜π，tg(argw)= (0＜θ＜π)
在(，π)上，函数y=tgx是增函数，要求argw的最小值，先求tg(argw)的最小值，即求y=的最小值。
5sinθ=ycosθ-5y 5y=ycosθ-5sinθ=·cos(θ+t)
其中cost= sint=
∵y＜0
∴t为第二象限的一个角 设t=arc·cos
∵｜cos(θ+t)｜=≤1
∴25y2≤y2+25
∴y2≤
∴-≤y≤0
∴θ＝π-arccos，则 y=tg(argw)=-
∴argw=arctg(-)
∴argw的最小值为arctg(-)
解法二：由Z=cosθ+isinθ(0＜θ＜π＝得Z=x+yi,x2+y2=1,x＜0,y＞0
W =
=
=
=
= tg(argw)=
问题转化为求函数t＝，x2+y2＝1，x＞0，y＞0的最小值
将y＝x-t，代入x2＋y2＝1整理得
(1+)x2-x+t2-1＝0
∵xR
∴(-)2-4(1+·(t2-1)≥0
∴t2≤
5.解法一：∵｜Z｜＝1，∴Z＝1
W ＝＝1+Z+Z2＝Z+Z+Z2＝Z(Z++1)
＝(2cosθ+1)(cosθ+isinθ)
∵θ＜(0，2π)于是
当2cosθ+1≥0即0(0，)∪［,2π］时argw=0,｜w｜=2cosθ+1
当θ(，)时2cosθ+1＜0,w=-(2cosθ+1)［cos(π+θ)+isin(π+θ)］
｜w｜=-［2(cosθ+1)］
由π+θ(π+，2π+)得
若θ(,π)则argw=π+θ；若θ［π, )则argw=π+θ-2π=θ-π
解法二：
w =
=
=
=sincos(cosθ+isinθ)
由(0,3π)得当0＜≤π或2π≤＜3π得0(0,)∪［π,2π］时sin≥0argw=０ ｜w｜=sincsc
当θ(π,)时 ｜w｜=-sincsc
6.解法一：
∵Z+(3+i)Z+(3-i) +9=0
∴(Z+3-i)( +3+i)=3即(Z+3-i)()=3
∴｜Z+3-i｜=
∵｜2Z-2i｜=2｜(Z+3-i)-3｜≤2(｜Z+3-i)｜+｜-3｜=2(+3)
当且仅当 Z+3-i=λ(-3)(λ＜0＝即
｜Z+3-i｜=｜-3λ｜=-3λ
即-3λ= 即-3++i时 ｜2Z-2i｜的最大值为2(+3)又｜2Z-2i｜=2｜｜(Z+3-i)｜-3｜≥2(｜｜Z+3-i｜-｜-3｜｜)=2(3-)当且仅当Z+3-i=λ(-3)(λ＞0)即｜Z+3-i｜=｜-3λ｜=3λ即3λ= 即Z=-3-+i时，｜2Z-2i｜的最小值为2(3-)
解法二：
由｜Z+3-i｜=知Z对应点在以(-3，)为圆心，为半径的圆上?
∴｜Z-i｜的最大值为+=3+,最小值为-=3-,从而｜2Z-2i｜的最大值为2(3+)，最小值为2(3-)
解法三：
由｜Z+3-i｜设Z+3-i=(cosθ+sinθ)θ［0,2π］则
｜2Z-2i｜=2｜-3+(cosθ+isinθ)｜
=2
=2
∴｜2Z-2i｜的最大值为2·=2(3+)
最小值是2=2(3-)
②由①设OA，OB分别与圆C相切于A、B两点，则argZ的最大值与最小值分别是B、A对应复数Z1，Z2的辐角主值
∵｜OC｜=2,∴∠AOC=∠BOC=
∴argZ的最大值为π，最小值为π-2·=，对应的复数
Z1= (cos+isin)=-+I Z2=-3
7.解：∵Z1+2Z2=(sinθ+2cosθ)+i(sinθ-2cosθ)
∴tg［arg(Z1+2Z2)］=
==1-
又θ［π, π］?
∴tgθ［-1,1］［-3,-］
又sinθ+2cosθ＜0,sinθ-2cosθ＞0
∴arg(Z1+2Z2) ［,π］
又tgx在(，π)上单调递增
∴arg(Z1+2Z2)的最小值为argctg(-3)+π=π-arctg3
最大值为arctg(-)+π=π-arctg
8.解法一：
Z1=+i=2(cos+isin) (1)
Z3=Z1-Z2=2r［cos(θ+ )］+isin(θ+ )］
∵｜Z1-Z3｜=r+1 ∴［2rcos(θ+)-2cos］2+［2rsin(θ+)-2sin(-)］2=r+12
即 3r2-2r(4cosθ+1)2+3=0cosθ==＞0
又θ(0,π)cosθ(-1,1)
∴0＜＜1 得＜r＜3
于是cosθ==(r+)-［,1］
∴θ(0,］
解法二：
设0为原点，Z1，Z3分别与Z1，Z3点对应，由(1)式知在Δ0Z1Z3中，∠Z10Z3=θ由余弦定理有
cosθ =
=
=以下解法同一。
9.解：
(1)∵｜Z1｜=｜Z2｜=1,∴｜｜=1
设=cosθ+isinθ,θ=arg
代入Z2-Z1=-1,得Z1(cosθ+isinθ-1)=-1
∴｜Z1(cosθ-1+isinθ)｜= =-1
∴cosθ=θ=arg=或π
或解：设Z1=cosα+isinα,Z2=cosβ+isinβ,α=argZ1,β=argZ2代入Z2-Z1=-1并由复数相等的充要条件得
cosβ-cosα=-1 ①
①2+②2∶cos(β-α)=
sinβ-sinα=0 ②
又β-α(-2π,2π) ∴β-α=±或±π
又arg与β-α的终边相同 ∴arg=或π
(2)由已知得=+i即
cosα+cosβ+i(sinα+sinβ)
cosα+cosβ=1 ③
=1+i
sinα+sinβ=5 ④
由③④得2coscos=1 2sinsin=
④÷③得tg=tg(α+β)=
10.解：
(1)Z1=(cosπ+isinπ) Zn=Zn-1(cos+isin)(n≥2)
∴Zn=Z1［(cos+isin)n-1
=2(cosπ+isinπ)
=2(-sin+icosπ)(n=1,2,3…)
(2)Zn为实数cosπ=0π=kπ+n=4k+2 (kZ)由nN知k=1,2,3……时Zn为实数
∴b1==-, = =-
∴bn=-(-)n-1
∴(b1+b2+…bn)==-
(3)∵｜Zn+1-Zn｜=｜Zn｜·｜(cos+isin)-1｜=2
∴｜Z1-Z2｜+｜Z2-Z3｜+…+｜Zn-Zn+1｜=+()2…+()n
=(2+)(2-1)
11.解：
(1)∵Z+R ∴Z+=() 即=0
又Z为虚数 ∴Z-≠0, ∴Z=4即｜Z｜=2其中Z≠±2
∴点Z的集合是圆心在原点，半径是2的圆且去掉点(±2，0)
(2)由w1=3i+1Z=(w1-1)(-i)
代入｜Z｜=2 得｜w1-1｜=6 又Z≠±2
∴W1≠1±6i
∴点p的集合是以(1，0)为圆心，6为半径的圆，且去掉点(1，±6)
(3)由｜Z｜=2,且Z≠±2,设Z=2(cosθ+isinθ) θ(0,π)∪(π,2π) w2=x+yi(x,yR)则
x+yi=2(cosθ+isinθ)+=cosθ+isinθ
x=cosθ
∴ 消去θ得x2+y2=1，其中x(-,)
y=sinθ
即点Q的集合为一椭圆，且去掉在x轴上的两个顶点(±，0)
12.解：
(1)2Z12+2Z1Z2+Z22=0 且Z1，Z2≠0
∴()2+2+2=0
∴=1±i=［cos(±π)+isin(±π)］
即｜Z2｜=｜Z1｜∴ΔOAB是∠AOB=π,且｜OB｜=｜OA｜的三角形
(2)∵SΔOAB =｜OA｜｜OB｜sin∠AOB
=｜OA｜·(｜OA｜)·sinπ
=｜Z1｜2
又｜Z1-2+i｜=1
∴A在以P(2，-1)为圆心，1为半径的圆上
又｜Z1｜=｜OA｜且｜OA｜的最大值为｜OP｜+1=+1
∴SΔOAB的最大值为(+1)2=3+
13.解法一：设Z=x+yi(x,yR)?
则Z+=(x+yi)+
=(x+)+(y-)i
y-=0 ①
即
2≤x+≤10 ②
由①得y=0或x2+y2=16分别代入②中2≤x≤18或1≤x≤5的轨迹分别为：x轴上连结(2，0)和(8，0)的一条线段或以原点为圆心，4为半径的圆上的一段圆弧(包括端点)
解法二：
∵Z+R
∴Z+=+
∴Z·｜Z｜2+16=·｜Z｜2+16Z
∴｜Z｜2(Z-)=16(Z-)
∴Z=或｜Z｜2=16
由Z=知ZR
根据2≤Z+≤10知
Z＞0
Z2-2Z+16≥0 ∴2≤Z≤8
Z2-10Z+16≤0
由｜Z｜2=16知｜Z｜=4 设Z=4(cosθ+isinθ)
由2≤4(cosθ+isinθ)+≤10
2≤4(cosθ+isinθ)+4(cosθ-isinθ)≤10
≤cosθ≤1
∴2θπ-arccos≤θ≤2θπ+arccos (kZ)
∴轨迹方程为
｜Z｜=4
2≤Z≤8或
0≤argZ≤arccos或2π-arccos≤argZ＜2π
14.解法一：
∵Z=-i=cos(-)+isin(-)
w=+i=cos+isin
∴?=
=cos+isin
=cos(-)+isin(-)
Z2W3 =［cos(-)+isin(-)］·(cosπ+isinπ)
=cosπ+isinπ
∴arg=-(-)=即OP⊥OQ
又｜｜=1=｜OP｜
｜Z2W3｜=1=｜OQ｜ ∴ΔOPQ是等腰直角三角形
解法二：
∵Z=-i=i(--i)=iε2 (ε2=--i)
W=+i=(1+i)
∴====i
∴OP⊥OQ,｜OP｜=｜OQ｜即ΔOPQ是等腰直角三角形。
15.解法一：
W =
=
=
=
=tg2θ·
=tg2θ(sin4θ+icos4θ)?
∵｜W｜=
∴｜tg2θ(sin4θ+icos4θ)｜=｜tg2θ｜=
∴tg2θ=±
∵0＜θ＜π
∴0＜2θ＜2π
当tg2θ=时 θ=或π此时 w=(cos+isin)
∴argw=＜满足题意。
当tg2θ=-时 θ=π或π，此时w=(cos+isinπ)
此时argw=π＞符合题意。
∴θ=或π
解法二：
∵｜W｜=
∴｜｜=｜｜=｜｜=
即： =
即：=｜tg2θ｜=
16.解：
(1) ∵Z22=Z1Z3
a2-b2=b
∴(a+bi)2=b+ai即
2ab=a
∵a＞0
∴b=,a=
∴Z2=+i=cos+isin
(2)公比q=Z2=cos+isin 且Sn=0
∴qn-1=0 即cos+isin=1,n的最小值为12
此时Z1Z2……Zn=q1+2+…+11=q66=cos+isin=-1
(3)an=a1qn-1=cosπ+isinπR时?
sinπ=0,n=6k+1(k为非负整数)
当6k+1≤100时0≤k≤16共有17个实数项，它们构成等比数列，首项为1，公比为q6=-1,17个实数项的和为1。
17.解：(1)集合m的图形是两个图形的公共部分，一个图形是由｜Z-(2-i)｜≤2表示的圆面，另一个图形是以点A(2，1)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线，它们的公共部分是一条线段，如图中的DE，其方程为x-y-3=0 (2-≤x≤2+)
(2)由(1)知E(2+，-1)，tg＜x0E==
D(2-,--1) tg＜xOD=｜｜=
∴线段DE上的点Z的辐角主值的取值范围
［0,arctg］∪［2π-arctg，2π］
(3)｜OD｜==
｜OE｜==
原点O到直线x-y-3=0的距离d==
∴线段DE上的点Z的模的取值范围为［,］
18.解：
(1)∵Zn+1=(cos+isin)Zn,(n=1,2,3……)
∴数列｛Zn｝是公比为(cos+isin)的等比数列
首项Z0=2+2i=4(cos+isin)
∴Zn=4(cos+isin)·()n(cos+isin)
=()n-2·(cosπ+isinπ)?
(2)当n=4k-3时(kZ) =3k-2
sin(3k-2)π=0,Zn为实数
∴αk=()4k-5cos(3k-2)π
=2()k-1cos(3kπ)
=(-2)(- )k-1(k=1,2,……)
(3)∵数列｛ak｝是首项为-2，公比为-的等比数列
∴lim(a1+a2+a3+……ak)
==-
19.解：关于x的二次方程的判别式Δ=4-4t=4(1-t)
(1)当t≤1时，Δ≥0 α=-1- β=-1+
∴｜α｜+｜β｜=1++｜-1｜
①当t≤0时｜α｜+｜β｜=2
②当0＜t≤1时｜α｜+｜β｜=2
(2)当t＞1时Δ＜0 α=-1-I β=-1+i
∴｜α｜+｜β｜=+=2
20.解：设α是方程的一个根且｜α｜=1
(1)当αR时α=±1 当α=1代入原方程有
a2+2a+2=0 无实解
当α=-1时 代入原方程有a2-4a+2=0解得a=2±
(2)当α为虚数时，也是方程的一个根
由α·=及｜a｜=1知a2-a-2=0解得a=2或a=-1
又Δ=a2+8a＜0-8＜a＜0
∴a=-1
综上所述 a=-1或a=2±
21.证明：由0＜c＜b＜a，所以当Δ=b2-4ac≥0时
α为实根，且另一根β也为实根
∵α·β=＞0?
∴α与β同号｜-｜=｜α+β｜=｜α｜+｜β｜
又＜1
∴｜α｜＜1
当Δ＜0时α为虚根，另一根β=
∴α·β=α·=｜α｜2=
由0＜＜1｜α｜2＜1即｜α｜＜1
综上所述｜α｜＜1
22.解：设方程为2x2-x+k=0,kR，它的根有两种可能的状况
α，β都是实数；α，β互为共轭虚数。?
若方程有二实根，则(-1)2-8k≥0即k≤
由｜α-β｜=== 得k=-
α，β==
若方程有二互为共轭的虚根，则(-1)2-8k＜0,k＞
由｜α-β｜== 得k=
∴α，β==
综上所述：当k=-时，方程有二实根，它们是
当k=时，方程有二互为共轭的虚根，它们是
23.解：由｜Z+｜=1知｜Z｜=｜Z2+1｜
对｜Z2+1｜可能的不等变形有
｜｜Z2｜-1｜≤｜Z2+1｜≤｜Z2｜+1
即是｜｜Z2｜-1｜≤｜Z｜≤｜Z2｜+1
｜Z｜2-｜Z｜+1≥0
∴
｜Z｜2≥(｜Z｜2-1)2=｜Z｜4-2｜Z｜2+1
由｜Z｜4-3｜Z｜2+1≤0
解之得 ≤｜Z｜2≤即≤｜Z｜≤
方法二：
1=｜Z+｜≥｜｜Z｜-｜
∴(｜Z｜-)2≤1
∴｜Z｜2+-3≤0
∴｜Z｜4-3｜Z｜2+1≤0
方法三：
1 =｜Z+｜2
=(Z+)(+)
=Z·+++
=｜Z｜2++(+)
注意到：-2=-2｜｜≤+≤2｜｜=2
∴｜Z｜2+=1-(+)≤1+2=3
∴｜Z｜4-3｜Z｜2+1≤0
24解：依题意，可设圆的方程为｜Z- =
即 ｜Z-a｜=｜Z1-Z2｜
当Δ≥0 即a2≥b时
∵Z1-Z2为实数
∴｜Z1-Z2｜=
=
=
=2
∴｜Z-a｜=
又∵圆过(1，1)点，代入有｜(1-a)+i｜=
化简整理得 b-2a+2=0(a2≥b)为所求轨迹方程
当Δ＜0即 a2＜b时
｜Z1-Z2｜=｜｜
=｜i｜
=2
∴｜Z-a｜=
又∵圆过点(1，1)，代入有｜(1-a)+i｜=化简整理得
b=2a2-2a+2)(a2＜b)为所求轨迹方程。
25.解：∵Z·μ=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)
=［a2(1-cosθ)-asinθ］+［a2sinθ+a(1-cosθ)i］
∵Z·μ是纯虚数
a2sinθ+a(1-cosθ)≠0 ①
∴
a2(1-cosθ)-asinθ=0 ②
由①2asin(acos+sin)≠0
∴a≠0 且sin≠0
由②2sin(asin-cos)=0
∴asin-cos=0
∴a=ctg(∵a≠0,∴θ≠π)
∴μ=a2+ai=ctg2+ictg=(cos+isin)
当0＜θ＜π时0＜＜ 此时 argμ=
当π＜θ＜2π时 ＜＜π
此时μ=-［cos(π+)+isin(π+)］
且π+(π,2π)?
∴argμ=π+
复数概念
复数的模
复数的辐角
复数的辐角主值
复数三角
形式的乘
法法则
复数乘法的几何意义：将向量a+bi逆时针
旋转θ得(a+bi)(cosθ+isinθ)
棣莫佛定理［r(cosθ+sinθ)］n=rn(cosnθ+isin nθ)
复数三角
式的除法
法则
复数除
法的几
何意义：
将向量a+bi顺时针方向旋转θ得
=(a+bi)(cosθ-sinθ)
复数三角
式的开方
法则
若Z=r(cosθ+sinQ)则Z的几次方根为
xr=(cos+isin)
k=0.1.2…(n-1)
二项方程的解法
实系数一元二次方程的虚根求法
代数形式与三角形式的互化a+bi=r(cosθ+sinθ)
EMBED Equation.3 (r=)
r1(cosθ+isinθ1)·r2(cosθ2+sinθ2)
=r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］
=［cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)］
复数的三
角形式
Z=r(cos
+sin)平面与空间两直线位置关系
知识要点：
立体几何中的数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，所以要正确理解这三者之间的关系，要善于根据文字和符号画出正确的空间图形，或能根据图形判定出几何元素之间的位置关系，要注意画图和识图的培养。
1、平面
一般情况下平面用平行四边形表示，必要时可用三角形、菱形、梯形等表示，但不能误以为平行四边形等就是一个平面，即注意平面的无限延展性。
2、平面的基本性质
①公理—是判定直线在平面内的依据，也有时利用下面的推理判定：点在线上、线在面内，则点在面内。
②公理二是判定两个平面相交的依据。公理二大致有三类应用：
（1）如果两个平面、有两个公共点M、N，那么与相交于直线NM。在直线NM上所有的点，都是与的公共点，常用这个性质来确定点，直线及截面等。
（2）如果已知两个相交平面有三个公共点或多个公共点，那么这些点必在二平面的交线上，因此常用这个性质证明几点共线的问题。
（3）如果已知两个平面、的交线为l，又知点P为二平面的公共点，那到点P必在C上，常用这个性质来证明点在直线上或几线共点的问题。
③公理3及其推论是确定平面的理论依据，要注意这四者确定平面的条件，分别是：不共线三点、直线和直线外一点，两相交直线，两平行直线 。
3、异面直线
①异面直线的定义为：不同在任何一个平面内的两条直线。即不可能找到一个平面能同时包含的两条直线。但分别在两个相交平面的两条直线未必是异面直线，它们有可能平行、相交或异面，如下图
A a
在内a // b 在内a∩c = A 在内a∩c = A
在内a // c 在内a∩b = A 在内a∩b = B
∴ b // c ∴ b∩c = A A、B不重合
∴ b、c为异面直线
②在同一平面内，没有公共点的两直线平行，在空间中没有公共点的两条直线平行或异面。
③判定或证明异面直线时，可用判定定理或反证法。
④异面直线所成角的范围为。
⑤空间中两直线垂直，可能为相交垂直，也有可能为异面垂直。
⑥异面直线的公垂线和两条异面直线都相交垂直。
要注意“相交”这个条件。
4、应掌握的问题
①共面问题
②几线共点问题
③几点共线问题
④判定或证明异面直线
⑤求异面直线所成的角和异面直线间距离数列、数列的极限、数学归纳法
知识要点：
一、数列的一般概念
1、数列通项公式, 其中n是自然数集或是自然数集的子集。
2、表示数列的方法有: 列表法, 图象法, 解析法和用递推形式表示数列。
3、数列的前n项项之间的关系。
在用计算中, 这时成立, 务必再检验一下n = 1时与所有的关系, 看能否将用统一的表示式表示, 这一点在解题时常出错。
4、数列求和问题, 除转化为等比数列、等差数列求和外, 还要注意以下两点:
(1)通项公式是项数n的一次、二次、三次多项式时, 经常转化为自然数列、自然数的平方数列、立方数列进行求和, 利用下列公式:
1 + 2 + 3 + 4 + …… + n = ,
,
.
(2)利用裂项法进行求和。
二、等差数列和等比数列
1、两个数列的基本概念列表对比如下:
名称内容 等差数列 等比数列
定义 (常数)(n = 1, 2, 3……) (常数)(n = 1, 2, 3……)
通项公式
前n项和公式
中项公式 A－a = b－A,2A = a + b, ,
2、在等差数列中涉及五个量, 在等比数列中涉及五个量, 在五个量中“知三求二”是基本运算, 运算时要注意灵活运用有关性质和变形, 探求简便的解法。
3、等差数列、等比数列的有关性质
数列是等差数列的充要条件是, 其中a、b是常数, 且a是公差;
数列是等差数列的充要条件是, 其中a、b是常数, 且。
在等差数列中, 若k、l、m、且k + l = m + n, 则, 特别有。
在等比数列中, 若k、l、m、且k + l = m + n, 则, 特别有。
三个非零实数a, b, c成等比数列的充要条件是b2 = ac, 零不可能是等比数列的某一项。
三个实数a, b, c成等差数列的充要条件是2b = a + c。
三、数列的极限
1、理解数列的极限“”定义并会应用。
2、数列极限的四则运算
如果,
那么,
(C是常数)。
对上述法则可以推广到有限个数列的和的极限, 等于它们的极限的和。但是对于无穷多个数列的和, 这个性质不成立。
3、无穷等比数列当时, 各项和。
换言之, 在无穷等比数列中, 存在的充要条件, 一定注意公式的含义及适用范围。
4、常用的基本极限
在极值的求值运算时, 经常用到下列极限。
(C是常数), (C是常数), 当
四、数学归纳法
数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种重要方法。
了解数学归纳法的原理, 认识数学归纳法和归纳法这两种推理方法之间的区别和联系, 初步形成“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法, 既发现结论, 又能证明结论的正确性, 这是分析问题和解决问题的重要内容, 也是高考的重点。
在运用数学归纳法证题时, 把握f(k)与f(k + 1)间的关系, 是证明的关键。集合
知识要点：
重点、难点：
本单元的重点是有关集合的基本概念，难点是有关集合的各个基本概念的内涵以及它们相互间的联系与区别，对于初学者来讲各种数学符合的意义及运用也是一个难点。
1、关于集合的定义：
应该明白集合是数学中的原始概念，它是不能用其他概念定义的概念。注意课本上，通过五个具体的例子，介绍什么是集合，通过具体的例子，抽象出数学概念：“确定的对象的全体形成一个集合。”这里没有用“……叫做集合”。这不是集合的定义，因为这里的“全体”与集合是同义语。
在几何中点、线、面也是原始概念。（也称不定义的概念）立几中介绍平面时是用：“常见的桌面、黑板面、平静的水面以及纸板等，都给我们以平面的形象。”也是由具体的事例，抽象成数学的概念。
集合是人们熟知的“全体”、“类”、“组”等具体概念的抽象。具有“整体”性。
要掌握两个集合在全集中的相互关系的文氏图，明确图中各区域的意义；要掌握子集概念及子集关系的充要条件。
当题目要求写出解集时却错误地用不等式表示，这是本节最容易扣分的一个问题。
要掌握求个数，求集合，求元素和判定关系四种题型。
两个元素的集合共有4个子集；3个元素的集合共有8个子集。例如：{1,2,3,4}且，则这样的集合A共8个。
在求集合时要注意区间的开闭。如：，则。
求元素的方法主要是构造方程（组）。或画出文氏图，推理出所求集合中的元素。
判定关系无非有两种，其一为判定元素与集合关系，实质是比较大小。其二为判定集合与集合关系，方法是把两个集合在对应区间的元素用列举法表示出来再加以比较。
在高一阶段只要求能判定两个命题之间的充要关系。设两个命题对应的集合为A、B若，则称A为B的充分不必要条件，即若有元素属于A，则其属于B必然成立。那么A是B的充分条件或说B是A的必要条件。
2、关于空集：
定义：不含任何元素的集合叫空集。
（1）为什么要“规定空集是任何集合的子集 合。”
在初中我们曾规定，当时，，这种规定在数学中称为约定式定义。它必须遵循：①规定的必要性；②规定的合理性。
按乘方的定义，显然不能按乘方的意义来理解，因此有必要规定的意义。又因为（且），而当时，，又，因此，当时，规定是合理的。
同样，规定空集是任何集合的子集合也是必要的，（认真阅读子集的定义，就知道子集的定义内不含有空集）那么，它的合理性又是什么？因为由子集的定义显然有，也就是说，任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中任何一个集合，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集合”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都是它本身的子集，这就是规定空集是任何集合的子集合的合理性。
（2）空集的唯一性。
若，与2都是空集，因为空集是任何集合的子集合，所以空集也是空集的子集（非真子集），于是有，且，∴。
（3）空集是任何非空集合的真子集。
3、元素与集合的相对性。
高一（1）班可以看成由高一（1）50名同学组成一个集合，其元素是组成高一（1）班的每一个同学。若从另一个角度，学校由班级组成，全校从初一（1）到高三（5）共27个班，此时，高一（1）又成为全校集合27个班中的一个元素。
例：写出由集合的子集组成的集合M，并写出与M的关系。
解：的所有的子集是，。
则
显然：
评述：集合M中的元素是集合的子集合。
4、关于子集：
“A是B的子集”按定义，A中的任何一个元素都是B中的元素。即由任一个必有，证为。若用文氏图表示，似乎A是B的一部分，其实，这是不妥的，因为空集中是没有元素的，而且，也不是一部分。因此不能把子集理解为由原来集合中的部分元素组成，一定要用子集的定义。
5、全集I的作用
，若全集，显然。
若I = R时，，这也是我们常说的在什么数集内解方程。
6、符号与（或）的区别。
符号用于元素与集合之间，符号用两个集合之间，不能混用。空间两条直线
知识要点：
重点、难点：
重点：空间两条直线的位置关系，等角定理，异面直线的概念，两条异面直线所成角，两条异面直线的公垂线和距离。
难点：异面直线的概念，两条异面直线所成角，两条异面直线的公垂线和距离，以及运用反证法证题。
1．异面直线的识别与证明：
异面直线的定义是：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。本质是不可能找到一个平面同时包含这两条直线，但是分别在两个平面内的两条直线未必就是异面直线，它们既可能是相交直线（图1）也可能是平行直线（图2）。
如何判定两条直线是异面直线呢？如果按照定义，则需要证明这两条直线不能同在任何一个平面内，这往往是很难办到的。因此常用间接证明的方法，即证明这两条直线不可能同在一个平面内。因此，我们常用反证法来证明两条直线是异面直线。
教科书P10的例题：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。这个命题不仅结论重要（它可以当定理使用）而且证明的方法也很重要，为同学模仿使用反证法作出榜样。
2．关于公理4和等角定理：
公理4是说明把平行线的传递性推广到空间也成立，在平面几何中证明是极其简单，在空间也可以予以证明，但是较繁，为了提前使用，现行教材把它当公理使用，它是证明等角定理的依据，也是今后论证平行问题不可缺少的。
等角定理也是平面几何中的定理推广到空间，其证明的关键是“全等三角形的对应角相等”。等角定理揭示了两条相交直线所成的锐角（或直角），具有在空间任意的平移变换下，保持大小不变的性质，给异面直线所成角的定义提供了可能性与唯一性，也为以后研究二面角及二面角的平面角打下了理论基础。同时，还提供一个研究角与角之间关系的重要方法——平行移动法。
3．异面直线所成角：
凡是没有学过的概念（除原始概念外）都必须予以定义，异面直线所成角就是通过相交直线所成角定义的。
定义：如果两条相交直线分别平行于两条异面直线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。
由等角定理易证：上述定义中，无论相交直线的交点在何处，两条异面直线相互位置一旦确定，它们所成的角就确定了，特别地，两条相交直线中可以有一条直线与两条异面直线中的一条重合。
因此求异面直线所成的角往往用平行移动一条异面直线使之转化两条相交直线成角，或是利用三角形的中位线也可能转化为相交直线所成角。
4．两条直线的垂直：
在平面几何中，两条直线垂直，必然相交、交点称为垂足且过一点作直线的垂线有且只有一条（平面几何）。
这立体几何中，过一点作一直线的垂线有无数条，其中只有一条与已知直线相交（有垂足），其余的垂线都与已知直线成异面直线（无垂足），不论两直线是相交垂直，还是两直线异面垂直，统称为两条直线互相垂直（垂直的概念扩充了）。
若“过一个已知点引已知直线的垂线”时，是专指和已知直线相交的垂直，因为异面直线的垂直有无数条，不能确定。
5．异面直线的分垂线及异面直线的距离：
特别要注意公垂线定义中的“都垂直”和“相交”这两项要求，千万不能顾名思义，公垂线，认为只要两条异面直线都垂直就以为是公垂线，容易遗漏相交这一点。
由于高考中关于求两条异面直线的距离，限定只要求会计算已给出公垂线的距离，这样难度就降了许多。一元二次不等式映射与函数
1、重点难点分析
重点：不等式的基本性质，绝对值不等式及一元二次不等式的解法，映射概念与函数概念。
难点：不等式的第三个基本性质，即“不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变”。
映射概念以及用集合、映射概念来刻划函数概念。
2、绝对值不等式的解法
绝对值不等式 解集
特殊
一般
特殊
一般
3、二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的解集 无实根
一元二次不等 R
式的解集
* 若中，只须将不等式两边都同乘以－1将原不等式转化为，其中。
4、对应、映射、函数
4．1 对应是一个不加定义的原始概念
对应指的是一个规律：根据这个规则，对于某一个集合A中的每一元素a，便可以指出另一个集合B的确定元素b，这样，我们就说在A、B之间建立了一种对应关系。
应注意的是，“对应”并未要求A中的一个元素只能对应B中的唯一元素，这里要求对于A中每一个元素a，在B中一定有元素b与a对应，但不要求唯一，也就是说可以一对多。同时A中不同元素并不要求在B中有不同元素对应，也就是说A中不同元素可以对应B中相同元素，这就是多对一。还有，B中可以有元素未被A中元素所对应，而A中的任一元素在B中都必须有元素与之对应。
对应关系有以下四种：一对一、多对一、一对多和多对多，其中一对一和多对一称为单值对应。
4．2 映射：把从集合A到集合B的单值对应（包括集合A、B以及从A到B的对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射。
简言之：单值对应就是映射，或者说：映射就是单值对应。
映射有以下三个特点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，它是一个整体，缺任何一个都不是映射；
（2）对应法则f有“方向性”，是强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系是完全不同的；
（3）强调，对于A中任意元素a，在B中有唯一元素b与之对应，而不要求B中元素都一定被对应到。
4．3 函数
函数是一种特殊的映射，当集合A、B都是非空的数集时映射，就是函数。
函数概念的三要素：定义域A，值域C和对应法则f。其中核心是定义域和对应法则。
综上可知：
4．3．1 定义域
函数的自变量x的允许值范围称为定义域，求函数定义域的方法常有以下几种：
1、自变量不受任何条件约束，则，如。
2、分母不为零，如，定义域为。
3、偶次根号不为非负，如，定义域为。
4、对数符号后为正，如，定义域为。
5、综合上述各点，求其交集。
如，由
定义域为：
值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，常用以下方法求值域。
1、配方法：
主要用在二次函数或是通过换元，转化为二次函数的函数。
例1：求二次函数 的值域。
解：
由于，
例2：求函数的值域。
解：
令
则
评述：通过换元将无理函数转化为二次函数，然后用配方法求其值域。
2、判别式法：
例3：求函数的值域。
解：由原式可得关于x的二次方程
i） 当时，它的判别式：
得或，
对应和的x值分别为和。
ii）当即时，可得，说明自变量取时，存在。
故函数的值域为：
3、方程法求函数的值域：
函数的值域就是关于x的方程有属于A的解的y值的集合。
例4：求函数的值域。
解：由已知函数式可解得，
，（*）要使方程（*）有解，必须：
，即函数的值域为。
由于知识尚未学到，暂不介绍。第4章 数列、极限、数学归纳法
一、考纲要求
1.掌握：
①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；
②能够运用这些知识解决一些实际问题；
③掌握极限的四则运算法则.
2.理解：
①数列的有关概念；
②能根据递推公式算出数列的前几项；
③会求公比的绝对值小1的无穷等比数列前n项的极限.
3.了解：
①了解递推公式是给出数列的一种方法；
②了解数列极限的意义；
③了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.
二、知识结构
(一)数列的一般概念
数列可以看作以自然数集(或它的子集)为其定义域的函数，因此可用函数的观点认识数列，用研究函数的方法来研究数列。
数列表示法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a1,a2,a……an……或简写成｛an｝，其中an表示数列第n项的数值，n就是它的项数，即an是n的函数。
解析法：如果数列的第n项能用项数n的函数式表示为an=f(n)这种表示法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直角坐标系中，数列可以用一群分散的孤立的点来表示，其中每一个点(n,an)的横坐标n表示项数，纵坐标an表示该项的值。用图像法可以直观的把数列an与n的函数关系表示出来。
递推法：数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：①给出数列的一项或几项。②给出数列中后面的项用前面的项表示的公式，这是数列的又一种解析法表示称为递推法。例如：数列2，4，5，，…递推法表示为 a1=2
其中an+1=an+又称该数列
an+1=an+(n∈N)
的递推公式。
由数列项数的有限和无限来分数列是有穷数列和无穷数列。
由数列项与项之间的大小关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和无界数列、通项公式是研究数列的一个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本方法，给出数列的前n项，求这个数列的通项公式并不是唯一的，也并非所有的数列都能写出通项公式。
数列｛an｝的前n项和是：a1+a2+a3+…+an记作Sn，要正确认识数列前n项和的符号，Sn是下角码n的函数。数列的前n项和与通项之间的关系是an= S1(n=1)
Sn-Sn-1(n≥2)
本单元习题主要有两种类型：①已知数列的通项公式或递推关系写出数列或数列的某一项、某几项。②由题设写出数列的通项公式。
(二)等差数列和等比数列
1.等差数列定义、表示法及性质
(1)等差数列定义中，要准确地理解，稳健地应用公差d，准确的理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，稳健地应用即an+1-an=d是证明数列是等差数列的理论依据之一，而d的符号又决定等差数列的单调性。
(2)如果一个数列｛an｝是等差数列，公差为d，则这个数列可表示为：
①列表法：a1,a1+d,a1+2d…a1+(n-1)d…简写成｛a1+(n-1)d｝特殊地，只有三项时可写成：a-d,a,a+d，只有四项时可写成：a-3d,a-d,a+d,a+3d.
表示规律：奇数项公差为d，偶数项公差为2d，它们是解决等差问题的计算工具。
②解析法：an-an-1=d(n≥2,n∈N)
特殊地，只有三项时可写成A-x=y-A
即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中项，它们是解决等差问题的证明工具。
③图像法：an=a1+(n-1)d可改写成an=dn+a1-d这表明当d≠0时an是关于n的一次函数，因此在直角坐标系中等差数列的图像是：以d为斜率在y轴上截距为a1-d并且n为自然数的一条直线上一些分散的点。
(3)等差数列的通项公式
已知a1和公差d，则有an=a1+(n-1)d
已知am和公差d，则有an=am+(n-m)d(m,n∈N)
(4)等差数列的前n项和公式
已知a1和an，则有Sn=(n∈N)
已知a1和d，则有Sn=na1+d(n∈N)
(5)等差数列的性质
①在等差数列的前n项中，与两端等距离的两项之和均相等，即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ar+an-r+1=……
②在等差数列中，若某两项的项数之和是定值，则相应的两项的数值之和也是定值。
即：在等差数列｛an｝中，如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，那么，am+an=ap+aq
③用图像法表示等差数列时，其各点均在以公差d为斜率的一条直线上，即d=(m,n∈N,m≠n)
④等差数列等距离的取出若干项，仍然是等差数列。
⑤公差为d的等差数列，按k项分组，每k项之和组成的数列仍是等差数列，其公差为k2d.
即：a1+a2+a3+…+ak,ak+1+ak+2+…+a2k…ank+1+ank+2+…+ank+k…仍是等差数列。
⑥两个等差数列的第n项之比等于前2n-1项之和的比。
⑦数列｛an｝成等差数列的充要条件是an=dn+c(d,c为常数，n∈N)
⑧数列｛an｝成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b为常数，n∈N)
2.等比数列定义、表示法及性质
(1)在等比数列的定义中要准确地理解，灵活地应用公比q，准确地理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，注意公比q不能为零。灵活地应用表现在：当=q(n∈N,q为常数)时，此数列是等比数列；表现在当q＞0时等比数列各项符号均相同，当q＜0时各项符号正负相间；表现在当｜q｜＞1时数列每一项取绝对值后是递增的，当｜q｜＜1时数列每一项取绝对值后是递减的。
(2)如果一个数列｛an｝是等比数列，公比为q，那么该数列可表示为：
①列表法：a1,a1q,a1q2…a1qn-1…可简写成｛a1qn-1｝
特殊地，只有三项时可写成：,a,aq
只有四项时可写成：、、aq、aq3
表示规律：奇数项公比为q，偶数项公比为q2，它们是解决等比数列问题的计算工具。
②解析法：=q(n∈N,q≠0)
特殊地，只有三项时可写成=或G2=xy或G=±其中G叫做x、y的等比中项，它们是解决等比问题的证明工具。
③图像法：表示数列｛cqn｝的各点均在指数函数y=cqx的图像上(其中c=)
(3)等比数列的通项公式
已知a1和公比q，则有an=a1qn-1(n∈N)
已知am和公比q，则有an=amqn-m(m,n∈N)
(4)等比数列的前n项和公式
na1(q=1) na1(q=1)
Sn= 或
(q≠1) (q≠1)
(5)等比数列的性质
①在等比数列的前n项中，与两端等距离的两项之积均相等。
即：a1·an=a2·an-1=…=ar·an-r+1=…
②在等比数列中，若两项的项数之和是定值，则相应两项的数值之积也是定值。
即在等比数列｛an｝中，若m+n=p+q，则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N)
③公比为q的等比数列，按k项分组，每k项之和组成的数列仍是等比数列。
④从公比为q的等比数列中，取出等距离的项组成的数列仍是等比数列。
⑤公比为q的等比数列中，相邻的k项之和(设第一项为am)等于前k项之和的qm-1倍。
(三)数列求和
数列求和是中学数学中规律性很强的一部分内容，本单元主要让学生掌握数列求和的常用方法。
求数列的前n项和Sn，通常要掌握以下解法：
1.倒序相加法：如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。
2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。
3.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列重新组合或把整个数列分成两部分，使其转化成等差数列或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消方法。
5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和。常用公式有：=13+23+33+…+n3=n2(n+1)2
=1+2+3+…+n=n(n+1)
=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)
(四)数列的极限
1.要深刻地理解数列极限的定义
(1)要记准定义中字母、符号的含义及其功能。定义中的ε是任意给定的正数，它主要反映an与A接近的程度，因为ε可以任意的小，所以an与A可以无限地接近。N是一个自然数，其功能是当n＞N时有｜an-A｜＜ε恒成立。显然对一个ε与其对应的N并不是唯一的，确定N一般以解题简便为原则。符号“”表示趋近于，符号“∞”表示无穷大，符号“n∞”表示n趋近于无穷大，即无限增大的意思。无穷大表示量的变化状态，它不是一个确定的数，切不要与很大的数混为一谈，更不能进行常规的四则运算。
(2)要了解定义的几何意义。数列｛an｝当n∞时，极限为A的几何意义为：将数A与数列an在数轴上用它们的对应点表示出来，再以A为圆心，以ε为半径在数轴上截取两点A-ε，A+ε，如图，因为不等式｜an-A｜＜ε相当于A-ε＜an＜A+ε.当n＞N时，所有的点an落在开区间(A-ε，A+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)点疏散在这一区间外，ε越小，开区间(A-ε，A+ε)的长度也越小，可见an是凝聚在点A的近旁，这就是an=A
2.在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：
(1)参与运算的每一个数列的极限都是存在的。
(2)参与运算的数列的个数必须是有限个。
3.无穷等比数列各项的和
(1)定义：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，用符号S表示。
(2)公式：S=(｜q｜＜1)
(3)注意：此和不同于初等数学中有限项的和，它是一个数列的极限。
4.熟记三个重要极限
(1) C=C(C为常数)
(2) =0
qn=0(｜q｜＜1)
极限的思想方法是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法。
(五)数学归纳法
1.用数学归纳法证明命题的具体步骤是：
(1)证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时结论正确。
(2)假设当n=k(n∈N且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。
上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。
2.用数学归纳法证明命题时，难在第二步。即在假设n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。要顺利地完成这一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。在推导证明中必须运用到“归纳假设”，否则不是数学归纳法。
三、知识点、能力点提示
例1 设T1，T2，T3……为一组多边形，其作法如下：
T１是边长为1的三角形以Tn的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为Tn+1，如图所示。
令an表示Tn的周长，A(Tn)表示Tn的面积。
(Ⅰ)计算T1，T2，T3的面积A(T1)，A(T2)，A(T3)
(Ⅱ)求(+…+)的值。
解：(Ⅰ)A(T1)=·1·1·sin60°=
A(T2)=3····sin60°++A(T1)==
A(T3)=12····sin60°+A(T2)=
(Ⅱ)由分析知 an=an-1
(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)
故 an=3·()n-1
∵=·()n-1
∴(++…+)==
注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。
能力点：由图像变化联系数列知识。
例2 设ΔABC的三边为a、b、c，其所对应的角为A、B、C，如果a、b、c依次成等差数列。
(Ⅰ)求证cos=2sin
(Ⅱ)求的值。
解：(Ⅰ)由a、b、c成等差数列有 2b=a+c
由正弦定理 2sinB=sinA+sinC
故 2sin·cos=2sin·sin
又A+B+C=π知cos=sin
∴cos=2sin
(Ⅱ) =
=
=
∵cos=2sin，cos=sin
∴原式==
注：本题考察数列与三角的综合题问题，先利用数列知识得出恒等式，然后利用三角恒等变形来解答。
例3 某养猪场养的猪，第一年猪的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的1/2。
(Ⅰ)当饲养4年后，所养的猪的重量是原来的多少倍
(Ⅱ)如果由于各种原因，猪的重量每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，猪的总重量开始减少
解：(Ⅰ)依题意，猪的重量增长率成等比数利
∴设原来猪重为a，则四年后
a·(1+200%)(1+2·)(1+2··)(1+2···)=a
答：养4年后猪的重量是原来的倍。
(Ⅱ)由an≥an+1知 an≥an(1+)(1-)
得 2n-1≥9 ∴n≥5
故5年后猪的重量会减少。
注：本题考察利用等比数列来解决实际问题，并利用不等式的知识，先要能将实际问题变成数列问题，然后运用数列知识解答，同时又要将实际问题变成不等式问题，再解不等式。
例4 已知等比数列｛an｝中，a1=a＞0,公比q＞0且q≠1，同时对于任意自然数n，都有an≠1，将以x为未知数的方程axn·a2n+1·=1称作方程In.
(1)试证明I1，I2，I3……有公共解，并求这个公共解。
(2)试证明对于每一个给定的自然数n，方程In除公共解外，还有另一个解，并求出这个解进一步证明数列｛｝是一个等差数列。
证明：由a2n+1=anan+2代入方程得
anx+1·an+1·an+2=1 即 anx+1·an+2=1
化为(an·an+1)1+=1 ①显然x=-1是方程的一解。
当x+1≠0时，由①知，an·an+2=1
∴anx·an+2=1
∴(a·qn-1)x=(a·qn+1)-1
∴x=logaqn-1(aqn+1)-1=-1-为所求除公共解外的另一解。于是==-logqa+(n-1)(-logqa)
由等差数列的通项公式可知，数列{}，是一以-logqa为首次-logqa为公差的等差数列。
注：本题考察等比数列与指数方程及等差数列的综合题，训练等比数列性质的应用及特殊方程的解法及证明等差数列的能力。
例5 已知数列{an}中，an=(n+2)()n，试问n取何值时，an取最大值 并求此最大值。
解：∵=
=·
=·
=+·
当且仅当n＞7时，=1 即a8=a7
∴当n＜7时，＞1，即an+1＞an 有a7＞a6…＞a1
当n≥8时，＜1，即an+1＜an 有a8＞a9＞a10＞……
故当n=7时或8时，an取最大值，最大值为.
说明：因an是n的函数，难在an是一个一次函数(n+2)与一个指数函数()n的积，所以从一次函数或指数函数增减性看，一增一减积不确定。但n∈N，试从an与an+1的大小入手。
例6 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
解1：设四个数依次为a-d,a,a+d,
a-d+=16 a=4 a=9
由条件有 解得 或
a+a+d=12 d=4 d=-6
∴当a=4,d=4时，所求四个数为0，4，8，16
当a=9,d=-6时，所求四个数15，9，3，1
解2：设四个数依次为-a, ,a,aq(a≠0)
-a+aq=16 q=2 q=
由条件有 解得 或
+a=12 a=8 a=3
当q=2,a=8时，所求四个数为0，4，8，16
当q=,a=3时，所求四个数为15，9，3，1
解3：设四个数依次为x,y,12-y,16-x
2y=x+(12-y) x=0 x=15
由条件有 解得 或
(12-y)2=y·(16-x) y=4 y=9
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1
说明：如何设这四个数，对解法的优劣会产生影响，充分利用已知条件的特征，合理地减少未知数的个数，可简化运算。
充分利用只有三项的等差、等比数列解析表达式的特征及题中所给的等量条件，合理地选取未知数及未知数的表达形式是解决这类问题的关键，解法1突出使用等差数列的计算工具，解法2突出使用等比数列的计算工具，解法3合理地选取未知数及未知数的表达形式。
例7 数列{an}为等差数列，且Sn的最大值为S7，｜a7｜＜｜a8｜，求使Sn＞0的n的最大值。
解：由题意可知：a1＞0,d＜0 ∵｜a7｜＜｜a8｜ ∴｜a8｜≠0
又∵S7是Sn的最大值，∴a7≥,a8＜0
d＜0
a1+6d≥0 ∴-＜≤-6
有 a1+7d＜0
a1+6d＜-(a1+7d)
∵Sn＞0 ∴na1+d=n2+(a1-)n＞0
∵＜0 ∴n2+(2·-1)n＜０ 又n∈N
∴n＜1- ∵-13＜≤-12
∴13≤1-＜14
故当1-=13时，使Sn＞0的n的最大值为12.
当13＜1-＜14时，使Sn＞0的n的最大值为13.
说明：在等差数列中，当a1＞0,d＜0时，解不等式组 an≥0
an+1≥0
可得Sn达到最大值时的n值，当a1＜0，d＞0时解不等式组
an≤0
可得Sn达到最小值时的n值。
an+1≥0
例8 某种汽车(A)购车费用10万元，(B)每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，(C)汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元……各年的维修费平均数组成等差数列，问此种汽车使用多少年报废最合算(即使多少年，年平均费用最少)并分析A、B、C三笔费用分别对选择最合算的使用年限的影响。
解：设选择n年最合算，则年平均费用(单位：万元)为：
S =［(0.2+0.4+…+0.2n)+10+0.9n］
=［·n+10+0.9n］
=［n+0.1n2+10］
=++1
≥2+1
=3
当且仅当=即n=10时取等号。
故汽车使用10年报废最合算，年平均费用为3万元。
(A)购买车费越高使用年限越长。
(B)为一常量，不影响使用时间。
(C)维修费用递增越快，使用时间越短。
说明：解应用题的关键是建立数学模型，本题的数学模型是：年平均费=［n年的维修费+购车费+n年的保养费、汽油费］此题只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式。本题是数列与最值的综合应用题。
例9 某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1)，据他的估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清。
(1)求贷款金额
(2)若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元
解：设贷款金额为x元，则1年后欠款为a1=x(1+q)-A元。
2年后欠款为a2=a1(1+q)-A=x(1+q)2-A［(1+q)+1］
3年后欠款为a3=a2(1+q)-A=x(1+q)3-A［(1+q)2+(1+q)+1］
仿此，30年后欠款为a30=x(1+q)30-A［(1+q)29+(1+q)28+…+1］
∵a30=0
∴x(1+q)30=A［］
∴x=· (元)
(2)设第8年开始偿还的这种贷款金额为y元，则
8年后欠款为b8=y(1+q)8-A
9年后欠款为b9=b8(1+q)-A=y(1+q)9-A［(1+q)+A］
仿此，30年后欠款为
b30=y(1+q)30-A［(1+9)22+(1+q)21+…+1］
∵b3=0
∴y(1+q)30=A［(1+q)22+(1+q)21+…+1］
∴y=·(元)
故x-y=·［1-］(元)
说明：因贷款利息按复利计算，所以贷款后每年本息各不相同，该职工欠款逐年减少，直至30年后还清，即此问题应建立数学模型。
例10 某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷 (精确到1公顷)
(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，该地区现有人口为A人，人均粮食占有量为b吨，由题意可得不等式：
≤(1+0.22) 化简可得
≤104-10x
即x≤
∴x≤4(公顷)
∴按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
说明：建立本题数学模型的关键是：10年后粮食单产比现在增加22%，由题意设现在总人口为A人，人均粮食占有量为b吨，现在耕地共有10?4公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为A(1+0.01)10，人均粮食占有量b(1+0.1)吨，若设平均每年允许减少x公顷，则10年后耕地共有(104-10x)公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷，由粮食单产10年后比现在增加22%得不等式≤(1+0.22)即所建的数学模型。
例11 已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N)数列{bn}的每一项都有bn=｜an｜，求数列{bn}的前n项和Tn的公式。
解：当n=1时，an=S1=9
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=11-2n,
又11-2×1=9=a1
∴an=11-2n(n∈N)
令an＞0 则11-2n＞0
∴1≤n＜5(n∈N)
(1)当1≤n＜5(n∈N)时，an=11-2n，即bn=｜an｜=an=11-2n
此时{bn}是首项为9，公差为-2的等差数列
∴Tn=9n+(-2)=10n-n2
(2)当n≥6(n∈N)时，bn=｜an｜=-an=2n-11
此时{bn}是首项为1，公差为2的等差数列。
∴Tn=10×5-52+(n-5)·1+×2=n2-10n+5
10n-n2 (1≤n＜5,n∈N＝
故Tn=
n2-10n+5 (n≥,n∈N)
说明：由题设bn=｜an｜而知，本题要使用分类讨论思想来求前n项和Tn。
例12 求和：1+11+111+…+
解：∵=1+10+102+103……+10n=(10n-1)
∴1+11+111+11…1=［(10-1)+(102-1)+(103-1)+…+(10n-1)］
=［(10+102+103+…+10n)-n］
=［()-n］
=
说明：先求出通项公式即an=(10n-1)，再把其转化为一个等比数列及一个常数列求和，数列=a,,,…或数列：0.a,0. ,0. ,…(1≤a≤9)均可依上法求和。
例13 已知数列{an}中，an=，前n项和Sn，试比较Sn与2的大小。
解：Sn=+++…+
又∵Sn=++…++
∴Sn=(+++…+)-
=1--
即Sn=2--＜2
说明：∵Sn随n增大而增大。∴不宜用递推与常数2直接比大小。考虑先求和，宜用错项相减法，对等差、等比对应项积构成新数列均有效。
例14 求和：１×２２＋３×４２＋５×６２＋…＋（２n-1）(2n)2
解：∵(2k-1)(2k)2=8k3-4k2(k∈N)
∴Sn=(8k3-4k2)
=8k3-4k2
=8×n2(n+1)2-4×n(n+1)(2n+1)
=n(n+1)(3n2+n-1)
说明：若通项是关于n的多项式的乘积，首先展开整理为n的多项式，然后利用自然数，自然数平方和立方和等公式求数列的和。
例15 已知数列{an}的相邻两项an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的两根(n∈N)
且a1=2,Sn=c1+c2+…+cn (1)求an (2)求S2n
解：∵an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的两根
∴anan+1=()n,an+an+1=cn
又 ∵a1=2 ∴a2=
同理 an+1?,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的两根
∴an+1an+2=()n+1
取立得=
即a1,a3,a5…是公比为的等比数列，a2,a4,a6…是公比为的等比数列。
当n=2k-1时a1=2 a2k-1=2·()k-1,即an=2·()
当n=2k时，a2= a2k=()k-1,即an=()-1
2·()(n为奇数)
(1)an=
()-1(n为偶数)
(2)∵cn=an+an+1 当n为奇数时，n+1为偶数，有
cn=2·()+()-1
=()
当n为偶数时，n+1为奇数，有
cn=()-1+2()=()-1
∴c1,c3…c2n-1为首项c1=，公比为的等比数列；c2,c4…c2n为首项c2=，公比为的等比数列
故 S2n=c1+c2+c3+c4+…+c2n-1+c2n
=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4…+c2n)
=+
=［1-()n］
说明：由an,an+1满足的条件建立an,an+1的等式，逐步求出an及S2n.
例16 用极限定义证明：=3
证明： =＜
=＜(n≥2)
设ε是任意给定的正数，要使＜ε成立，只要＜ε成立，即n＞成立，取N是的整数部分，当n＞N时＜ε恒成立，∴=3
说明：用定义证明数列的极限常使用分析法，关键是确定N，求N的方法有(1)直接解不等式｜an-A｜＜ε，求出n＞N(ε)，其中N是N(ε)的整数部分。(2)当｜an-A｜＜ε不易解出n可用放大法(不能缩小)即｜an-A｜＜｜bn｜＜ε然后解不等式｜bn｜＜ε，求出n＞N(ε)，N是N(ε)的整数部分。
例17 如图，在RtΔABC中，∠B=90°，tgC=，AB=a，在ΔABC内作一系列的正方形求所有这些正方形面积的和S.
解：设第n个正方形的边长为an，由三角形相似可得
=(其中Sn=a1+a2+…+an)
∵AB=a,tgC=,∴BC=2a
于是有=，即Sn=2a-2an
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1，即3an=2an-1
∴=
∵tgC=
∴AB=a=a1+a1
∴a21=a2，故数列{an2}是首项为a2，公比为的无穷等比数列.
且｜｜＜1 ∴S==a2
说明：应用公式S=解决实际问题时，(1)要证明组成的数列是无穷等比数列，并确定a1和q.(2)要证明｜q｜＜1.(3)代入公式化简.
例18 已知数列{an}、{bn}都是正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q且p≠1,q≠1设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和.求
解：∵数列{an},{bn}是等比数列且an＞0,bn＞0,p≠1,q≠1
又∵Sn=+
=
于是=
当p＜1时，有0＜q＜p＜1
∴ =
=
=1
当p＞1时，有0＜＜1,0＜＜1
∴=
=
==p
说明：本题应用等比数列的前n项和公式，求得的解析式后使用重要极限qn=0进行计算，因为公比是用字母表示，所以要注意分类讨论。
例19 求证：二项式x2n-y2n(n∈N)能被x+y整除
证明：①当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y) ∴能被x+y整除。
②假设n=k时，x2k-y2k能被x+y整除。
那么 n=k+1时
即 x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2·y2k-y2·y2k
=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)
∵x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除
∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除
即n=k+1时，x2k+2-y2k+2能被x+y整除
由①②可知，对任意的自然数n命题均成立。
说明：由假设设以x2k+2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k然后重新组合，目的是拼凑出n=k的归纳假设，剩余部分仍然能被x+y整除。
例20 已知：x＞-1且x≠0,n∈N,n≥2 求证：(1+x)n＞1+nx
证明：①当n=2时，不等式左边=(1+x)2=1+2x+x2 右边=1+2x
∵x2＞0 ∴原不等式成立
②假设n=k(≥2)时，原不等式成立
即(1+x)k＞1+kx成立
那么当n=k+1时，∵x＞-1，∴1+x＞0
于是有(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2＞1+(k+1)x (kx2＞0)
即n=k+1时，原不等式成立
由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立。
例21 已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立 试证明你的结论。
解：设存在a,b,c符合条件，则
令n=1，有a1=a+b+c=1 ①
令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2 得a2=3 有a2=4a+2b+c=3 ②
令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3 得a3=6 有a3=9a+3b+c=6 ③
a+b+c=1
联立①②③ 4a+2b+c=3 解得a=,b=,c=0
9a+3b+c=6
∴对n=1,2,3存在a,b,c使得an=n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推测n∈N时，存在a,b,c使得an=n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立。
证明：①当n=1时，由上述推测成立
②假设n=k时，推测成立，即ak=k(k+1)且满足a1=1,3Sk=(k+2)ak，那么
ak+1=Sk+1-Sk
=［(k+1)+2］ak+1-(k+2)ak
=(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)
则6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)
所以ak+1=(k+1)(k+2)
即n=k+1时，推测也成立
由①②知n∈N时，推测都成立。
说明：存在性问题的常规思路，先假设存在，再进行演绎推理若结果合理即肯定，反之否定，又因为此题涉及自然数，故实施时，先特殊探求，推测一般结论，用数学归纳法证明结论的真实性。
四、能力训练
(一)选择题
1.在等差数列｛an｝中，若a3+a9+a15+a17=8，则an等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知等比数列｛an｝的各项均为正数，公比q≠1，设P=，Q=则P与Q的大小关系是( )
A.P＞Q B.P＜Q C.P=Q D.无法确定
3.等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn和Tn，对一切自然数n，都有=，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知数列｛an｝的通项公式an=3n-50，则其前n项和Sn的最小值是( )
A.-784 B.-392 C.-389 D.-368
5.公差不为0的等差数列｛an｝中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于( )
A. B. C.2 D.3
6.数列1，，，，，，，，，，…的前100项和等于( )
A.13 B.13 C.14 D.14
7.非零实数x，y，z成等差数列，x+1，y，z，与x，y，z+2分别成等比数列，则y=( )
A.10 B.12 C.14 D.16
8.无穷数列各项的和等于( )
A.1 B. C. D.
9.无穷等比数列｛an｝中，a1=，q=设Tn=a22+a24+a26+…+a22n，则Tn等于( )
A. B. C.2 D.1
10.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+an，则Sn等于( )
A. B. C.6 D.12
(二)填空题
11.已知数列｛an｝中，a1=1，=+ (n∈N)，则a50=________.
12.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1+a3+a5+…+a21=________.
13.在等差数列｛an｝中S6=0 (d≠0)，如果am，am+1，a2m成等比数列，则m的值等于______.
14.已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sn=______.
15.已知数列｛an｝满足Sn=an2+bn (n∈N)，那么数列｛an｝是________数列.
(三)解答题
16.数列｛an｝，当n为奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，an=2，求这个数列的前2m项的和.
17.数列｛an｝为等差数列，β为公差；数列｛sinαn｝是等比数列，公比为q，又αn∈R，β∈R，且sinα1≠0，求公差β和公比q.
18.已知a1，a2，a3，a4成等差数列，b1，b2，b3，b4成等比数列，且a1+b1=15，a2+b2=14，a3+b3=15，a4+b4=20，求等差数列｛an｝的公差d及等比数列｛bn｝的公比q.
19.已知数列｛an｝中，a1=，Sn=n2·an (n∈N)
(Ⅰ)求a2，a3，a4的值；
(Ⅱ)推测数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
(Ⅲ)求Sn.
20.是否存在常数a，b使等式
1·n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.
能力训练参考答案
(一)1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.A
提示：
1.∵3+9+15+17=44，∴a3+a9+a15+a17=4a11.
即4a11=8，∴a11=2.
2.∵Q==，各项为正，q≠1，
∴＞，即P＞Q.
3.=====.
4.an=3n-50≥0，n≥16，a16=-2，又a1=-47，当n=16时Sn最小，×16(-47-2)=-392.
6.第100项是分母是14的第9个.
故S100=13+×9=13.
7.由已知条件得
2y=x+z 2y=x+z
y2=(x+1)z y2=(x+1)z 求得
y2=x(z+2) z=2x.
y=12.
8.∵=
(-).
∴Sn=(1-+-+…+-)=(1-).
Sn=.
9.a2=a1q=，故a22=，q2=.
Tn===.
10.由a1+a2+a3=9，又(a1+a2+a3)q3=-3.
=-3，q3=-.∴Sn==.
(二)11.. 12.265. 13.4.
14.(n2+3n). 15.等差.
提示：
11.=1，-=.
∴=1+(50-1)=，故a50=.
12.a1=S1=5，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2
5， n=1
∴an=
2n+2， n≥2.
｛an｝从第2项开始成等差数列.
又 a3=8，a5=12，d′=4，a21=44.
∴a1+a3+a5+…+a21=a1+
=5+
=5+260=265.
13.∵ S6=0，即6a1+d=0，6a1+15d=0
∴a1=-d，又(am+d)2=am(am+md).
∴(2-m)am+d=0，
(2-m)〔a1+(m-1)d〕+d=0.
又 a1=-d，得2m2-11m+12=0，
∴m=4.
14.a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) ……①
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1) ……②
由①-②得nan=n(n+1)(n+2-n+1)
∴an=3n+3=6+3(n-1)
a1=6，d=3.
∴Sn=6n+·3=(n2+3n).
(三)16.∵ a2k+1-a2k-1=5(2k+1)+1-〔5(2k-1)+1〕=10，
∴a1，a3，a5，…，a2m-1是公差为10的等差数列.
∵=2， ∴ a2，a4，a6，…，a2m是公比为2的等比数列.
∴ S2m=(a1+a3+a5+…+a2m-1)+(a2+a4+…+a2m)
=m·+=5m2+m+2m+1-2
17.∵ ｛sinan｝成等比数列，∴sin2α2=sinα1·sinα3，
(1-cos2α2)=- 〔cos(α1+α3)-cos(α1-α3)〕
又 α3-α1=2β，α1+α3=2α2得
1-cos2α2=-cos2α2+cos2β.
∴ cos2β=1，∴ β=kπ(k∈Z).
∴ q= = (-1)k.
18.依题意得
a1+b1=15，
a1+d+b1q=14， 消去a1，
a1+2d+b1q2=15，
a1+3d+b1q3=20.
得
d+b1(q-1)=-1，
d+b1q(q-1)=1，
d+b1q2(q-1)=5.
即
b1(q-1)=-1-d， ……①
b1q(q-1)=1-d， ……②
b1q2(q-1)=5-d. ……④
由②÷①时q=-，③÷②得q=.
∴ -=，解得d=-3，q=2.
19.(Ⅰ)a1=， ∵S2=4a2，即+a2=4a2，
∴ a2=；
∵ S3=Sa3，即++a3=9a3， ∴ a3=；
∵ S4=16a4，即+++a4=16a4，
∴ a4=，
(Ⅱ)猜想an=.证明如下：
当n=1时，a1==，结论成立.
假设n=k时成立，即ak=.
即 Sk=a1+a2+a3+…+ak=1-=.
由 Sk+1=(k+1)2·ak+1，即Sk+ak+1=(k+1)2ak+1，
得 ak+1==，
说明当n=k+1时，结论也成立.
综合上述，可知对一切n∈N，都有an=.
(Ⅲ)∵ Sn=++…+=1-，
∴Sn=1.
20.令n=1，得 1=(1+a)(1+b)，
令n=2，得 4=(2+a)(2+b)，
整理得解得a=1，b=2.
下面用数学归纳法证明等式：
1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1
=n(n+1)(n+2).
(1)当n=1时，1=·1·2·3，结论成立.
(2)假设n=k时结论成立，即
1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1
=k(k+1)(k+2).
当n=k+1时，则
1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+…+(k-1)·3+k·3+(k+1)·1
=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-2)·3+(k-1)·2+k·1+〔1+2+3+…+(k-1)+k+(k+1)〕
=k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2)?
=(k+1)(k+2)(k+3)
说明当n=k+1时结论也成立.
综合上述，可知结论对一切n∈N都成立.求双曲线方程
知识要点：
一、方法介绍：
求动点的轨迹方程是根据动点所满足的条件（可以是平面几何的关系、平面三角的关系等）通过坐标系建立起动点的坐标（x,y）= 0，就是曲线方程。
1．主要步骤
①建立适当的直角坐标系，动点坐杯用（x, y）表示。
②写出动点满足的等量关系系。
③用解析几何中的知识将上面等式坐标化，列出方程。
④化方程=0为最简式。
⑤证明化简后的方程=0的解为坐标的点均在曲线。
2．常用方法
①直接法：
由同锥曲线的统一定义及椭圆、双曲线、抛物线的定义。或动点运动所满足的几何关系，将这些关系坐标化。得到曲线方程。
②间接法：
动点的运动，可能依赖于另一动点（主动点或称动点的相关点）而动点的运动规律已知，（如动点在某个曲线上运动）可用坐标代换法救是轨迹方程。
3．常用公式：
中点坐标公式，定比分点坐标公式等。
二、直接法求轨迹方程
1．几种曲线的定义：
椭圆：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。
其中F1、F2为焦点，且|F1F2| = 2C，（c为常数）
椭圆上作任一点P ，且|PF1| = |PF2| = 2a (常数)
并且a > c > 0
双曲线：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
其中两个定点F1、F2叫焦点，（c为常数）
P 为双曲线上任一点
（a为常数）
并且c > a > 0
抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F叫焦点，点F到定直线l的距离叫焦参数用力（P > 0）表示。
圆锥曲线的统一定义：
现面内点M到定点F (c, 0) 的距离与它到定直线l： 的距离的比是常数的轨迹，当a > c > o时轨迹为椭圆；当c > a >0时轨迹为双曲线，当a = c时，轨迹为抛物线。
三、间接法求轨迹方程方法简述
动点的运动规律有时因依赖于另一点（这里称这个点为“主动点”或“相关点”）的运动；或者动点是某动线段的中点，定比分点等等时可以通过“中点坐标”代换，定比分点坐标公式代换等得到动点的轨迹方程。三角函数与三角变换
知识要点：
1、三角函数的定义：是本单元的核心。定义中的x1 y1 r三个量，其中r>0，由分母不为0决定定义域，由|x|≤r，|y|≤r决定3值域，由可推导出三角函数关系，即八个基本公式。
2、函数符合：
sin, csc：横为正
cos, sec：竖为正
tg, ctg：斜为正
3、同角的三角函数关系
正六边形对角线为倒数关系：
sin, csc =1
cos, sec =1
tg, ctg =1
三个阴影倒三角形，上面二个平方和为下面的平方即玉方关系：
sin2 + cos2 = 1
tg2 + 1 = sec2
ctg2x+ 1 = csc2
正六边形，周界上无论顺时针，还是逆时针，第一个作分母，第三个作分子，第三个是结果，即商数关系。
4、诱导公式
公式一：
2k —d 2
正弦 sin －sin －sin －sin －sin
余弦 cos cos －cos －cos cos
正切 tg －tg －tg tg －tg
余切 ctg －ctg －ctg ctg ctg
公式二：
正弦 cos cos －cos —cos
余弦 sin －sin －sin sin
正切 ctg －ctg ctg －ctg
余切 tg －tg tg －tg
公式一中的－可看作也可分别看作。公式一、二中的角可看作的整数倍加减，当角为的偶数倍加减时（即公式一），三角函数名不变，当角为的奇数倍加减时（即公式二），三角函数名改变。公式中的符号为把看成锐角时原函数值的符号（例公式二中sin(+) = cos，+为第二象限角，此时它的正弦值为正，在cos前所加符号为“+”）
5、三角函数线：注意三角函数线的表示，利用它来解三角不等式比较直观，简单
6、三角函数图象及性质
在研究三角函数时，一定要注意三角函数的各种性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）和其定义域，值域。还要注意三角函数之间的区别和联系。
三角函数是典型的周期函数，但不能认为只有三角函数才是周期函数（例如：∈R,且x不为整数，图象见下图），也不能认为只要有三角函数符号就是周期函数（例如）
7、两角和与差的三角函数
公式主要有两角和差，倍角、半角、公式、和差化积分积化和差公式，万能公式在变形的过程中注意以下规律：
（1）注意研究角的关系，即注意到“和”、“差”、“倍”、“半”的相对性，例如：，也要注意题目中所给各角之间的关系，作为解题的突破口。
（2）注意函数之间的关系，尽量化成同一函数，或化为正弦、余弦。
（3）熟悉“1”的各种三角代换，可以看作
（4）万能公式，将三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式（通常设）,但往往都是分式，且含二次，运算比较繁。
（5）熟悉公式的正用、逆用以及变形的灵活应用
例如：
(6)熟悉辅助角公式的应用
常见有第十一章 参数方程、极坐标
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是?
(t为参数)
(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是
(t不参数) ②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
（t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜
(4)若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.?
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)?
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆(a＞b＞0)的参数方程是
(φ为参数)
椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是?
(φ为参数)
3.极坐标?
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.?
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
（为参数）
则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离d=
.故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=所确定的图形是（ ）
A.直线 B.椭圆 C.双曲 D.抛物线
解： ρ=
(三)综合例题赏析
例3 椭圆 （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)?
C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1)?
解：化为普通方程得
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4 参数方程
A.双曲线的一支，这支过点(1，)
B.抛物线的一部分，这部分过(1，)
C.双曲线的一支，这支过(-1，)
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)
解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=x2(x＞0).
∴应选B.
例5 在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )?
A.(2,-7) B.（，）?
C.(，) D.(1，0)?
解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2
将x=代入，得y=
∴应选C.
例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y==ctg2t==，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )?
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4?
解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos()表示的曲线是( )?
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.
应选D.
例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )?
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4 例9图
解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例10 4ρsin2=5 表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
解：4ρsin2=54ρ·
把ρ= ρcosθ=x，代入上式，得
2=2x-5.?
平方整理得y2=-5x+.它表示抛物线.
∴应选D.
例11 极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是( )
A.两条射线 B.两条相交直线
C.圆 D.抛物线
解：由4sin2θ=3,得4·＝3,即y2=3 x2，y=±,它表示两相交直线.
∴应选B.
四、能力训练
(一)选择题?
1.极坐标方程ρcosθ=表示( )?
A.一条平行于x轴的直线 B.一条垂直于x轴的直线
C.一个圆 D.一条抛物线
2.直线：3x-4y-9=0与圆：的位置关系是( )?
A.相切 B.相离?
C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心?
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ2-9=0和ρ= 3；④
其中表示相同曲线的组数为( )?
A.1 B.2
C.3 D.4?
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是( )?
A.重合 B.关于极点对称
C.关于直线θ= D.关于极轴对称?
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( )?
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( )
A． B.
C. D.
7.将参数方(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( )?
A. B.
C. D.
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )
A.(1,),r=2 B.(1,),r=1
C.(1, ),r=1 D.(1, -),r=2
9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是( )?
A.一条射线 B.两条射线
C.一条直线 D.两条直线
10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方 程为( )?
A.y-1= B.y=
C.y-1= D.y+1=
11.若直线( (t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )?
A. B.
C. 或 D. 或
12.已知曲线 (t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t 1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为( )?
A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22)?
C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2?
13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )?
A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值是( )?
A.5 B.10
C.2 D.3?
15.直线ρ=与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( )
A．
B．
C．
D．
(二)填空题?
16.若直线l的参数方程为(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线在y轴上的截距为 .
17.参数方程（为参数）化成普通方程为 .
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是 .
19.直线(t为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .
(三)解答题
20.设椭圆(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐标.
21.曲线C的方程为(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知椭圆=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左 半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点F?2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.?
(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2│·│F2H│成立的直线BD是否存在 并说明理由 .
(2)若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
24.A，B为椭圆=1，(a＞b＞0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.
25.已知椭圆=1，直线l∶=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且 满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.
能力训练参考答案
(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D?
(二)16.-4；17.y２=-2(x-),(x≤);18.抛 物线；19.135°,|3t|
(三)20.()；21.
?22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.(27-3)；24.Smax=，smax=;
25. =1(x,y)不同时为零)第七章 直线和平面
一、考纲要求
1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.
2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.
3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.
4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.
5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.
二、知识结构
1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.?
若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.
若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
A∈l—点A在直线l上；
Aα—点A不在平面α内；
lα—直线l在平面α内；
aα—直线a不在平面α内；
l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.证题方法
4.空间线面的位置关系
平行—没有公共点
共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点
相交—有一条公共直线(无数个公共点)
(3)平面与平面
平行—没有公共点
5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a?β，α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.?
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
7.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
8.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
9.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
10.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
11.直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
13.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
15.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
16.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法
三、知识点、能力点提示
(一)平面的基本性质，证明直线共面的基本方
例1 如图，CD-A1B1C1D1为正方体，E、F、G、H分别是棱AB、BC、CC1、C1D1的中点.
求证：HG、EF、DC交于一点.
证明：∵E、F、G、H是正方体的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，
∴直线EF面ABCD 直线HG面CC1D1D，
且直线HG∥＼ CD，HG∥＼ CD.
∴EF与CD、HG与CD必分别相交.
设EF∩CD于P，HG∩CD于P′，
由平几知识有△EBF≌△PCF，△P′GC≌△HC1G.
∴PC＝BE＝AB，P′C＝C1H＝C1D1
而正方体中AB＝C1D1
∴PC＝P′C，即P与P′重合.
∴HG、EF、DC交于一点.
(二)异面直线，两直线的位置关系，证明两直线异面、平行的一般方法
例2 求证：过两条平行线中的一条直线的平面，与另一条直线平行或经过另一条直线.
已知：如图，a∥b,bα.
求证：a∥α或aα
证明：假设a∩α＝A.
∵a∥b，A∈α，
∴Ab
又∵a∩α＝A，则a上至少有一点Bα.
∴a、b是异面直线.
这和a∥b矛盾，故假设a∩α＝A不成立.
即a∥α或aα.
(三)直线与平面平行的判定与性质定理
例3 直角△ABC的一条边AB∩α＝Ａ，另一边BC不在平面α内，若∠ABC在α上的射影仍是直角，求证BC∥α.
证明：如图，过B、C分别作α的垂线，垂足分别为B′、C′，则∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.
∴∠AB′C′＝90°
又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α，
∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′.
∵B′A∩BB′＝B′，
∴C′B′⊥平面AB′B.
∵B′C′∩B′B＝B′，
∴AB′⊥平面BB′C′C.
∵BC面BB′C′C，
∴BC⊥AB′.
∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝Ａ，
∴BC⊥平面ABB′.
∴BC∥B′C′.
∴BC∥α.
(四)直线平面垂直的判定与性质定理
例4 已知如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：MN⊥平面PDC.
证明：取PD中点E，连接EN、EA.
∵N是PC中点.
∴EN ∥ CD，CD＝AB，
故ENMA是平行四边形，MN∥AE.
∵PA⊥面ABCD.
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A
∴AB⊥面PAD.
∵AE面PAD，PD面PAD，
∴AB⊥AE，AB⊥PD，MN⊥AB，从而MN⊥CD.
∵CD⊥AD，CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.
∴△PAD是等腰直角三角形，从而AE⊥PD，
故MN⊥PD，PD∩CD＝D.
∴MN⊥平面PDC.
(五)三垂线定理及逆定理
例5 已知：如图，S为正方形ABCD所在平面外一点，SA⊥平面ABCD，过A作截面AEKH⊥SC.
求证：AE⊥SB，AH⊥SD，AK⊥HE.
证明：
SA⊥平面ABCD
BC⊥AB
BC⊥SB(三垂线定理)
BC⊥SA
BC⊥平面SABBC⊥AE
又SC⊥平面AEKHSC⊥AE
AE⊥平面SBCAE⊥SB.
同理可证AH⊥平面SDC，故AH⊥SD.又∵ABCD为正方形，∴Ｒt△SAD≌Ｒt△SAB.故SD＝SB，SH＝SE.
∴HE∥DB.SA⊥DB，则SA⊥HE，SK⊥平面AEKH，AK是SA在截面上的射影，故HE⊥AK(三垂线定理的逆定理).
(六)异面直线所成的角、直线与平面所成的角
例6 把两个三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，求异面直线DC与AB所成的角.
解：过C作CE∥AB，过D作DF⊥CE，垂足为F，连结AF，则∠DCF为异面直线DC与AB所成的角，设AC＝BC＝1，则AB＝，AD＝AB·tg30°＝，由三垂线定理的逆定理可证AF⊥CF，得等腰直角△ACF，则AF＝AC＝＝CF.在Rt△DAF中，DF＝，在Rt△DCF中，tg∠DCF＝＝.∴异面直线AB与DC所成的角为arctg.
(七)平面与平面平行，平面与平面垂直
例7 如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AD上的三等分点，AE＝ED，过E的直线MN∥BC，交AB、AC于M、N，将△AMN折起到与平面MBCN成60°，求证：平面A′MN⊥平面A′BC.
证明：∵AD⊥BC，BC∥MN
∴A′E和ED都垂直于MN，
∴∠A′ED是二面角A′MN-MN-MBCN的平面角， ∴∠A′ED＝60°，A′E＝AE＝ED＝ED·cos60°.
∴△A′ED是直角三角形，且A′E⊥A′D.
又∵A′E⊥MN，MN∥BC，
∴A′E⊥BC，而BC∩A′D＝D.
∴A′E⊥平面A′BC，
∵A′E面A′MN，
∴平面A′MN⊥平面A′BC.
(八)二面角
例8 如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.
解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.
解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，
平面PAD⊥平面ABCD
CD⊥AD，BA⊥AD
BA⊥平面PAD
CD⊥平面PAD
△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S△PDA＝S△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.
∴△PAD为等腰三角形且S△PAD＝PD·AH＝15.
cosθ＝＝＝，
θ＝arccos＝.
(九)点到直线、点到平面、直线与平面、平面与平面间的距离的定义及计算
例9 已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝a，AC=b，沿高AD折成直二面角(如图).(1)判断此时△ABC的形状；(2)求D到平面ABC的距离.
解：(1)DH⊥平面ABC，因DA、DB、DC两两互相垂直，故H为△ABC的垂心(证明略)，AE⊥BC，由cosθ=cosθ１cosθ2，得cos∠ABE=cos∠ABD·cos∠DBC.
∵∠ABD和∠DBC分别为Rｔ△BDC的锐角，?
故0＜cos∠ABD，cos∠DBC＜1，
∴0＜cos∠ABE＜1，即∠ABC为锐角，
同理可证∠ABC、∠CAB均为锐角，∴△ABC为锐角三角形.
(2)解法一：设D到平面ABC的距离为x.∵VD-ABC＝VA-BDC得xSABC＝AD·S△BDC，
解出x＝.
解法二：作AE⊥BC，AD⊥平面DBC，故DO⊥BC.BC⊥平面ADE，平面ADE⊥平面ABC，作DH⊥AE，则AE是D到平面ABC的距离(以点线距离代替点面距离).在Rt△ADE中，DH是斜边AE上的高，解出
DH＝.
(十)直线与平面的综合问题
例10 如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是直角三角形，∠C＝90°，侧棱与底面成60°的角，点B1在底面的射影D为BC的中点，且BC＝2，
(1) 求证平面AB1D⊥平面ABC.
(2)求证AC⊥平面BB1C1C.
(3)求证异面直线AB1与BC1垂直.
(4)如果二面角A-BB1-C的度数为30°，求四棱锥A-BB1C1C的体积.
解：(1)证明∵B1在底面上的射影为D
∴B1D⊥底面ABC，
又∵B1DAB1D，
∴平面AB1D⊥平面ABC.
(2)证明：由已知BC⊥AC，B1D⊥面ABC.
由三垂线定理：AC⊥B1C，AC面ABC，故B1D⊥AC，而B1C∩B1D＝B1
∴AC⊥平面B1BCC1.
(3)证明：∵BD＝CD＝BC＝1，
∵侧棱与底面所成角为60°，B1D⊥底面ABC.
∴∠B1BD是侧棱与底面所成的角，∠B1BD＝60°.
∴四边形BB1C1C是菱形，BC1⊥B1C
∵B1C平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥B1C
又B1C⊥BC1，B1C是AB1在平面BB1C1C的射影，
由三垂线定理：AB1⊥BC1.
(4)作CE⊥BB1于E，连结AE.如图1-25.
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，AC⊥BB1
∴AE⊥BB1(三垂线定理).
∴∠AEC为二面角A-BB1-C的平面角，∠AEC＝30°，
在Rt△BCE中，EC＝BC·sin60°＝2×＝，
在Rt△ACE中，AC＝CE·tg30°＝×＝1，
∴V＝S·AC
＝BB1·BC·sin60°·AC=.
(十一)综合例题赏析
例11 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )
A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
B.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
C.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
解：B是假命题，因为对于异面直线a、b，有时不存在过直线a且垂直于直线b的平面.
如图，直线a是圆柱体的轴线，M、N分别为上下底圆周上的点且MN∥a，令b为直线MN，则a，b为异面直线.
过直线a的平面以直线a为轴旋转，它们均与b不垂直.
例12 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解：如图过点作PA∥a，PB∥b，则∠APB的异面直线a、b所成的平面角，由已知∠APB＝50°.
作∠APB的平分线PO，任取O∈PO，作CO⊥平面APB，令CB⊥PA于A，CB⊥PB于B，则由三垂线
定理知，OA⊥PA于A，OB⊥PB于B.
考虑C点沿平面APB的垂线OC自O点出发向上移动，易知∠CPB∈〔25°，90°)，?
∴存在唯一点C使∠CPB＝∠CPA＝30°.
同理在垂线CO的下方还存在对称点C′，使∠C′PA＝∠C′PB.
∴符合题设的直线有且只有两条.应选B.
例13 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与直线AC( )
A.相交且垂直
B.相交但不垂直
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
解：直线BC1和AC异面不垂直.
∵BC1∥AD1，
∴∠CAD1为异面直线AC，BC1所成的角.
在△CAD1中，CA＝AD1＝D1C.
∴∠CAD1＝60°
即AC和BD1成60°角.
应选D.
例14 设a、b是异面直线，那么( )
A.必然存在唯一的一个平面同时平行于直线a和b
B.必然存在唯一的一个平面同时垂直于直线a和b
C.过直线a存在唯一的一个平面平行于直线b
D.过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b
解：A不正确.因为垂直于异面直线a、b公垂线的任何一个平面都与a、b平行.
B不正确.若a⊥α，且b⊥α，则a∥b，此与a、b异面矛盾.
C正确.
D不正确.有时过直线a的所有平面都与直线b不垂直.
∴应选C.
(二)空间直线和平面
例15 已知直线l垂直于平面α，直线m平面β，有下面四个命题：
(1)α∥βl⊥m
(2)α⊥βl∥m
(3)l∥mα⊥β
(4)l⊥mα∥β
其中正确的两个命题是( )
A.(1)与(2) B.(3)与(4)
C.(2)与(4) D.(1)与(3)
解：命题(1)正确，证明如下：
∵l⊥α，若α∥β，则l⊥β，
又mβ，
∴l⊥m
命题(2)不正确.
已知l⊥α，β⊥α，此时有可能lβ，又因mβ，从而l与m共面β，l和m可能平行也可能相交.
命题(3)正确，证明如下：
∵l⊥α，l∥m，
∴m⊥α，
又mβ，
∴α⊥β.
命题(4)不正确，
设α∩β＝m，∵l⊥α，mα，∴l⊥m，故由l⊥α，m?β，l⊥mα∥β.
(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确.
应选D.
例16 如图(1)，ABCD是正方形，E是AB中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度.
解：在图(2)上作PH⊥CD于H，设正方形ABCD的边长1.
易知PD＝l，PC＝l，∴H为DC中点.
又ED＝EC.
∴EH⊥DC于H.
设∠PHE＝θ，则θ为面PCD与面ECD所成二面角的大小.
在△PDC中，由PD＝PC＝ＤＣ＝l，得PH＝，
在△EDC中，由EH＝
＝＝l，
又P是A、B重合的点，故PE＝AE＝.
用余弦定理于△PHE，有
cosθ＝cos∠PHE＝==,
由于θ∈(0，180°)，得θ＝30°.
应填30°.
例17 已知：如图，平面α∩平面β＝直线a，α、β同时垂直于平面r，又同时平行于直线b.
求证：(1)a⊥γ，(2)b⊥γ.
证明：(1)设α∩γ＝m，β∩γ＝n.
在直线a上任选不在平面γ上的点A，作AO⊥m于O，AO′⊥n于O′.
∵AOα，α⊥γ且α∩γ＝m，AO⊥m，
∴AO⊥γ(两面垂直，则在其中一个平面上且垂直于交线的直线必垂直于另一个面).同理AO′⊥γ.
但平面γ外的点A在平面γ的射影唯一.
∴O和O′重合于m，n的交点.
即直线a⊥平面γ.
(2)∵b∥平面α，
∴存在b′α，b′≠a；满足b∥b′.
又b∥β，从而b′∥β.
因为平面α过b′且交平面β于a，
∴b′∥a，从而b∥a.
由a⊥γ，得b⊥γ.
例18 如果直线l，m与平面α、β、γ满足：l＝β∩r，l∥α
，mα，和m⊥γ，那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
解：∵mα，m⊥γ，
∴γ⊥α，
∵lγ，m⊥γ，
∴m⊥l.
即在题设的条件下必有γ⊥α且l⊥m.
应选A.
例19 如图1-37，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.
(1)求证：BE＝EB1；
(2)若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(1)的完成证明，并解答(2).
证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足.
(Ⅰ)∵_____________________
∴EG⊥侧面AC１，取AC的中点F，连结BF、FG，由AB＝BC得BF⊥FC.
(Ⅱ)∵_____________________
∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FC.
(Ⅲ)∵_____________________
∴BF∥EG，四边形BEGF是平行四边形，BE＝FG.
(Ⅳ)∵_____________________
∴FG∥AA1，ΔAA1C∽ΔFGC，
(Ⅴ)∵_____________________
∴FG=AA1＝BB1，即BE=BB1，故BE＝EB1.
解：(1) (Ⅰ)∵面A1EC⊥侧面AC1，
(Ⅱ)∵而面ABC⊥侧面AC1，
(Ⅲ)∵BE∥侧面AC1，
(Ⅳ)∵BE∥AA1，
(Ⅴ)∵AF＝ＦＣ.
(2)分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D.
∵EB1∥CC1，EB1＝BB1＝CC1，
∴DB1＝DC1＝B1C1＝A1B1，
∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°
∠DA1B1＝∠A1DB1＝(180°-∠DB1A1)＝30°
即DA1⊥A1C1
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，
∴∠CA1C是所求二面角的平面角.
∵CC1＝ＡＡ１＝A1B1＝A1C1，∠A1C1C＝90°，
∴∠CA?1C?1＝45°，即所求二面角为45°.
例20 在空间中，下列命题成立的是( )
A.过平面α外的两点，必有且只有一个平面与平面α垂直?
B.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l必平行于平面α
C.若直线l与平面α内的无数多条直线垂直，则直线l必垂直于平面α
D.互相平行的两条直线在一个平面内的射影仍然是互
相平行的两条直线
E.若点P到三角形的三条边的距离相等，则点P在该
三角形所在平面内的射影必然是该三角形的内心
解：A不正确.若平面α外的两点A、B使直线AB⊥α，则过A、B两点且与α垂直的平面有无数多个.
B不正确.设l和α交于点O，在l上取OA＝OB，则A、B到平面α等距但直线AB不平行于平面α.
C不正确.设l斜交α于O，在α内过O点作m⊥l，则α内与m平行的无数多条直线都平行于l，但l与α不垂直.
D不正确.若互相平行的两直线a，b所确定的平面β⊥α，则a，b在α内的射影是一条直线.
E正确.由三垂线定理易证明它的正确性.
例21 已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱的距离为4，那么tgθ的值等于( )
A. B. ? C. D..
解：如图，CO⊥β于O，CD⊥AB于D，则CO＝3，CD＝4，∠CDO＝θ，∠COD＝90°.
∴tgθ＝＝
＝＝.
应选C.
例22 下列命题中，错误的是( )
A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有的直线
B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C.若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面
D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直?
解：B为两面垂直的一个判定定理.
A为线面垂直的性质定理.
C错误：设l⊥平面α，m∥l，若m?α，则m∥α.
应选C.
例23 下列四个命题中的真命题是( )
A.若直线l平面α内两条平行直线垂直，则l⊥α
B.若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β
C.若平面α与直二角β-MN-r，棱MN交于点A，与二面角的面β，而r分别交于AB、AC，则∠BAC≤90°
D.以上三个命题都是假命题.
解：命题A不真
命题B不真；若这四条直线都平行，则有可能α∥β
命题C不真：
如图
BC2 ＝BB′2+BC′2
＝BB′2+CC′2+B′C2
＝BB′2+CC′2+(B′A+C′A)2
＞BB′2+CC′2+B′A′2+C′A2
＝(BB′2+B′A2)+(CC′2+C′A2)
＝BA2+CA2
∴∠BAC＞90°
应选D.
四、能力训练?
(一)选择题?
1.下列命题中，假命题是( )
A.若a,b是异面直线，则一定存在平面α过a且与b平行
B.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a且与b垂直
C.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a，b所成的角相等
D.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a，b的距离相等?
2.下列命题中，真命题是( )
A.若直线m、n都平行于平面α则m∥n
B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l,则m⊥β
C.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n,则n在α内或n与α平行
D.若直线m、n是异面直线，若m与平面α平行，则n与α平行，则n与α相交
3.如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
4.设α、β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是( )
A.lα，mα且l∥β，m∥β
B.lα，mβ且l∥m
C.l⊥α，m⊥β，且l∥m
D.l∥α，m∥β且l∥m
5.已知直二面角α—l—β，直线ma,直线nβ，且m、n均不与直线l垂直，则( )
A.m和n不可能垂直，但可能平行
B.m与n可能垂直，但不能平行
C.m和n可能垂直，也可能平行
D.m与n不能垂直，也不能平行
6.二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60°，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，则( )
A. B. C. D.
7.如图，有共同底边的等边△ABC和等边三角形BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中截面AB1C和截面A1B1C所成的二面角的大小为( )
A.45° B.60° C.arccos D.arccos
9.如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面CE，侧图中相互垂直的平面有( )
A.3组 B.6组 C.7组? D.8组
10.菱形ABCD的边长为a,∠A=60°，E、F、G、H分别在AB，BC，CD，DA上，且BE=BF=DG=DH=，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面E—FGH的距离为( )
A. B. C. D.(-1)a
(二)填空题
11.两条异面直线所成的角为θ，则cosθ的取值范围是_________.
12.棱长为1的正方体，PA、PB、PC是共一个顶点P的三条棱，那么点P到平面ABC的距离是_________.
13.从三棱锥六条棱的中点中，任选四个作为四边形的顶点.其中为平行四边形的个数有__________个.
14.二面角的一个面内有一条直线与另一个面成30°，这直线与棱成45°角，则此二面角度数_________.
15.正四棱锥S-ABCD的高为2，底面边长为，P、Q两点分别在线段BD和SC上，则P、Q两点的最短距离为_______.
(三)解答题
16.已知平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β，求证a∥α.
17.如图，正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，G为BF的中点，现将正方形沿EF折成120°的二面角.求①异面直线EF和AG所成的角；②AG和平面EBCF所形成的角.
第17题图 第18题图
18.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA=PB,CB⊥平面PAB，PM=MC,AN=3NB.①求证MN⊥AB;②∠APB=90°,BC=2，AB=4时，求MN的长.
19.如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC①求证AB⊥PQ；②求直线PQ
在面ABC所成角的大小.
20.如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=a(a＞0，PA⊥平面AC，且PA=1.①问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；②若BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q-PD-A的大小.
能力训练参考答案
(一)1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.B 8.D 9.C 10.A
提示：
6.作AO⊥EF，垂足是O，作OB⊥BC，垂足是B，连AB，易知AO⊥β，AB⊥BC，设AC=a，可得CO=a，CB=，cosθ==.
7.作AO⊥BC，连OD，作BE∥DC，DE∥BC交BE于E，连AE.易知∠ABE(或补角)即异面直线AB、CD据所成的角，且AB⊥DE，设正三角形边长为a，可得AB=a，BE=a，AE=a，由余弦定理得cos∠ABE=-，异面直线所成角的余弦值是.?
8.设二面角为θ，易知tgθ==(a是正方体棱长).
9.找平面的垂线，即可找出相互垂直的平面，七组是平面ABC和平面ABE，平面ABC和平面BD；平面ABE和平面BD；平面ABD和平面BD；平面ABD和平面ACE；平面ABC和平面ACD；平面ADF和平面ABE.
(二)11.［0，1］ 12. 13.3 14.45°或135° 15.
(三)16.设α∩β=DE，在平面α内作CB⊥DE，则CB⊥β.?
∵α⊥β，∴α∥CB，又∵a?α，∴a∥α，?
17.①作GM∥EF，则∠AGM是异面直线EF和AG所成的角，可知∠AEM是二面角A-EF-B的平面角，∠AEM=120°，又可证AM⊥MG，设正方形边长为4a，得GM=2a，AM==a，
∴tg∠AGM==，异面直线AG和EF成角为arctg.
②作AO⊥平面BF，易在O在BE延长线上，连GO，则∠AGO是AG与平面BF所成的角；AO=a，OG=2a，tg∠AGO==，AG与平面EBCF所成角为arctg.
18.①作MD∥BC交PB于D，连接DN，因BC⊥平面PAB，则MD⊥平面PAB.
∴PA=PB，在等腰△PAB中作PE⊥AB，则E是AB中点，又AN=3NB，则N为EB中点，∴DN∥PE，DN⊥AB故MN⊥AB.?
②在Rt△MDN中，DM=1，PE=2，DN=1，故MN=.
19.①过B作BD⊥PQ于D连AD，由已知有△BCD≌△ACD，∴AD⊥PQ，∴PQ⊥平面ADB，则PQ⊥AB.
②取AB中点H，连DH、CH，设BC=AC=a，则BD=AD=，CD=a，由①知∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，为60°，且PQ⊥HD，因此△ABD是正三角形，HD=a.
在Rt△CHD中，tg∠DCH==，∠DCH=arctg ，又由∠PCA=∠PCB，知PQ在平面ABC的射影在∠ACB的平分线上，而AC=BC，AH=BH，则CH是∠ACB的平分线，PQ在平面ABC的射影即CH，从而PQ与平面ABC所成的角为arctg.
20.①由三垂线定理知，PQ⊥QD?AQ⊥QD.
∴当a＞2时，BC边上存在两个点，即以AD为直径的圆与BC有两个交点，满足PQ⊥QD；当a=2时，BC边上中有中点满足PQ⊥QD；而当0＜a＜2时，BC边上不存在PQ⊥QD的点Q.
②这时BC=2，且Q是BC中点，设G是AD中点，作CH⊥PD，垂足是H，连QH、QG，由于PA⊥平面AC，则平面PAD⊥平面AC，因此QH⊥平面PAD，QH⊥PD，∠QHG是二面角Q-PD-A的平面角.?
在Rt△QHG中，HG==，GQ=1，tg∠QHG==，所求二面角为arctg.?
证题方法
间接证法
直接证法
反证法
同一法复数
知识要点：
贯穿复数全部内容的有三条主线，一条主线是用代数形式表示复数的概念，规定了复数的运算法则，并通过它同代数中的多项式、方程建立联系；第二条主线是把复数看作是从直角坐标原点出发到这个平面内一点的向量，即用几何的形象描述复数的概念，解释复数的运算法则；第三条主线是用三角形式表示复数的概念，更突出地反映复数几何特征。
这三条主线既有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，互相转化、相辅相加，使得函数、不等式、方程、几何、三角、解析几何等知识融为一体。
虽然在近几年的高考中，对复数的难度加以控制，但考生的得分并不高，在高三总复习中，对复数仍需加以重视。
1、复数的概念
①形如的数叫做复数，当b≠ 0时叫做虚数，b = 0时为实数，当a = 0，b ≠ 0时叫做纯虚数，a, b分别叫做复数a + bi的实部和虚部，实数集R是复数集C的真子集。
②复数z = a + bi(a, b R)可以用点Z(a, b)来表示，也可以用从原点指向点Z(a, b)的向量 来表示，复数集C和复平面内的有的点所成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量所成的集合是一一对应的。
③复数的相等，设a, b, c, d R，那么a + bi = c + di a =c，且b=d；a + bi = 0 a = b = 0。
④复数z = bi与互为共轭复数，共轭复数的主要性质：为实数，
⑤复数的模，复z= a + bi(a, b R)的模为，复数的模有以下性质：
⑥复数的辐角和辐角主值，以x轴正半轴为始边，复z = a+ bi(a, b R)对应向量 所在射线为终边的角 叫做复数z = a + bi的辐角，适合0 < < 2的辐角 的值，叫做辐角的主值，记作arg z，复数O的辐角可以任意取值，非零复数有唯一确定的辐角主值，而一个复数的辐角有无限个值。
2、复数的三角形式
①叫做得复数的三角形式。
注意
②的相互关系和相互转化。
其，在求 = arg z时注意：
的值及点所在的象限来确定arg z。
3、复数的运算
对复数的运算要注意从复数的三种表示形式上去理解，复数的运算有加、减、乘、除、乘方和开方。要注意运算的特点。
①复数的加减法要注意代数形式和几何形式的表示，平行四边形法则和三角形法则。
②复数的乘除法要注意三角形式和几何形式的表示、模和辐角的表示。
③乘方运算。
代数形式 (a + bi)n按二项式定理展开化简。
三角形式。
④开方运算
对代数形式注意z = aI bi的平方根的运算。
三角形式中。的n次方根是n个复数，即
这几个复数对应的几个点是以原点为圆心，为半径的圆的几等分点。
4、复数方程
（1）实系数的一元二次方程
当时，有实根
当时，有两个共轭虚数
（2）二项方程，化为（b是复数）的形式，通过复数开方来求根x。
（3）含有| z | 或的复数方程，一般设，转化为实数方程求解。第十章 圆锥曲线
一、考纲要求
1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.
2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.
3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.
4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.
二、知识结构
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.
点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；
点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0
两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则
f1(x0,y0)=0
点P0(x0,y0)是C1，C2的交点
f2(x0,y0) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.
2.圆
圆的定义
点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
圆的方程
(1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是
x2+y2=r2
(2)一般方程?
当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为
(x+)2+(y+)2=
当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点
(-,-);
当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则
｜MC｜＜r点M在圆C内，
｜MC｜=r点M在圆C上，
｜MC｜＞r点M在圆C内，
其中｜MC｜=.
(3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系
直线与圆相交有两个公共点
直线与圆相切有一个公共点
直线与圆相离没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定
(i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.
3.椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.
椭 圆 双曲线 抛物线
轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.
圆 形
标准方程 +=1(a＞b＞0) -=1(a＞0,b＞0) y2=2px(p＞0)
顶 点 A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0)
轴 对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b 对称轴x=0,y=0实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=
焦 点 F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上 F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上 F(，0)焦点对称轴上
焦 距 ｜F1F2｜=2c，c= ｜F1F2｜=2c,c=
准 线 x=±准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=±准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
离心率 e=,0＜e＜1 e=,e＞1 e=1
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆
当e=1时，轨迹为抛物线
当e＞1时，轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.
坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则
x=x′+h x′=x-h
(1) 或(2)
y=y′+k y′=y-k
公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程?
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.
方 程 焦 点 焦 线 对称轴
椭圆 +=1 (±c+h,k) x=±+h x=hy=k
+ =1 (h,±c+k) y=±+k x=hy=k
双曲线 -=1 (±c+h,k) =±+k x=hy=k
-=1 (h,±c+h) y=±+k x=hy=k
抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) x=-+h y=k
(y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) x=+h y=k
(x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=-+k x=h
(x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h
三、知识点、能力点提示
(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点
说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.
例1 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，求y/x的最大值.
解： 此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.
设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切 ，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.
＝，解得k＝(-舍去).
(二)充要条件?
说明 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这 几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.
例2 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件，
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解： 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙 是甲的充分条件，故选A.
(三)圆的标准方程和一般方程
说明 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.
例3 圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，
圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条?
解： 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 . ∵A圆圆心是C1(-1,-1)，B圆圆心是C2(1，1)，∴｜C1C2｜＝2，r1＝1，r2＝2.
r1+r2＞｜C1C2｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.
(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶 点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法
说明 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要 的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.
例4 P是椭圆+＝1上 的点，F1、Ｆ２为其焦点，若∠F1PF2＝90°.求ΔPF1F2的面积.
解：∵S＝｜PF1｜·｜PF2｜，而｜PF2 ｜+｜PF2｜＝10，
｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2=36，联合求解得：
PF1·PF2＝＝32，?
∴S＝16.
(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线
说明 根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里 与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.
例5 已知双曲线-＝1(＜θ＜π)过点
A(4，4).
(1)求实轴、虚轴的长；
(2)求离心率；
(3)求顶点坐标；
(4)求点A的焦半径.
解： 因为双曲线过点A(4，4)，所以
- ＝1，tg2+tgθ-２＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为＜θ＜π＝
∴双曲线方程为-+＝1.
从而a=2,b=4,c=2.
(1)实轴长2a=4 ，虚轴长2b＝8.
(2)离心率e＝＝.
(3)顶点为(0，2)，(0，-2).
(4)焦点F1(0，-2)，F2(0，2).
｜AF1｜＝
＝2(+1)，
｜AF2｜＝
＝2(-1).
(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法
说明 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.
例6 圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴相切的一个圆的方程是( )
A.x2+y2-x-2y-=0
B.x2+y2+x-2y+1=0
C.x2+y2-x-2y+1=0
D.x2+y2-x-2y+=0
解： 经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.
①(x-)2+(y-1)2=
②(x+)2+(y-1)2=
③(x-)2+(y-1)2=
④(x-)2+(y-1)2=1
由已知条件，②的圆心不在抛物线y2=2x上.而圆要与x轴相切，则圆心的纵坐标的绝对值 要等于半径.故只有④适合.选D.
(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程
说明 坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的 关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.
?例7 方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是( )
A.(-3，-1) B.(-3，1)?
C.(3，-1) D.(3，1)
解： 将原方程配方后化为+=1，∴ 对称中心是(-3，1).故选B.
例8 求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率 及准线方程.
解： 将原方程配方后化成
+=1.
x′=x-2
令 得到新方程为+=1.
y′=y+3
∴a=3,b=2,c==.
即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，
准线为y′＝±＝±
x=x′+2
由平移公式 ，得在原坐标系中
y=y′-3
焦点为：(2，-3)、(2，--3)，
准线为：y=±-3.
(八)综合例题赏析
例9 设集合M=｛x｜x＞2｜｝，P=｛x｜x＜3｜｝，那么 “x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D.非充分也非必要条件
解：M∪N=R，M∩N=｛2＜x＜3｝
∴x∈M∩Px∈M或x∈N.
∴应选B.
例10 已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解：r=2，圆心(1，0)，a＞0，∴a＝３
应选C.
例11 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成 的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距 离最小的圆的方程
解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r
由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦 长为r,有r2=2b2
由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2=a2+1
∴2b2-a2=1
P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=,得
5d2=｜a-2b｜2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)
2b2-a2=1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1从而d取得最小值
a=b a=1 a=-1
由此有 解得 或
2b2-a2=1 b=1 b=-1
又由r2=2b2,得r2=2.
∴所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2
例12 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线方程.
解：设反射光线为L′
∵L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，
∴L′过A(-3，-3)
设L′的斜率为k，则L′的方程为
y-(-3)=k〔x-(-3)］,即kx-y+3k-3=0,
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心Ｏ的坐标为(2，2)，半径r=1
∵L′和已知圆相切，做Ｏ′到L′的距离等于半径r=1
即==1
整理得12k2-25k+12=0
解得k=或k=
∴L′的方程为y+3=(x+3);或y+3=(x+3).即4x-3y+3=0,或3x- 4y-3
∵L和L′关于x轴对称
∴L的方程为4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0.
例13 设椭圆+=1 (a＞b＞0) 的右焦点为F1，右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离， 则椭圆的离心率是_________.
解：
例14 已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点距离为3，则P到另一焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
解：a2=25,a=5,2a=10.
此椭圆上的点到两焦点的距离之和为10
∴点P到另一焦点的距离为10-3=7.
应选D.
例15 设双曲线-=1 (0＜a＜b)的半焦距为C，直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线1的距离为c，则双曲线的离心率为( )
A.2. B. C. D.
解：∵直线1过(a,0)，(0,b),
∴1的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0
∵原点(0，0)到1的距离为c，由点到直线的距离公式 ，得c=又0＜a＜b,双曲线中c2=a2+b2,
∴c2=a2+b2
=,得ab=,=·(a2+b2),
整理得a2-4ab+b2=0,b=a.
∴c2=a2+b2=4a2,c=2a,e==2.
应选A.
例16 设F1和F2为双曲线-y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°.则△F1PF2的面积是( )
A.1 B. C.2 D.
解：由已知可得，F1(-，0)，F2(，0)
∴｜F1F2｜=2,｜F1F2｜2=20
由∠F1PF2=90°,
得20=｜F１F２｜２＝｜PF1｜２+｜PF２｜２ ①
由双曲线定义得︳PF1︳-︳PF２︳=2a=4，平方得
｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·︳PF1｜=16 ②
①-②得2｜PF1｜·｜PF2｜=4
∴S=｜PF1｜·｜PF2｜
应选A.
例17 双曲线-x2=1的两个焦点坐标是______.
解：(0，)，(0，-)
例18 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.2
解：由题设知a=2,c=3.
∴e=.
应选C.
例19 已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点 的距离是5，则p=________.
解：y2=2px的焦点坐标是(，0)，
∴5=
解出p=4.
例20 直线l过抛物线y2=a(x+1)(a＞0)的焦点，并 且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_______.
解：设抛物线焦参数为p，则a=2p(p＞0).
l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y2=a(x+1)的对称轴.
∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长.
∴4=2p=a，即a=4.
例21 抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为
_________.
解：由AB⊥x轴，│AB│=4，可设A(x1，2).
∵A(x1，2)在抛物线y2=4x上，
∴(2)2=4x1，得x1=3.
又y2=4x的焦点F的坐标为(1，0)，
∴F到AB的距离为3-1=2.
例22 焦点在(-1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( )
A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1)
C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1)
解：设抛物线焦参数为p，则焦点和顶点的距离是，
即==2，得p=4.
又抛物线顶点坐标为(1，0)，焦点是(-1，0)，
∴y2=-8(x-1)为所求.
应选D.
例23 曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共 点的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解：由2y2+3x+3=0，得y2=-x-≥0，
∴x≤-1.
把y2=-x-代入x2+y2-4x-5=0，得
x2-x--4x-5=0，即2x2-11x-13=0
即(2x-13)(x+1)=0，∴x=-1(舍x=).
把x=-1代入2y2+3x+3=0，得y=0.
∴交点为(-1，0)，即只有一个交点.
应选D.
例24 设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
(1)写出曲线C1的方程；
(2)证明曲线C与C1关于点A(，)对称；
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S=-t且t≠0.
解：(1)曲线C1的方程为
y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)在曲线C上任取点B1(x1，y1)，设B2(x2，y2)是B1关于点A的对称点，则有=，=，
∴x1=t-x2，y1=s-y2
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
S-y2=(t-t2)3-(t-x2)，
即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s，
可知点B(x2-y2)在曲线C1上
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，
∴曲线C与C1关于点A对称.
(3)∵曲线C与C1有且仅有一个公共点，
y=x2-x
∴方程组 ，有且仅有一组解.
y=(x-t)3-(x-t)+S
消去y，整理得
3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0，
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根
∴t≠0，并且其根的判别式
Δ=9t4-12t(t3-t-S)=0.
t≠0
即
t(t3-4t-4S)＝0
∴S=-t且t≠0
例25 已知l1，l2是过点P(-，0 )的 两条相互垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2，
(1)求l1的斜率k1的取值范围；
(2)若A1恰是双曲线的一个顶点，求│A2B2│的值.
解：(1)依题意，l1，l2的斜率都存在，
∵l1过点P(-，0)且与y2-x2=1有两交点，
y=k1(x+)(k1≠0)
∴ ①有两个不同的解.
y2-x2=1
消y整理得
(k21-1)x2+2k21x+2k21-1=0. ②
若k21-1=0，则方程组①只有一解，与题设“l1和双曲线有两交点”矛盾.
∴k21-1≠0，即│k│≠1.
②的根的判别式为
Δ1=(2k21)2-4(k21-1)·(2k21-1)
=4(3k21-1).
设l2的斜率为k2，因l2和双曲线有两交点，
y=k2(x+)(k2≠0)
∴方程组 ③有两不同解.
y2-x2=1
在③中消y整理得
(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0. ④
同理有│k2│≠1，Δ2=4(3k22-1).
由已知l1⊥l2，得k1·k2=-1.
∴l1，l2与双曲线各有两个交点，等价于
3k21-1＞0 ＜│k1│＜
3k22-1＞0 解得
k1·k2=-1 │k1│≠1
│k1│≠0，│k2 │≠1，
∴k1∈(-，-1)∪(-1，-)∪(，1)∪(1，).
(2)双曲线y2-x2=1的顶点为(0，1)，(0，-1).
即A1(0，1)时，有
k1·(0+)=1，得k1=，k2 =-=-.
将k2=-代入方程④得x2+4x+3=0 ⑤
记l2与双曲线的两交点为A2(x1，y1)、B2(x2，y2)，
则│A2B2│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2
=3〔(x1+x2)2-4x1x2〕
由⑤知，x1+x2=-4，x1·x2=3，
∴│A2B2│2=3〔(-4)2-4×3〕=60，
│A2B2│=2.
当取A1(0，-1)时，由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性，知│A2B2│=2.
∴l1过双曲线一顶点时，│A2B2│=2.
例26 已知椭圆+=1，直线L∶+=1，P是L上 一 点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P在l上移动 时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
解：如图.
由题设知Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为(xP，yP)、(xR，yR)、(x，y)其中x ，y不同时为零.
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组；
+=1 x2R= ①
，解得
= y2R= ②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组：
+=1 xP=
③，解得 ④
= yP=
当点P在y轴上时，经检验①—④也成立.
∵│OQ│·│OP│=│OR│2
∴·=()2，
将(1)—(4)代入上式，化简整理得
=.
因x与xP同号或y与yP同号，以及③、④知2x+3y＞0，
∴点Q的轨迹方程为+=1.其中(x，y不同时为零)
点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆.
解法二：由题设知点Q不在原点.
设P、R、Q的坐标分别为(xP，yP)，(xR，yR)，(x,y)其中x，y不同时为零.
设OP写x轴正方向的夹角为α，则有
xP=│OP│cosα，yP=│OP│sinα；
xR=│OR│cosα，yR=│OP│sinα；
x=│OQ│cosα，y=│OQ│sinα；
又│OP│·│OQ│=│OR│2，可得
xP=x x2R=x2
① ②
yP=y y2R=y2
∵点P在直线l上，点R在椭圆上，
+=1
∴ ，将(1)、(2)代 入，得
+＝１
+=1.(其中x，y不同时为零).
∴Q点的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆(去掉坐标原点).
例27 已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点、焦 点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程.
解法一：如图.
由题意可设抛物线C的方程为y2=2px (p＞0)，且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，所 以可设l的方程y=kx (k≠0) ①
设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则有，
A′A⊥l，直线AA′的方程为
y=-(x+1). ②
由①、②联立得AA′与l的交点M的坐标为(-，-).
由M为AA′的中点，得点A′的坐标为，
xA′=2(-)+1=，
yA′=2()+0=- ③
同理可得点B的坐标为(，).
∵A′、B′均在抛物线y2=2px (R＞0)上，
∴(-)2=2p·，知k≠±1 ，p=.
同理()2=2p·，得p= .
∴=，
整理得k2-k-1=0.
解得k1=，k2=.
但当k=时，xA′=-＜0，与A′在抛物线y2=2px上矛盾，故舍去.
把k=代入p==.
∴直线方程为y=x，抛物线方程为y2=x.
解法二：设点A、B关于直线l的对称点A′(x1，y1)、B′(x2，y2)，则有
│OA′│=│OA│=1，│OB′│=│OB│=8
设x轴正向到OB′的转角为α，则有
x2=8cosα，y2=8sinα ①
∵A′，B′是A，B关于直线l的对称点，
又∠BOA是直角，
∴∠B′OA′为直角，得
x1=cos(α-)=sin α，y1=sin(α-)=-cosα ②
由题意知，x1＞0，x2＞0，故α为第一象限角.
∵A′，B′都在抛物线y2=2px上，
∴cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p· cosα
∴8sin3α=cos3α，得2sinα=cosα
解得sinα=，cosα=.
代入cos2α=2psinα，得p=.
∴抛物线方程为y2=x.
∵直线l平分∠BOB′，
∴l的斜率k=tg〔α+(-α)〕=tg(+)
===.
∴ 直线l的方程为y= x.
例28 在面积为1的△PMN中，tgM=，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出M、N为焦点且过点P的椭圆方 程.
解：如图
以MN所在直线为x轴，以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.
设以M、N为焦点且过P点的椭圆的方程为
+=1 (a＞b＞0)
点M、N的坐标分别为(-c,0)、(c,0).
由tgM=，tg∠PNx=tg(π-∠MNP)=2，得
直线PM和直线PN的方程分别为
y=(x+c),y=2(x-c).
x=c
将两方程联立得 ，即P(c, c).
y=c
已知△MNP的面积为1，
∴1=｜MN｜·y?P= ·2c· c= c2，
得c=，P(，).
∵｜PM｜==
=，
｜PN｜= =
= ，
∴2a=｜PM｜+｜PN｜=,a= ，
b2=a2-c2=()2-()2=3 .
∴+=1为所求椭圆方程.
例29 设抛物线经过两点(-1，6)和(-1，-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得线段长是4，求抛物线的方 程.
解：设所求抛物线的顶点坐标为(x0,y0)，由题设可设所求抛物线方程为(y-y0)2=2 p(x-x0)(p＞0)
∵(-1,6),(-1,-2)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为y==2，即y0=2，抛物线方程化为(y-2)2=2p(x -x0) ①
把(-1，-2)代入，得2px0=-2p-16 ②
设直线和抛物线两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2).
(y-2)2＝２p(x-x0)
由 ，得
y=2x+7
4x2+(20-2p)x+(25+2px0)=0,
将①：2px0=-2p-16代入上面方程，得
4x2+(20-2p)x+(199-2p)=0，
x1,x2是方程的两根，由根与系数的关系得x1+x2=5-，x1·x2=.
∴｜x1-x2｜==
∴4==｜x1-x2｜
=·
化简整理得p2-12p-64=0，
即(p-16)(p+4)=0,又p＞0，
∴p=16.
由2px0=-2p-16，得x0=-.
∴(y-2)2=32(x+)为所求抛物线方程.
例30 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.
解：设所求椭圆的方程为+=1.?
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：
+=1 ①
(1)y=x+1 ②
将②代入①，整理得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0， ③
设方程③的两个根分别为x1、x2，则直线y=x+1和椭圆的交点为，
P(x1,x1+1)，Q(x2,x2+1)
由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得
·=-1
(x２-x1)２+〔(x2+1)-(x1+1)〕２=()2.
整理得
(x1+x2)+2x1x2+1=0 ④
4(x1+x2)２ -１６x1x2-5=0 ⑤
解这个方程组，得
x1x2= x1x2=-
或
x1+x2=- x1+x2=-
根据根与系数的关系，由(3)式得
＝ ＝
(Ⅰ) 或 (Ⅱ)
＝ ＝-
解方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)得
a2=2 a2=
或
b2= b2=2
故所求椭圆方程为
+=1，或+=1.
例31 已知双曲线C的实半轴长和虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为F1、F2，直线L过F2且与直线F1F2的夹角为，tg=，L与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q(且｜PQ｜∶｜PF2=2∶1)，求双曲线的方程.
解：如图，
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系.
设双曲线C的方程为-=1 (a＞b＞0)
设F1，F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，其中C=，则点P的坐标为(0，-，c).
由线段的定比分点公式可得Q点的坐标为(c,- c).
将Q点坐标代入双曲线方程得
-=1，整理得
16()4-41()2-21=0
解得()2=3或()2=-(舍去)
由()2=3和题设ab=，解得a=1，b=.
故所求双曲线方程为x2-=1.
例32 已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且OP垂直 ，过点A(1，0)和点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标.
解：设点P的坐标为(2，y1)，则直线OP的斜率
kOP=.
∵l⊥直线OP.
∴直线l的斜率k1满足kOP·k1=-1，即·k1=-1，得k 1=-.
又直线l过原点，所以l的方程为y=-x.
∵直线m过点A(1，0)，P(2，y1).
∴m的方程为y1x-y-y1=0
由l的方程得y1=-代入m的方程得--x-y+=0，即2x2+y2-2x=0.
显然点Q与点A(1，0)不重合，故x≠1.
又2x2+y2-2x=0可化为
+=1 (x≠1)，
∴Q点的轨迹是挖去点(1，0)的椭圆，该椭圆的焦点坐标是(，)和(，-).
例33 已知椭圆的焦点为F1(0，-1)和F2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.
(1)求椭圆方程；
(2)设点P在椭圆上，且│PF1│-│PF2│=1，求
tg∠F1PF2的值.
解：如图.
(1)设所求椭圆方程为+=1，(a＞ b＞0)
由F1(0，-1)和F2(0，1)，知c=1，得a2=b2+1， ①
由一条准线方程为y=4知，=4 ②
又a2=b2+c2 ③
由①、②、③解得a2=4，b2=3.
故所求椭圆方程为+=1.
(2)由椭圆定义及a=2有│PF1│+│PF2│=4 ①
由题设有│PF1│-│PF2│=1 ②
解出│PF1│=，│PF2│=，又│F1F2 │=2.
在△PF1F2中，∠F1PF2=θ，
∴cosθ==，
从而sinθ=，tgθ=，tg∠F1PF2=.
四、能力训练
(一)选择题
1.“点M的坐标是方程f(x，y)=0的解”是“点M在方程f(x，y)=0曲线上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.抛物线x=-的焦点坐标是( )
A.(0，1) B.(-1，0)
C.(0，-) D.(-，0)
3.椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长是( )
A. B.
C. D.
4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是( )
A.-y2=1和-=1
B. -y2=1和y2-=1
C.y2-=1和x2-=1
D. -y2=-1和-=1
5.抛物线x2-4y=0上一点P到焦点的距离为3，那么P的纵坐标是( )
A.3 B.2 C. D.-2
6.已知椭圆+=1 (a＞b＞0)的两 个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
7.圆x2+y2-2axsinα-2bycosα-a2cos2α=0在x轴上截得的弦长是( )
A.2a B.2│a│ C.│a│ D.4│a│
8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ，F′是另一个焦点，若∠PF′Q=，则双曲线离心率是( )
A.+2 B. +1 C. D. -1
9.抛物线y2+4y-4x=0的准线方程是( )
A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-2
10.椭圆的两准线方程分别为x=，x=-，一个 焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
11.设双曲线-=1的两条渐近线含 实轴的夹角为θ，而离心率e∈［，2］，则θ的取值范围是( )
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.［，π］
12.椭圆+=1的弦AB被点(1，1)平分，则 AB所在的直线方程是( )
A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0
C.9x+4y-10=0 D.9x-4y-5=0
13.和x轴相切，且和圆x2+y2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是( )
A.x2=2y+1 B.x2=-2y+1
C.x2=2y+1或x2=-2y+1 D.x2=2│y│+1
14.如果椭圆+=1 (a＞b＞0)和曲线+=1(m＞0，n＞0)有相同的焦点F1和F2 ，P是这两条曲线的交点，则│PF1│·│PF2│的值是( )
A.a-m B.(a-m)
C.a2-m2 D.-
15.已知0＜a＜1＜b，那么曲线a2x2-a2y2=logab是( )
A.焦点在x轴的双曲线
B.焦点在y轴的椭圆
C.焦点在x轴的等轴双曲线
D.焦点在y轴的等轴双曲线
(二)填空题
16.直线xsinα+ycosα=m(常量α∈(0，)) 被圆x2+y2=2所截的弦长为，则m=________.
17.设椭圆-=1的准 线平行于x轴，则m的取值范围是________.
18.如果方程x2cos2θ+y2sinθ=1，表示椭圆，那么θ 角的取值范围是_________.
19.设双曲线C：-=1椭圆的焦点恰为双 曲线C实轴上的两个端点，椭圆与双曲线离心率为互为倒数，则此椭圆方程是________.
(三)解答题
20.已知两圆C1∶x2+y2+4x-4y-5=0
C2∶x2+y2-8x+4y+7=0
(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程.
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.
21.(1)椭圆+=1上一点P与两焦点 F1F2连线所成的角∠F1PF2=α，求△F1PF2的面积；
(2)将上题的椭圆变成双曲线-=1 ，求△F1PF2的面积.
22.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是(1. 5，)，求抛物线和双曲线的方程.
23.已知椭圆+=1，左、右焦点分别为 F2、F1，右准线为L，问能否在椭圆上求得一点P，使│PF1│是P到L的距离d与│PF2│的比例中项 若能，求出P点坐标，若不能，说明理由.
24.试就k的取值(k∈R，且k≠4)讨论方程+(k-2)y2=1+k所表 示曲线的形状.
25.已知椭圆+=1中有一内接△PAB，∠X OP=60°，且kPA+kPB=0
(1)求证：直线AB斜率是定值；
(2)求△ABP的面积的最大值.
能力训练参考答案
(一)1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 13.D 14.A 15.D
(二)16.±；17.(-，-)；18.2kπ＜θ＜2kπ+或2kπ+＜θ＜2kπ+π(k∈ Z)；19. +=1
(三)20.解 两圆方程化为：c1：(x+2)２+(y-2)２=13 C2∶(x-4)２+(y+2)２=13 ，C1、c２圆心分别为(-2，2)、(4，-2)，半径都是，圆心距d==2，即圆心距等于两圆半径之和，故两 圆外切，因连心线斜率为k1==-，解方 程组
x２＋y２+4x-4y-5=0
x２＋y２-8x+4y+7=0
得切点坐标为(1 ，0)，∴公切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0,(两圆相外切时，两圆方程相 减得根轴方程，即过切的公切线方程).(2)与两圆相切于点(1，0)的圆圆心必在直线y=-(x-1)上，且(x-1)２+y２=(x-2)２+(y-3)２，解上面两方程组成的方程组得圆心坐标为(-4，)，r２=,∴所求圆方程为(x-4)２+(y-)２= ,即3x２+3y２+24x-20y-2 7=0.
21.(1)(2c)２=|PF1|２+|PF2|２-2|PF1||PF2|cosa=(|PF1|+|PF2|)２-2|PF1||PF2|(1+cosa) ∴|PF1|·|PF2|=,S=|PF1||PF2|sina=b２tg,
(2)(2c)２=(|PF1|-|PF2|)２+2|PF1||PF2|(1-cosα)，|P F1|·|PF2|=,S=b２ctg.
22.双曲线焦距是2设抛物线方程为y２=4;(1.5,)在其上，∴=1故抛物线方程为y２=4x,又-=1,a２+b２=1,∴双曲线方程是4x２-=1;
23.a=5,b=,c=2,e=,设若有点P，使|PF1|２=d·|PF2|， 即=== |PF1|+|PF2|=10，|PF1|+|PF2|=10；|PF2|= ；|PF1|= |PF2|= ;|PF1|-|PF2|=＞2c，∴P不存在；
24.k＜-1或k＞4实轴在y轴上的双曲线；-1＜k＜2，实轴在x轴上的双曲线2＜k＜4,k=3时， 圆k≠3，即k∈(2,3)∪(3,4)是长轴为y轴的椭圆.
y=x
25.(1) P(1， )，
+=1
由kPA+kPB=0 LPA∶y-=k(x-1) LPB：y- =-k(x-1)可求得
xA= xB=k２+2 k-3
kAB＝(定值)，
yB= yB＝
(2)｜AB｜ ＝，P到AB的距离d= ，S△PAB＝｜AB｜·d＝≤，S△PAB最大值是.
性
质
线
曲函数
知识要点：
本专题主要涉及二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、指数方程和对数方程，函数的最值和应用问题等
1、二次函数
二次函数是近几年高考的热点，虽然在高中数学中没有系统研究，但在高中函数，方程不等式，在三角、立体几何，解析几何中经常涉及到二次函数的图象和性质，单调性、对称性，以及二次函数的最值问题。
⑴二次函数
配方得，图象为抛物线。
①对称轴方程。
②顶点坐标
③开口向上（下），时，有最小（大）值。
⑵实系数一元二次方程
二次函数与轴交点的横坐标，即为一元二次方程的解，其中为实数。
①求根
②根与系数的关系
③判别式 △=
当△>0时，方程有两个不等实根。
若，方程有两个正根；
若，方程有两个负根；
若，方程有一个正根和一个负根。
当△=0时，方程有两个相等实根。
当△<0时，方程有两个共轭虚根
2、幂函数
在第一象限的图象，可分为如图2—1中的三类：
图2—1
在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。
幂函数有如下性质：
⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；
⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；
⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；
3、指数函数与对数函数
指数函数，对数函数。是高中数学典型函数，也是高考中经常涉及到的函数，复习时要注意以下几点：
⑴熟练掌握两个函数的图象和性质。
⑵注意底数的取值不同（如）对函数图象位置的影响。
⑶当底数取同一个值（如）时，与互为反函数，它们的图象关于直线对称。
⑷对底数要注意分和两种情况来研究中的有关问题。
4、指数方程和对数方程
这两类方程都属于超越方程。解方程的基本思想是“化归”。通过把超越方程代数化，无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程（组）一元化等，最后归结为一元一次或一元二次方程的求解问题。
5、函数的值域和最值
函数的值域和最值，两者有联系，也有区别，一般来讲，知道了函数的最大（小）值，可知函数值域，知道了函数值域，不一定确定函数的最大（小）值。
求函数值域（或最值）的常用方法：
⑴直接推演法：利用实数的性质或有关的变形进行推演，来确定；
⑵配方法：转化为二次函数，并注意完全平方项能否为零；
⑶判别式法：转化为一元二次方程，利用判别式，但注意等号能否成立；
⑷反函数法：利用反函数的定义域为原函数的值域可解。注意反函数是否存在；
⑸平均值法：利用两个或三个正数的平均值定理，但要注意等号成立的条件；
⑹数形结合法：利用代数式的图象或需要运用几何知识构造图形，赋予代数式以几何意义；
⑺三角代换或换元法：利用三角代换，以及角的取值范围或换元处理；
⑻利用已知函数的有界性或单调性求值域；多面体基础知识
知识要点：
1．理解棱柱、棱锥、棱台的定义，从府面、侧面、侧棱、高，常用截面儿个方面掌握棱柱、棱锥、棱台的性质及相互联系。
2．掌握正棱锥中的直角三角形和正棱台中的直角三角形与直角梯形，通过这些图形可以把很多重要的元素联系起来
正棱锥： Rt△SOA
Rt△SOE
Rt△AOE
Rt△SEA
正棱台： Rt△OEC 直角梯形：AOO1A1
Rt△O1E1C1 OEE1O1
OCC1O1
ECC1E1
3．棱锥中的与截面相关结论：平面A1B1C1∥ABC。在棱锥V-A1B1C1和棱锥V-ABC中
①对应侧棱长，对应高，等对应线段长之比等于底面边长之比
②对应侧面积，底面积，之比等于底面边长的平方比
③对应的体积之比等于，底面边长的立方比
4．侧面积公式：
①棱锥的各侧面与底面所成角均为，则
②棱台的各侧面与底面所成角均为，则
5．三棱锥顶点在底面射影的位置
三棱锥P-ABC，P在平面ABC上的射影为O
①当PA=PB=PC时，O为△ABC的外心
②PA·PB·PC两两垂直时，O为△ABC的垂心
③侧面与底面所成角相等时，O为△ABC的内心
6．注意用方程思想解决问题
7．在有关体积的计算中，“和差倍比”，切割、补形、等积变换都是很重要
8．点到面的距离可以通过棱锥的体积求解
9．若棱台的下、上府面以及平行于底面的截面积分别为
当m∶n=1时，中截面面积。第一章 函数与方程
一、考纲要求
1.理解集合、子集、交集、并集、补集等概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。
2.理解逻辑联词“或”、“和”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系。
3.理解｜ax+b｜＜c，｜ax+b｜＞c(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。
4.了解映射的概念，在此基础上理解函数及有关的概念，掌握互为反函数的图像、定义域及值域间的关系，会求一些简单函数的反函数。
5.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图像的对称性关系描绘函数的图像，了解奇偶函数定义域必关于原点对称的特点。
6.理解分数指数幂、根式的概念，掌握有理指数幂的运算法则。
7.理解对数的概念，掌握对数的性质和运算法则。
8.掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考察函数性质和运用性质解决问题时，所涉
及的幂函数f(x)=xa中的 a限于在集合｛-2、-1、-、 、1、2、3｝中取值。
9.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单指数方程和对数方程。
10.会解简单的对数不等式、指数不等式及简单的函数不等式，要注意单调性和定义域的应用。??
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
1.集合
(1)集合元素有“四性”：确定性、互异性、无序性和任意性。即集合中元素应完全确定，不能模棱两可，集合中元素互不相同，不能重复出现；集合中元素无序关系，例如｛1、2、3｝与｛2、1、3｝表示同一集合；集合中元素可以是具体确定的事物，而不仅限于“数、点、式、形”。
(2)集合表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。
(3)元素与集合，集合与集合的关系：“∈”“”用于表示元素与集合间关系，“”、“＝”、“”、“”、“”用于表示集合与集合间关系。
(4)集合运算有三种：交、并、补。
交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集，记作A∩B。即
A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝
并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集，记作A∪B。即
A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝
补集：已知全集I、集合A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集，记作。即
＝｛x｜x∈I，且x∈/A｝
(5)例题赏析
例1 已知集合A＝｛x、xy、lg(xy)｝，B＝｛0、｜x｜，y｝且A＝B，求x、y的值。 解：由A＝B可知，必有lg(xy)＝0，即xy＝1，若xy＝y，则x＝1，于是x＝xy，与集合A中元素互异性矛盾，故xy＝｜x｜，即x＝y＝-1 符合题意，此时，A＝B＝｛1，-1，0｝，∴x＝y＝-1
说明：通过对“集合元素有‘四性’”的应用，强化学生对概念的理解，培养学生思维的全面性、深刻性，使之具备应用集合元素性质解决问题的能力。
例2 设I＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，∩＝｛2，8｝，A∪ B＝｛2，3，4，5，6，7，8｝，求A、B、∩
解：用韦恩图表示集合I、A、B的关系，表示集合A、B的两个相交圈将表示全集I的矩形分成互不相交的四个部分，它们分别
表示A∩，A∩B， ∩ 。 例2图
如图，依题意知A∩B＝∪＝｛1｝，又A∩B＝｛2，8｝，∩B＝｛3，7｝，∴A＝｛1，2，8｝，B＝｛1，3，7｝. ∩＝｛4，5，6｝
说明：通过对集合表示方法的训练，培养学生思维的灵活性，使之具备“数形结合”解决此类问题的能力。
例3 设A＝｛x｜x＝a2+1，a∈N｝，B＝｛y｜y＝b2-6b+10，b∈N｝，求证：AB
证：∵A＝｛x｜x＝a2+1，a∈N｝，B＝｛y｜y＝b2-6b+10，b∈N｝＝｛y｜y＝(b-3) 2+1，b∈N｝
又∵a,b∈N，∴b-3∈｛-2，-1，0｝∪N
对于任意一元素x∈A，则x∈B
∴AB
当b-3＝0时y＝(b-3) 2+1＝1∈B，而1A
∴AB
说明：通过对集合与元素，集合与集合关系的训练，培养学生运算能力，使之具备根据条件寻求合理、简捷运算途径的能力。
例4 设A＝｛x｜(x+2)(x+1)(x-1)＞0｝，B＝｛x｜x2+px+q≤0｝，若A∪B＝｛x｜x＞-2｝，A∩B＝｛x｜1＜x≤3｝，求p、q的值。
解：将A化简，得A＝｛x｜-2＜x＜-1，或x＞1｝，由A∪B＝｛x｜x＞-2｝，A∩B＝｛x｜1＜x≤1｝，结合数轴，知B＝｛x｜-1≤x≤3｝，由-1和3是方程x2+px+q＝0的两根，得p＝-2 q＝-3
说明：通过对数集的交、并、补运算的训练，使学生掌握化简集合，利用数轴表示集合并进行运算的方法。
2.映射与函数
(1)映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“多对一”。
(2)从集合A到集合B的映射f：A→B中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。
(3)函数是一种特殊的映射，要求f:A→B中，A、B都是非空数集，其中A为定义域，f(A)是值域。
(4)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。
(5)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
(6)函数的三特征：非空、数集、满射。
(7)例题赏析：
例5 已知(x,y)在映射f下的象为(3x,x-y)，求(1，2)在f下的原象。
解：由题意，知
3x＝1 x＝
解之得
x-y＝2 y＝-5/3
∴(1，2)在f下的原象是(，-5/3)
说明：通过本题加深对“映射”概念的理解，训练学生分析象与原象关系的能力，使之具备把映射与其它知识综合运用的能力。
例6 设f(x)是定义在R+上的函数，且满足f(xy)＝f(x)+f(y) f()＝1，求f(1)和f(4)的值。
解：∵对任意x，y∈R+均有f(xy)＝f(x)+f(y)成立
令x＝1,y＝1，得f(1·1)＝f(1)+f(1)
∴f(1)＝0
又令x＝2，y＝ 得f(2·)＝f(2)+f()
∴0＝f(2)+1 ∴f(2)＝-1
∴f(4)＝f(2·2)＝f(2)+f(2)＝2f(2)＝-2
说明：通过“函数是一种特殊的映射”，训练学生思维的敏捷性和灵活性，使之具备抽象思维能力。
例7 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧棍周长均为1600mm，若第K对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)。
轧辊序号K 1 2 3 4
疵点间距LK(mm) 1600
解：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，故 1600＝L3·(1-0.2)
所以 L3＝1600/0.8＝2000(mm)
同理 L2＝L3/0.8＝2500(mm)
L1＝L2/0.8＝3125(mm)
填表如下：
轧辊序号K 1 2 3 4
疵点间距LK(mm) 3125 2500 2000 1600
说明：通过函数表示方法，训练学生分析问题能力，使之具备用表格法表示函数的能力。
例8 已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2-20x+25，求g(x)的表达式。
解：由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax+b(a＞0)
∵f(g(x))＝4x2-20x+25
∴(ax+b)2＝4x2-20x+25，即
a2x2+2abx+b2＝4x2-20x+25
解得a＝2,b＝-5
故g(x)＝2x-5(x∈R)
说明：通过本题，训练学生利用待定系数法、恒等式性质解题的能力，加深对函数三要素、三特征的理解，使之具备求复合函数解析式、定义域的能力。
3.函数性质
(1)定义域：x的取值集合。
(2)值域：y的取值集合。
(3)增减性：对于给定区间上的函数f(x)、对任意的x1，x2·x1＜x2＝＞ f(x1)＜f(x2),f(x)在区间上是增函数；x1＜x2 ＝＞ f(x1)＞f(x2)，f(x)在区间上是减函数。
(4)奇偶性：对于函数定义域内任意x，有f(-x)＝f(x) ＝＞ f(x)是偶函数；f(-x)＝-f(x)
＝＞ f(x)是奇函数。
(5)周期性：若存在常数T(T≠0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)＝f(x),则f(x)叫周期函数，T叫f(x)的一个周期，合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。
(6)奇偶性与单调性
奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同。
偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。
(7)奇函数、偶函数定义域必关于原点对称。对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0，f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数。
(8)例题赏析：
例9 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(6-x2) (2)y＝lg(ax-2·3x)(a＞0且a≠1)
x+5＞0 x≥-5
解：(1)∵ 6-x2＞0 ∴ -＜x＜
6-x2≠1 x≠±
∴- ＜x＜且x≠±
所求定义域为(-，-)∪(-，)∪(，)
(2)∵ax-2·3x＞0 ∴( )x＞2
当a＞3时，此函数的定义域为(log2，+∞)
当0＜a＜3且a≠1时，函数定义域为(-∞，log2)
当a＝3时，此函数定义域为 Ο/ 。
说明：求函数定义域时，应注意分式的分母非零；偶次方根中被开方数为非负数；对数的真数为正数，底数大于零且不等于1；零指数和负指数幂的底数不为零；对于含参问题时要注意对参数分类讨论；由实际问题建立的函数，其定义域还应受实际问题的具体条件的制约。
本题通过求定义域，训练学生挖掘隐含条件的能力，使之具备在各种条件下求定义域的能力。
例10 求下列各函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝；?
(4)若f(x)的值域是〔，4/9〕，求函数g(x)＝f(x)+的值域。
解：(1)y＝-1+ ∵≠0 ∴y≠-1
故函数y＝的值域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)
(2)由函数关系式，得ex＝，∵ex＞0，即＞0
解得y＞2或y＜-1，故函数的值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)
(3)由函数关系式变形、整理，得2yx2-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0
∵x∈R
∴Δ＝(-4y)2-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5)
(4)设t＝ ∵ ≤f(x)≤ ∴≤1-2f(x)≤ 即t∈［，］，
且f(x)＝ (1-t2)，于是
g(x)＝-t2+t+＝- (t-1)2+1，t∈［，］
当t＝时，gmin(x)＝
当t＝时，gmax(x)＝
∴≤g(x)≤，故函数g(x)的值域为［，］
说明：求值域常用方法有：
(1)用配方法求二次函数的值域；(2)根据反函数求二次函数的值域；(3)对于可化为二次函数型时，利用判别式法求值域，但要注意某些限制条件；(4)利用函数的单调性求函数的值域；(5)通过函数的图像和变量代换求出函数的值域。
本题通过求函数值域，训练学生的逻辑思维及运算能力，加深对反函数、二次函数及函数单调性等数学概念的理解，使之具备思维的多向性、深刻性和批判性等能力。
例11 已知f(x)＝x3,证明f(x)在R上是增函数。
证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)＝x13-x23＝(x1-x2)(x12+x22+x1x2)
＝(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］
∵x1＜x2
∴(x1+x2)2+x22＞0,(否则x1＝x2＝0)
又x1-x2＜0
∴(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］＜0
即 f(x1)-f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)
∴f(x)＝x3在R上是增函数。
说明：通过单调性证明，训练学生运算能力，使之具备将f(x1)-f(x2)化为几个能确定符合的因式的积的能力。
注意：①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。③由于定义是充要性命题，因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。
例12 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(-x); (2)f(x)＝x· ;
(3)f(x)＝+ (4)f(x)＝+
解：(1)此函数的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)＝lg(+x)+lg(-x)＝lg1＝0
∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。
(2)此函数定义域为｛x｜x∈R，且x≠0｝，它关于原点对称。
∵f(-x)＝-x·＝-x＝x·＝f(x)
∴f(x)是偶函数。
(3)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
(4)此函数定义域为｛1，-1｝，且f(x)＝0，可知f(x)图像既关于y轴对称，又关于原点对称，故此函数既是奇函数又是偶函数。
说明：确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系。常用的方法有：(1)利用函数奇偶性定义判断；(2)用求和(差)法判断，即看f(-x)±f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)÷f(x)与±1的关系。
本题通过确定函数奇偶性，训练学生运算能力，使之具备运算“准确、熟练、快捷、合理”的能力。
例13 已知函数f(x)的最小正周期是8，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，判断f(x)的奇偶性。
解：f(-x)＝f［4-(4+x)］＝f［4+(4+x)］＝f(8+x)＝f(x)
故f(x)是偶函数。
说明：通过函数的周期性，对称性推导其奇偶性，训练学生的逻辑思维能力。使之具备正确的思维取向，提高能力层次。
例14 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是减函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数
解：设x1、x2＜0且x1＜x2，则0＜(-x2)＜(-x1)
∵f(x)在(0，+∞)上是减函数
∴f(-x2)＞f(-x1)…… (1)?
又f(x)是奇函数
∴f(-x2)＝-f(x2)，f(-x1)＝-f(x1)代入(1)式得
-f(x2)＞-f(x1) 从而
f(x2)＜f(x1)
由此可知：函数f(x)在(-∞，0)上是减函数。
说明：通过应用奇偶性、单调性，训练学生分析问题能力使之具备转化条件解决问题的能力。
4.二次函数在闭区间上最值问题?
闭区间［α，β］上的函数f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，当-∈［α，β］ 时 ，最值从f(-),f(α),f(β)中比较得出。当-［α，β］时，最值从f(α),f(β)中比较得出。
例15 求函数y＝3x2-12x+5当自变量x在下列范围内取值时的最值。
(1)0≤x≤3 (2)-1≤x≤1
解：对称轴x＝2
(1)∵2∈［0，3］ ∴ 当x＝2时，ymin＝-7
当x＝0时，ymax＝5
(2)∵2［-1，1］ ∴ 当x＝1时，ymin＝-4
当x＝-1时，ymax＝20
例16 设函数f(x)＝x2-2x-1在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)，求g(t) 的解析式。
解：f(x)＝(x-1)2-2，对称轴x＝1
①当x＝1∈［t,t+1］时，g(t)＝-2 此时0≤t≤1
②当x＝1＜t时，g(t)＝f(t)＝t2-2t-1 此时t＞1
③当x＝1＞t+1时，g(t)＝f(t+1)＝t2-2 此时t＜0
t2-2 (t＜0＝
∴g(t)＝ -2 (0≤t≤1)
t2-2t-1 (t＞1)
例17 设函数f(x)＝x2-tx-1，在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)，求g( t)的解析式。
解：f(x)＝(x-)2-1-，对称轴x＝
①当x＝ ∈［t,t+1］，即-2≤t≤0时，g(t)＝-1-
②当x＝ ＜t即t＞0时，g(t)＝f(t)＝-1
③当x＝ ＞t+1即t＜-2时 g(t)＝f(t+1)＝t
t，(t＜-2＝
∴g(t)＝ -1- ，(-2≤t≤0)
-1，(t＞0)
说明：这一组例题，通过对称轴、区间的由静到动的变化训练学生的逻辑思维能力，使之具 备思维合理迁移能力。
5.反函数
(1)式子y＝f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y＝f(x) 中解出x，得到式子x＝(x)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x＝ (y)，x在A中 都 有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝ (y)就表示x是自变量y的函数。这样的函数x＝ ( y)，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f-1(y)，即 x＝(y)＝f-1(y) 习惯上，一般用x表示自变量，y表示函数，为此对调式子x＝f-1(y)中的字母x、y， 把它改写成y＝f-1(x)
(2)原函数与反函数的图像关于y＝x对称。
(3)原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同。
(4)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。
(5)单调函数必有反函数。
(6)f-1(f(x))＝x,x∈A，f［f-1(x)］＝x,x∈C。
6.幂函数：y＝xa，定义域是使xa有意义的实数，图像过(1，1)点，n＞0时，在第一象限内是增函数；n＜0时，在第一象限内是减函数。
例18 已知幂函数f(x)＝x3+2m-m2 (m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞) 上是增函数，求f(x)的解析式。
解：∵f(x)＝x4-(m-1)2 在(0，+∞)上是增函数
∴4-(m-1)2＞0 解之得：-1＜m＜3
又∵m∈Z ∴m＝0，1，2，代入得：
f(x)＝x3,f(x)＝x4,f(x)＝x3
又f(x)为偶函数
∴f(x)＝x4
说明：通过求幂函数的解析式，训练学生自觉运用幂函数的性质使之具备解决待定系数法确定幂函数解析式的能力。
例19 如图是幂函数y＝xn在第一象限内的图像，已知n取±2，±四值。 则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为( )?
A.-2，-，，2 B.2，，-，-2?
C.- ，-2，2， D.2，，-2，-
分析：观察x＞1时图像，可知C1、C2、C3、C4对应的n依次从大到小，故选(B)
说明：通过确定幂函数解析式，训练学生的观察能力，使之具备从特殊到一般的辨证思维能 力。
7.指数函数与对数函数
(1)对数：在指数式ab＝N中(a＞0且a≠1)，则称b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN, 以10为底的对数称为常用对数，记作lgN，以e为底的对数称为自然对数，记作lnN。
(2)指数运算法则(略)，对数运算法则(略)。
(3)若lgx＝a+b，其中a∈Z，b∈［0,1),则称a为x的常用对数的首数，b为x的常用对数的尾数，当x＝a×10n，1≤a＜10时，则lgx的首数为n。
(4)对数恒等式 alogaN＝N(a＞0，且a≠1)
对数换底公式 logaN＝logbN/logba(a、b＞0且≠1)
(5)对数函数与指数函数性质
指数函数 对数函数
解析式 y＝ax(a＞0，a≠0) logax(a＞0，a≠1)
定义域 x∈R x∈R+
值 域 y∈R+ y∈R
图像
性质 单调性 a＞1，R递增 0＜a＜1时，R递减 a＞1时，R+递增 0＜a＜1时，R+ 递减
特征点 (0，1) (1，0)
值的分布 x＜0 x＝0 x＞0 0＜x＜1 x＝1 x＞1
a＞1 0＜y＜1 y＝1 y＞1 a＞1 y＜0 y＝0 y＞0
0＜a＜1 y＞1 y＝1 0＜y＜1 0＜a＜1 y＞0 y＝0 y＜0
(6)例题赏析?
例20 求函数y＝的定义域
解：要使函数有意义，必须且只需?
x2-4≥0 x≤-2或x≥2
x2+2x-3＞0 即 x＜-3或x＞1
lg(x2+2x-3)≠0 x≠-1±
∴x＜-3或x≥2，且x≠-1-
故函数定义域为｛x｜x＜-3或x≥2，且x≠-1-}
例21 设a＞0，a≠1，又b＝(a)-a-)求loga2(b+)n
解：∵b＝ (a-a- ) ∴＝(a +a-)
∴loga2(b+)n＝loga2(a)n ＝loga2a＝
说明：通过本题，训练学生运算能力，使之具备正确应用对数、指数性质的能力。
例22 已知函数f(x)＝
(1)判断它的奇偶性。
(2)求证它是单调递增函数。
(3)求它的反函数。
解：(1)：∵10x+10-x≠0 ∴定义域为R
f(-x)＝＝-f(x) ∴f(x)为奇函数。
(2)：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f(x2)-f(x1)＝-
＝
当x2＞x1时，10x2-x1＞1 10x1-x2＜1
∴10x2-x1-10x1-x2＞0
又(10x2+10-x2)·(10x1+10-x1)＞0
∴f(x2)＞f(x1)
∴f(x)为增函数。(变形f(x)＝更容易些)
(3)y＝去分母得 y·102x+y＝102x-1
(1-y)102x＝1+y
当y＝1时，x无解
当y≠1时，102x＝
显然当(1+y)/(1-y)＞0时，即-1＜y＜1时，x有解。
当(1+y)/(1-y)≤0时，x无解
∴当-1＜y＜1时，2x＝lg
即x＝lg［(1+y)/(1-y)］ (-1＜y＜1＝
∴反函数为：y＝lg (-1＜x＜1)
说明：此题f(x)的形式变化可使解题难易程度变化。本题以f(x)为载体全面地训练学生对函 数的性质的理解和运用，使之具备较强的运算能力。
例23 已知函数f(x)＝lg(x+)-lg
证明：(1)f(x)的图像关于原点对称。
(2)f(x)为单调函数。
证明：(1)∵x∈R
f(-x) ＝lg(-x+)-lg
＝lg-lg
＝-［lg(x+)-lg
＝-f(x)
∴f(x)是奇函数，故f(x)图像关于原点对称。
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2
＞-x1
∵ 1>
＞-x2
∴x2-x1＞＝-
∴x2+＞x1+
∴f(x2)＞f(x1)
∴f(x)为单调递增函数。
说明：本题通过奇偶性、单调性证明，训练学生的运算能力，使之加深对函数性质理解，具 备举一反三的能力。
8.指数方程与对数方程
(1)指数方程是一种超越方程，指数方程的解法大致分类有四种：(A)af(x)＝ag( x)，其中a＞0且a≠1，利用指数函数的单调性化为代数方程：f(x)＝g(x) (B)形如a2x+b·ax+c＝0的指数方程，用换元法化为一元二次方程来解。 (C)用对数知识。如af(x)＝bg(x)(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)两边取对数，从而求解x (D)用图像 法求近似解。
(2)对数方程也是超越方程，对数方程的主要类型有：(A)基本型：logax＝b (B)同底数 型：logaf(x)＝logbg(x) (C)：形如：log2ax+blogax+c＝0的代换型，各类型方程解法相对固定，均能化为代数方程解之，但要注意验根。上述类型以外的对数方程可用图像法求近似解。
(3)解对数方程时，需注意以下几点：
(A)利用公式logaM+logaN=logaMN作恒等变形可能产生增根。例如，解方程lg(2x-1)+ lg(3x-7)=0时。
(B)利用公式logaMk=klogaM作恒等变形可能失根，例如：解方程lg(x-1)2+lg(x-1)4+lg(x-1)6=12时。
(1)两边消去对数符号可能产生增根，例如解方程logaf(x)=logag(x)时?
(4)例题赏析
例24 解下列方程
(1)37x-1·125x＝210x (2)7·3x+1-5x+2＝3x+4-5x+3
解：(1)37x-1·35x·210x＝210x，得312x-1＝1
∴12x-1＝0，x＝是原方程的解
(2)7·3x+1-5x+2＝27·3x+1-5·5x+2
20·3x+1＝4·5x+23x+1＝5x+1
()x+1＝1 ∴x+1＝0，即x＝-1是原方程的根。
例25 解下列方程
(1)2·72x-3-3·7x-2-5＝0 (2)x3lgx＝100x5
解：(1)令7x＝t，则2t2-21t-5×73＝0
t1＝35,t2＝-(舍)
由7x＝35得x＝1+log75是原方程的解
(2)两边取以10为底的对数，方程化为3lg2x-5lgx-2＝0，从而lgx＝2，-.解得 x＝100或x＝10-，检验知x＝100，x＝10-是原方程的解。
说明：通过例1、例2，训练学生解指、对数方程的基本能力和基础方法，使之具备解较简单指对数方程的能力。
例26 解方程：log0.5xx2-14log16xx3+40log4x＝0
解：x＞0，当x≠1时，利用换底公式将原方程化为：
- +＝0
-+＝0
logx22+3logx2-2＝0
∴logx2＝或logx2＝-2
∴x＝4或x＝/2
经检验4，/2都是原方程的根。
由于换底时，可能失根1，经检验x＝1是原方程的根。
∴x＝4，x＝1，x＝/2都是原方程的根。
说明：通过本题，训练学生寻找失根的能力，使之具备解复杂方程的能力。
9.指数不等式与对数不等式
指数不等式与对数不等式都是超越不等式，其解法与它们的方程解法有点类似(比如换元法) 。解这样的不等式需要用到指数函数与对数函数的性质，特别是单调性。对其底数是否大于 1或小于1及定义域要特别重视。
例27 解下列不等式
(1)9log3x-7log49x2-12＞0
(2)log0.3x2-x-2＜log0.3(2x2-7x+3)
(3)loga()-x2+loga()2x＜loga
(4)log4(3x-1)log≤
解：(1)9log3x-7log49x2-12＞032log3x-7log7x-12＞0
x2-x-12＞0x＞4或x＜-3(舍)
∴原不等式的解为｛x｜x＞4｝
(2)原不等式化为：
x2-x-2＞0
2x2-7x+3＞0 解之得：3＜x＜5
2x2-7x+3＜x2-x-2
∴原不等式的解集为｛x｜3＜x＜5＝
(3)原不等式化为 x2loga()+4xloga()＞5loga()
当a＞1时，loga()＜0，则x2+4x-5＞0解得x＜-5或x＞1
当0＜a＜1时，loga()＜0，则x2+4x-5＜0解得-5＜x＜1
∴当a＞1时，原不等式解集为｛x｜x＜-5或x＞1＝
当0＜a＜1时，原不等式解集为｛x｜-5＜x＜1｝
(4)利用对数的性质将原不等式化为
［log4(3x-1)］2-2log4(3x-1)+ ＝0
令t＝log4(3x-1)得 4t2-8t+3≥0
解得：t≤或t≥
当t≤时，0＜3x-1≤2，即1＜3x≤3 ∴0＜x≤1
当t≥时，3x-1≥4，即3x≥8+1 ∴x≥2
∴原不等式的解集为｛x｜0＜x≤1或x≥2｝
说明：通过解指数不等式与对数不等式，训练学习应用函数性质能力，使之具备解指数不 等式与对数不等式的能力。
10.综合问题
(1)函数y＝f［(x)］可看成是函数y＝f(u)与u＝(x)复合而来的。或称y＝f［(x)］是y＝f(u)与u＝(x)的复合函数。在此时u＝(x)的值域应为y＝f(u)的定义域的子集。例如 ：y＝102x-1可以看作是函数y＝10x与u＝2x-1复合而成的。
(2)y＝f［(x)］的定义域是指使得u＝(x)有意义且同时使y＝f(u)有意义的x的取值范围 。记此定义域为D，当x∈D时，u的值域为D′，当u在D′内变化时，此时y的取值集合称为 y＝f［(x)］的值域。
(3)在复合函数y＝f［(x)］中，若u＝(x)在区间(a,b)上是单调函数，复合函数y＝f(u) 在区间((a)，(b))或((b)，(a))上是单调函数，那么复合函数y＝f［(x)］在区间(a,b)上也一定是单调函数，它的增减性如下：当u＝(x)与y＝f(u)的增减性相同时，y＝f［(x)］是增函数，否则为减函数。
(4)通过对函数图像的平移、对称等变换，可使函数形式变得更为简洁。
(A)y＝f(x+a)的图像：是将y＝f(x)图像左移a个单位。
(B)y＝f(x)+b的图像：是将y＝f(x)图像上移b个单位。
(C)y＝-f(x)的图像：是将y＝f(x)图像关于x轴对称而得到。
(D)y＝f(-x)的图像：是将y＝f(x)图像关于y轴对称而得到。
(E)y＝｜f(x)｜图像：是将f(x)＜0的部分曲线关于x轴对称、同时将f(x)≥0的部分曲线保 持不变。
(F)y＝f(｜x｜)的图像：是将x≥0处的图像y＝f(x)保持不变，x≤0处的图像 由y＝f(x)(x≥0)关于y轴对称而得到。
(5)如果f(m+x)＝f(m-x)成立，则y＝f(x)图像关于x＝m对称，若f(x)＝f(2m-x)，则y＝f(x) 图像关于x＝m对称。
(6)函数y＝f(x-m)与y＝f(m-x)的图像关于x＝m对称。函数y＝f(x)与y＝f(2m-x)的图像关于x＝m对称。
(7)函数的最值问题与含参问题是两类重要题型，其覆盖面广、综合性强，对提高能力很有帮助。
(8)例题赏析：
例28 求函数y＝log0.2(2x2-x-3)的定义域与值域并讨论其单调性 。
解：设2x2-x-3＝u，则函数可以看成是y＝log0.2u与u＝2x2-x-3的复合函数。
∵2x2-x-3＞0 ∴x＜-1或x＞3/2
∴函数定义域为｛x｜x＜-1或x＞＝
当x＜-1或x＞时，u＝2x2-x-3∈（0，+∞）
∴y∈R，即值域为R
当x＜-1时u(x)↘ y＝log0.2u↘ ∴y＝log0.2u(x)↗
当x＞时u(x)↗ y＝log0.2u↘ ∴y＝log0.2u(x)↘
∴y＝log0.2(2x2-x-3)的递增区间是(-∞，-1)，递减区间是(，+∞)
说明：讨论复合函数的单调性，值域等均不能离开定义域，通过本题训练，使学生具备深刻认识复合函数的能力。
例29 设a＞0，a≠1，f(x)＝loga(x+)
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数的反函数f-1(x)；
(3)若方程f(x)＝loga(2x+ak)有实数解，求k的取值范围。
解 ∵x+＞x+｜x｜≥0 ∴f(x)定义域为R。
设u＝x+，则u∈(0，+∞)，f(x)值域为R。
(1)f(-x)＝loga(-x+)
＝loga(x+)-1
＝-f(x)
∴f(x)是奇函数。
(2)设y＝loga(x+)，则
ay＝x+,a-y＝-x
∴ay-a-y＝2x x＝(ay-a-y)
∴反函数f-1(x)＝(ax-a-x) (x∈R)
(3)由对数性质知loga(x+)＝loga(2x+ak)
2x+ak＞0 x＞- ①
∴ ∴
x+＝2x+ak 2ak·x＝1-a2k2 ②
当k＝0时，②无解，从而原方程无解。
当k≠0时，又a＞0，由②得x＝代入①得，
＞-
∴＞0
∴＞0 ∴k＞0
∴当k＞0时，原方程有实数解。
说明：通过讨论复合函数的性质和方程的解，训练学生解题技能和运算能力，使之具备一定 综合分析能力。
例30 方程1+＝2logx2有解 。求a的取值范围。
解：由题意知x＞0且x≠1且x＜2lga
整理化简原方程得：x2-2lgax+4＝0
∵Δ≥0，∴4lg2a-16≥0 ∴lga≤-2或lga≥2
∴0＜a≤ 或a≥100
又x1·x2＝4＞0，x＞0
∴x1+x2＝2lga＞0
∴a＞1
故a≥100，此时 x1，2＝lga±
显然 lga-＞0 lga+＜2lga，即0＜x＜2 lga成立。若lga-＝1则lga＝，a＝105/ 2，此 时lga+＝4是原方程的根。这就是说a≥100时，方程必有解x合条件 ：0＜x＜2lga，且x≠1。
∴方程有解时，a的取值范围是a≥100
说明：通过含参一元二次方程的讨论，训练学生对判别式及求根公式和韦达定理的综合运用 能力，使之具备正确审题，全面分析的能力。
例31 设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递 增，f(1)＝0，解不等式：f［x(x-)］＜0
解：∵奇函数f(x)在(0，+∞)上递增
∴f(x)在(-∞，0)上单调递增
又f(-1)＝-f(1) ∴f(-1)＝f(1)＝0
∴当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0
当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0
∴又x(x-)=(x-)2-≥-＞-1欲使f〔x(x-)〕＜0成立，则必有
x·(x-)∈(0,1),即
0＜x(x-)＜1,解之得：
＜x＜0或＜x＜
说明：通过解抽象函数不等式，训练学生的逻辑思维能力使之具备分析抽象函数性质的能力 。
例32 对于k∈N，用Ik表示区间(2k-1，2k+1］。已知x∈Ik时，f(x)＝ (x-2k)2，求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值｝
解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k个单位所得，其中k∈N
设y1＝f(x),y2＝ax，同集合Mk可知，若a∈M，则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有 两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2≤1
∴0＜a≤
∴Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N＝，即Mk＝(0，］
说明：通过化简集合，训练学生图像变换，数形结合能力，使之具备用图像法分析方程根的能力。
例33 设函数y＝f(x)定义在R上，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意m，n∈R， 有f(m+n)＝f(m)f(n)，当m≠n时，有f(m)≠f(n)
(1) 证明：f(0)＝1 (2)证明：f(x)为增函数
证明：(1)令m＝0，则对任意n∈R，有
f(n)＝f(n+0)＝f(0)f(n)
∴f(0)＝1
(2)设x＜0则-x＞0且x+(-x)＝0
由(1)知 f［x+(-x)］＝1
又 f［x+(-x)］＝f(x)·f(-x),f(-x)＞1
∴f(x)＝∈(0，1)
故当x＜0时 f(x)∈(0，1) 当x＝0时 f(x)＝1，当x＞0时f(x)＞1
即对任意x∈R，f(x)＞0成立。
设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，x2＝x1+(x2-x1)，f(x2-x1)＞1
f(x1)-f(x2)＝f(x1)-f［x1+(x2-x1)］＝f(x1)［1-f(x2-x1)］＜0
∴f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函数。
说明：通过证明f(x)的单调性，训练学生讨论抽象函数f(x)性质的能力，使之具备一定的逻辑思维能力。
四、能力训练
(一)选择题#
1.已知全集I=｛x│x=，m∈N｝，A=｛x│x=，n∈N｝，B=｛x│x=()n，n∈N｝，那么( )?
A.A∩B= B.∩B=
C.A∩=? D.∩=
2.函数y=-的值域为( )?
A.(-∞，) B.(0，)
C.［，+∞］ D.［0，+∞］
3.设f(x)是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是( )
A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数
B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数
C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数
D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数
4.函数f(x)=log(6-x-x2)的单调递增区间是( )
A.［-，+∞］ B.［-，2］
C.(-∞，-) D.(-3，-)
5.函数y=log(x++1)(x＞1 )的最大值是( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
6.若把函数y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，则函数y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为( )
A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2
7.已知函数f(x)存在反函数，且f(x+1)的图像过点(0，2)，那么下列函数中，可能是f(x) 的反函数的是( )
A.y=1+ (0≤x≤2)
B.y=1-(-2≤x≤2)
C.y=2-(0≤x≤2)
D.y=(0≤x≤2)
8.设＜()b＜()a ＜1，那么( )
A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab
C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，若当x∈(0，3)时，f(x)=2x，则当x∈(- 6，-3)时，f(x)的解析式是( )
A.2x+6 B.-2x+6 C.2x-6 D.-2x-6
10.已知loga(3a-1)恒为正数，那么实数a的取值范围是( )
A.a＜ B. ＜a≤
C.a＞1 D. ＜a＜或a＞1
(二)填空题
11.函数y=的定义域为______________.
12.若函数f(x)=，则f-1() 的值为______________.
13.已知定义在闭区间［0，3］上的函数f(x)=kx2-2kx的最大值为3，那么实数k的值是_______________.
14.方程log2(9-2x)=3-x的解集是__________________.
15.若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值是_______________.
(三)解答题
16.求函数f(x)=(a＞0，a≠1)的定义域.
17.已知函数f(x)=(a≠0)的图像过点(-4，4)，且关于直线y=-x 或轴对称图形，试确定f(x)的解析式.
18.已知函数f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间［0，2］上有最小值3，求实数a的取值集合.
19.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区△AEF的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积. 其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.#
20.设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，又当-1≤x≤1时，f(x)=x3.
(Ⅰ)证明直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴；
(Ⅱ)求当x∈［1，5］时，f(x)的解析式.
能力训练参考答案
(一)1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.D
提示：
1.注意BA，并运用图.
2.给出函数的定义域为［1，+∞)，又y=， 故函数在［1，+∞)上是减函数，且y＞0.
3.用特例法作排除.令f(x)＝x，虽然符合条件，则F(x)＝x-(-x)=2x.排除C 、D、B，决定选A.
4.函数f(x)的定义域为(-3，2).且f(x)由u=-x2-x+6与y=logu复合而成.
5.当x＞1时，x++1＝(x-1)+ +2≥
2+2＝2+2＝4.当且仅当x-1=，即(x-1)2＝1，即x=2时，上式中等号成立，并注意y=logu在(0，＋∞)上是减函数.
6.由平移变换使点P(1，0)变为Q(2，2)，故此平移变换为向右平移1个单位，再向上平移2 个单位.
7.f(x)的图像向左平移1个单位可得到f(x+1)的图像，故f(x+1)的图像向右平移1个单位得f (x)的图像.于是f(x+1)的图像过点(0，2)，则f(x)的图像过点(1，2)，从而f-1(x)的图像过点(2，1).依此验证可排除C、D，但B给出的函数无反函数.
8.依＜()b＜()a ＜1有0＜a＜b＜1.用特殊值排除法，取a=,b=.
9.由f(3+x)=f(3-x),f(x)的图像关于直线x=3对称，又x∈(0，3)时，f(x)＝2x，故当x∈(3，6)时，f(x)＝26-x.再由f(x)是奇函数，则有当x∈(-6，-3)时，f(x)＝-26- (-x)＝-26+x.
a＞1， 0＜a＜1，
10.由 或 解得.
3a-1＞1 0＜3a＜1
(二)11.［1，3］ 12.-2 13.1或-3. 14.｛0，3｝ 15.
提示：
11.4-2x2-4x+5≥02x2-4x+5≤4x2-4x+5≤2x2-4x+3≤01≤x≤3.
12.令=，解得2x=得x=-2.故f-1()=-2.
13.f(x)=k(x2-2x)，分k=0,k＞0，k＜0讨论.
14.由原方程，得9-2x＝23-x，经变形得(2x)2-9·2x+8＝0，可解得2x=1 或2x＝8，于是x=0或x=3，并作检验而得.
15.以x+2y=1代入，得2x+3y2=3y2-4y+2=3(y-)2+.又由x≥0，y≥0，x+2y=1，有1-2y≥0，于是可得0≤y≤，将代入即得.
logax2-1≥0， logax2≥1，
(三)16.由 得 于是有
｜x｜-x≠0 ｜x｜≠x.
x≠0
当a＞1时有 x2≥a解得x≤-
x＜0
x≠0
当0＜a＜1时有 x2≤a，解得-≤x＜0.
x＜0
因此f(x)的定义域，当a＞1时为(-∞，-)；当０＜a＜1时为［-，0］.
17.由于(1，)是f(x)的图像上一点，又f(x)的图像关于直线y=-x 对称，故点(-，-1)也是f(x)图像上一点，故有
可解得
因此得f(x)＝
18.f(x)=4(x-)2-2a+2 (0≤x≤2).
当，即a≥4时，f(x)在［0，2］上是减函数，故f(x)的最小值＝f(2) =3，即可得a=4+.?
当0＜＜2，即o＜a＜4时，f(x)的最小值＝f()＝3， 解得a=- (舍去).?
当 ≤0即a≤０时，f(x)在［0，2］上是增函数，故f(x)的最小值＝f(0)＝3 ，解得a=1-.?
因此a的取值集合为｛5+ ,1-｝.
19.如图所示，设PH＝x，由△FKP∽△FAE，则＝，故FK＝(200-x)，PG＝DF＝1 20+(200-x).?
设公园占地面积为y，则?
y=x〔１２０+(200-x)〕＝-x2+x＝-(x-190)2+×1902 并且140≤x≤200.
因此当x=190时，y最大值为.
20.(Ⅰ)由f(x+2)=-f(x)，又f(x)是奇函数，故
f(x+2)＝f(-x).于是
f(1-x)=f［-(x-1)］＝f［(x-1)+2］＝f(x+1)＝
f(1+x)，故f(x)的图像关于直线x=1对称.?
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)的图像关于直线x=1对称，故当1≤x≤3时，f(x)=(2-x)3.?
又当3＜x≤5时-1＜x-4≤1，故此时，
f(x)=(x-4)3.于是有
f(x)=第8章 多面体和旋转体
一、考纲要求
1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公 式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.
3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的 直观图.
4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直 截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的 全部顶点的其他截面的有关问题.
二、知识结构
1.几种常凸多面体间的关系
2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质
名称 棱柱 直棱柱 正棱柱
图 形
定 义 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱
侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等
侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形
对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形
平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
图形
定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台
侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点
侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形
对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形
平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形
其他性质 高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
3.几种特殊四棱柱的特殊性质
名称 特殊性质
平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分
直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分
长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
4.面积和体积公式
下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长 .
名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V)
棱柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h
直棱柱 ch S底·h
棱锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h
正棱锥 ch′
棱台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+)
正棱台 (c+c′)h′
5.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积 S全=a2；
(2)体积 V=a3；
(3)对棱中点连线段的长 d=a；
(4)相邻两面所成的二面角 α=arccos
(5)外接球半径 R=a；
(6)内切球半径 r=a.
(7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).
直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则
①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=abc；
④底面△ABC=；
⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；
⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC
⑦=++;
⑧外切球半径 R=；
⑨内切球半径 r=
6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式
(1)面积和体积公式
圆柱 圆锥 圆台 球
S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l
S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2
V πr2h(即πr2l) πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径.
(2)圆锥、圆台某些数量关系
②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则
sinα=cos = ，
α+=90°
cosα=sin = .
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则
h=lsinα
r-r′=lcosα.
③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：
r=.
(3)球冠、球带和球缺
①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.?
球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面.
球冠的面积公式 若球的半径为R，球冠的高为h，则
S球冠=2πRh
其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半径.
②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.
球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面.
球带的面积公式 若球的半径为R，球带的高为h，则
S球带=2πRh
③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.
球缺的体积公式 若球的半径为R，球缺的高h，底面半径为r，则
V球缺=πh2(3R-h)= πh(3r2+h2)
三、知识点、能力点提示
(一)多面体
例1 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _____.
解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF=S,
V1=h(S+S+)=Sh
V2=Sh-V1=Sh，
∴V1∶V2=7∶5.
例2 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
2(xy+yz+zx)=20 ①
依题意得：
4(x+y+Z)=24 ②
由②2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 ③
由③-①得 x2+y2+z2=16
即l2=16 ∵l=4(cm).
例3 如图，正三棱锥S—ABC的侧棱和底面 边长相等，如果E、F分别为AB、SC的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.90° B.60° C .450° D.30°
解：取AC的中点G，连结FG，EG
∵FG∥SA
∴∠GFE为异面直线EF与SA所成的角.
正三棱锥的棱长为1，则GF=GE=.
∵顶点到A、B、C等距，△ABC等边
∴顶点在底面ABC的射影O是△ABC的中心，从而SA在底面上的射影⊥BCSA⊥BC，即“正三 棱锥中两相对棱垂直”.
∴∠FGE=90°.
∴tg∠EFG==1,∠EFG=45°.
应选C.
例4 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体 积为( )
A.6 B.2 C. D.2
解：由已知可得正六棱锥的底面积S=6×
设正六棱锥的高为h，则h==2.
∴V=××2=.
应选C.
例5 如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的( )
A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心
解：作OE⊥AB，OF⊥BC，OM⊥CA
∵∠SEO=∠SFO=∠SMO,
∴△SEO≌△SFO≌△SMO.
∴OE=OF=OM.
∴O为△ABC的内心，应选D.
例6 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解：如图，设P为AA1的中点，Q为A1M的中点，则DP∥CN，PQ∥AM，
∴∠DPQ是异面直线AM和CN的成角.
在△DPQ中，
DP= ==，
PQ=AM=×=，
DQ==
=.
由余弦定理得cos∠DPQ＝
=
=-.
又异面直线所成的角的范围是（0，90°）.
∴直线AM和CN所成角的余弦值是.
应选D.
例7 已知三棱锥A—BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC 和面 DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=_______.
解：如图，作AO⊥面BCD于O，作OE⊥BC于E，连结AE.
由V=AO·S2，
得AO=
又S1=AE·BC，得AE=
由三垂线定理知，AE⊥BC，
∴∠AEO是二面角A—BC—D的平面角.
即∠AEO=α，
∴sinα=sin∠AEO==.
例8 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥 一定不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
解：该棱锥一定不是正六棱锥.
否则设正棱锥S—ABCDEF符合题设，则在△SAB和△OAB中(O为顶点S在底面的射影)，
∵SA=SB=AB=OA=OB,
∴△SAB≌△OAB
但△OAB是△SAB在底面的射影，不可能.
∴应选D.
例9 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA= 90°，点D1 、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余 弦值是( )
A. B. C. D..
解：设BC=CA=CC1=1.
取BC中点E，连结EF、D1F，则EF∥BD1∠EFA为BD1和AF所成的角.
易知FE=D1B= ==.
由∠BCA=90°，得AE=＝=.
AF= ==
由余弦定理有
cos∠EFA= =
=
即BD1和AF1成角的余弦值是.
应选A.
例10 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A.必然都是非直角三角形
B.至多只能有一个是直角三角形
C.至多只能有二个直角三角形
D.可能都是直角三角形
解：如图，三棱锥P—ABC中，∠ABC=90°，PA⊥面ABC.
则PA⊥AC，PA⊥AB，
△PAC和△PAB都是直角三角形.
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴PC⊥CB，即∠PCB=90°，
∴△PCB也是直角三角形.
应选D.
例11 侧棱长为3cm，底面边长为4cm的正四棱锥的体积为_______cm3.
解：由已知有底面对角线长为4cm.
h==1(cm)
V=·h·S=×１×４２= (cm)3
例12 已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′=5，AB=12，那么直 线B′C′和平面A′BCD′的距离是_________.
解：如 图
∵B′C′∥BC，B′C′面A′C，BC面AC，
∴B′C′∥面A′C.
∴点B到平面A′BCD′的距离即直线B′C′到平面A′BCD′的距离.
作B′H⊥A′B于H，又CB⊥面A′ABB′，B′H面A′ABB′，B′H?面A′B，所 以B′H⊥CB，从而B′H⊥平面A′BCD′.
∵B′H·A′B=B′A′·B′B，
∴B′H===
即直线B′C′到平面A′BCD′的距离是.
(二)旋转体
例13 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R， 中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )
A.10 B.15 C.20 D.25
解D.
例14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面积是( )
A.20π B.25π C.50π D.200 π
解：设长方体的对角线长为l，球半径为R，由已知及对称性知l=2R,
l==5，得R=.
∴S球=4πR2=50π
应选C.
例15 若母线长为4的圆锥的轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为_____(结果中保留).
解：设轴截面为△SAB，则SA=SB=4,S△SAB=8=SA·SB·sin∠SBA，得sin∠ASB=1，
∴∠ASB=90°，AB=SA=4,
∴S侧=πrl=π()·SA=π·2·4=8π.
例16 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体 积是16πcm3，那么它的底半径等于( )
A.4cm B.4cm C.2·cm D.2cm
解：16π=πr2·(2r)=2πr3，得r=2(cm)
应选D.
例17 圆柱轴截面的周长1为定值，那么圆柱体积的最 大值是( )
A.()3π B.()3π C.()3π D. ()3π
解：设r为底半径，l为母线.
由4r+2l=1，得l=
V=πr2l=π(2r)(2r)(2l)≤π()3
=π·()3=π·()3=()3 π.
等号仅当2r=2l即r=l=时成立.
应选A.
例18 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥 顶点到 直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________.
解：如图
O为底面圆心，OC⊥AB于C.
由OA=OB得C为AB中点，
由SA=SB，C为AB中点得SC⊥AB于C.
∴OC=1,SC=,AC=CB=1,
SO===，
OB= = .
∴V=π·OB2·SO= π()2=π.
例19 在一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边 长为10厘米的等边三角 形，现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.1元，则需要费 用_____元(π取3.2).
解：设圆锥的底半径为r,由已知有r=5cm,母线长为10cm.
S全=π·52+π·5·10=75π240(cm2)
∴工料价为240×0.1=24元.
例20 圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240°，该 圆锥的体积是( )
A.π B.π C. π D. π
解：设圆锥底半径为r，由已知有
240°=π=，得r= .
∴h=＝=.
∴V=πr2h=π()2·=π
应选C.
(三)综合题赏析
例21 如图，平面α和β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上， 点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN =45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1.
求：(1)点A到平面β的距离；
(2)二面角A—BC—M的大小.
解：(1)作AH⊥平面β于H，HD⊥MN于D，连结AD，则AD⊥MN于D，故∠ADH是二面角A—MN—B 的平面角，所以∠ADH=60°.
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∴AD=AC=·1=.
在Rt△ADH中，AH=AD·sin∠ADH=·sin60°
即点A到平面β的距离是，
(2)设二面角A—BC—M为θ度，
在等腰Rt△ADC中，由斜边AC=1，得DC=AD=
在Rt△ADH中，DH= =
在Rt△DHC中，HC= =
作HE⊥直线BC于E，则∠AEH是二面角A—BC—M的平面角.
∵∠HCB =180°-(∠HCD+∠BCN)
=180°-∠HCD-45°，
∴sin∠HCE=sin(45°+∠HCD)
=(sin∠HCD+cos∠HCD)
==
∴HE=HC·sin∠HCE=
∴tg∠AEH==.
即θ=arctg为所求.
例22 如图，ABCD是边长为4的 正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直平面ABCD，GC=2.
求点B到平面EFG的距离.
解：连GB、GE、GF、FE、FB，设点B到面EFG的距离为d.
∵VB—EFG=dS△GFE.
VB—EFG=VG-BEF=×GCS△BEF=Ｓ△BEF
∴d==
S△BEF=Ｓ△ABF=(AF·AB)=2,
在△EFG中，GF=GE==2,EF=2,故它的周长之 半P=(EF+FG+GE)=2+2
∴S△EFG= P(P-EF)(P-EF)(P-GE)=2
∴d==.
即点B到平面EFG的距离是2
例23 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1,AA1=,M是CC１的中点.
求证：AB1⊥A1M
证明：由题设知B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C
∴B1C1⊥侧面A1ACC1.
连C1A，则C1A是B1A在面A1ACC1上的射影.
设AC?1与A?1M交于点D.?
在Rt△A1B1C1中，B1C1=1,∠B1A1C1=∠BAC=30°，得A1 C1= .
∴＝=
在Rt△A1C1M中，==
∴＝，又∠AA1C1=∠A1C1M=90°，
∴△AA1C1∽△A1C1M,得∠3=∠4
由 AA1∥CC1，得∠1=∠2，
∴∠C1DM=∠C1A1A＝90°，
∴AC1⊥A1M.
由三垂线定理，得AB1⊥A1M.
例24 如图，圆锥的轴截面为 等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点.
(1)若QB 的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ=60°，QB=2，求此圆锥的体积；
(3)如果二面角A—SB—Q的大小为arctg，求∠ AOQ的大小.
解：(1)连OC.
∵SQ=SB，OQ=OB,QC=CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，得OB⊥面SOC.
∵OH面SOC，得QB⊥OH，
又OH⊥SC，
∴OH⊥面SQB.
(2)连AQ.
∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB
在Rt△AQB中，∠QBA=30°，QB=2
∴AB==4
∵△SAB是等腰直角三角形.
∴SO=AB=2，
∴V圆锥=π·OA2·SO=π
(3)过Q作QM⊥AB于M.
由于面SAB⊥面ABQ，得QM⊥面SAB.
作MP⊥SB于P，连PQ，则由三垂线定理知QP⊥SB.
∴∠MPQ是二面角A—SB—Q的平面角.
∠MPQ=arctg为已知，
设圆锥底半径为r,∠AOQ=α，
在Rt△MPB中，∠PBM=45°，MB=r(1+cosα)，
∴MP=r(1+cosα)
∵tg∠MPQ=，
∴=,即=.
即tg=，故∠AOQ=60°
例25 如图，A1B1C1— ABC是正三棱柱，D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱、以DBC1与CBC1为面的二面角α 的度数.
证明：(1)由于A1B1C1—ABC是正三棱柱，故四边形B1BCC1是矩形
连B1C交BC1于E，则B1E=EC,连DE.
在△AB1C中，AD=DC，得DE∥AB1．
又AB1面DBC1，DE面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.
(2)作DF⊥BC于F，则DF⊥面B1BCC1；连EF，则EF是ED在面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥B1C1，又由(1)知，AB1∥DE，
∴DE⊥BC1，从而BC1⊥EF
∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=.
∵△ABC是正三角形.
∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，
CF=DC·cosC=.
取BC中点G，因BE=EC，故EG⊥BC.
在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，
又BF=BC-FC=,GF=.
∴EF2=·，得EF=
∴tg∠DEF===1.∠DEF=45°
即二面角α为45°.
例26 如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,PA⊥面ABCD,PA=a求:
(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)：
(2)点A到平面PBC的距离.
解：(1)作AE⊥直线CD于E连PE.
由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD.
∴∠PEA是二面角P—CD—A的平面角.
在Rt△AED中,AD=3a,∠ADE=arcsin.
∴AE=AD·sin∠ADE=a
在Rt△PAE,中tg∠PEA==.
∴∠PEA=arctg
即二面角P—CD—A的大小为arctg.
(2)作AH⊥PB于H
由PA⊥面ABCD,得PB⊥BC.
又AB⊥BC,得BC⊥面PAB得BC⊥AH
∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离
在等腰Rt△PAB中,AH=a.
∴点A到平面PBC的距离是a
例27 如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=2、BC=3，P为 斜边AB上一点，现沿C P将此直三角形析成直二面角A—PC—B，AB=，求二面角P—AC—B的大小.
解：由已知A—CP—B是直二面角，作BD⊥CP于D，则BD⊥平面ACP作DE⊥AC于E，则BE⊥AC， ∠BED是二面角P—AC—B的平面角.作AF⊥DC于F，连BF，则∠AFB=.
设∠ACP=α，则∠BCP=-α，
在Rt△AFB中
AB2=AF2+FB2=AF2+DB2+DF2=7
∵AF=2sinα,CF=2cosα
BD=3sin(90°-α)-3cosα
CD=3sin(90°-α)-3cosα
DF=CD-CF=3sinα-2cosα
∴(2sinα)2+(3cosα)2+(3sinα-2cosα )2=7
解得α=.
在Rt△BED中
DE=CD·sinα=3sin2α=.
tg∠BED==.
∴∠BED=arctg
即二面角P—AC—B的大小是arctg
例28 设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求：
(1)顶点S到底面的距离；
(2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)；
(3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示)；
解：如图
(1)作SO⊥底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O为底面△ABC的外心，
又△ABC为直角三角形，故O为斜边AC的中点.
∴SO===12.
即顶点S到底面的距离是12.
(2)∠SOB是SB与底面ABC所成的角.
∠COB=arcsin=arcsin
(3)作AD⊥SB于D，连结CD.
∵SB⊥AD,SB⊥AC.
∴SB⊥平面ADC
∴CD⊥SB,∠ADC是二面角A—SB—C的平面角.
易得 AB=BC=5
AD=DC=
∴∠ADC=arccos(-)
即二面角A—SB—C的大小是arccos(-).
例29 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=5.
AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=.
(1)求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
(2)求这个平行六面体的体积V.
解：(1)连A1O，则A1O⊥底面，作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，连AM，AN，A O，由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD
又∠A1AM=∠A1AN.
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA
∴A1M=A1N,得OM=ON.
∴点O在∠BAD的平分线上
(2)V=30
四、能力训练
(一)选择题
1.长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个 球的表面积是( )
A.20π B.25π C.50π D.200π
2.两球体积和是12π，且两球大圆周长的和是6π，则这两个球半径的差是( )
A.3 B.2 C.1 D.0.5
3.地球表面北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度差为180°，A、B两点沿纬度圈的距离与 地球表面A、B两点最短距离的比是( )
A.3：2 B.2：3 C.3：4 D.4：3
4.已知圆锥内有一内切半球，半球的大圆在圆锥底面上，且圆锥全面积与半球面积(球冠部 分)之比为18：5，则圆锥母线间最大夹角为( )
A.2arccos B.2arcsin
C.2arcsin D.π-arcsin
5.球O的半径R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为，B与C的球面距离为R，则球O在二面角B-OA-C内的部分的体积是( )
A. πR3 B. πR3
C. πR3 D. πR3
6.三棱锥A-BCD的高AH=3a，且H是底面△BCD的垂心，若AB=AC，二面角A-B C-D为60°，G为△ABC的重心，则HG的长为( )
A.a B.a C.a D.a
7.底面半径为R，高为H的圆锥的内接正方体的棱长为( )
A. B.
C. D.
8.四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PB=2PA，那么侧面ABP与侧面CDP 所成的二面角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x，则相邻两侧面所成二面角的余弦值f( x)与x之间的函数解析式是( )
A.f(x)= B.f(x )=
C.f(x)= D.f(x )=
10.三棱锥一条棱长为x，其余各条棱长都等于1，则体积F(x)最大时，x的取值是( )
A.1 B. C. D.
(二)填空题
11.已知球面上A、B、C三点所在的截面与球心距离是球半径的一半，并且AB=BC=CA=2，则 球面面积是__________.
12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位 于球心的同一侧，且相距为1，则这个球的半径是_________.
13.一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是_______.
14.把一个木制的棱长为1的正方体镟成一个尽可能大的球，则镟去部分的体积是_______.
15.把一个大金属球 表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成6 4个半径相等的小金属球(设损耗为零)，将这些小金属球表面涂漆，需用油漆________.
16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=AD=1，则截面AB1C和A1B1C1所成的二面角等于_______.
17.棱锥的底面是斜边为C，锐角为30°的直角三角形，各侧棱与底面都成45°角，则它的体积是________.
18.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为_________.
19.正四棱台ABCD-A1B1C1D1，上底AB=1，下底A1B1=2，侧棱AA1与底面成60 °角，则侧面梯形ABB1A1的对角线BA1与下底面所成的角为___________.
20.如图，在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D 、H、G为垂足，若将正△ABC绕AD旋转一周所得圆锥的体积记为V，则其中由阴影部分所产生 的旋转体的体积与V的比值是_________.
(三)解答题
21.求证等边圆锥的全面积等于以它的高为直径的球面面积.
22.已知球的外切圆台的体积是球体积的倍，求这个圆台的母线与底 面成角的大小.
23.求半径为R的球内接圆锥侧面积的最大值.
24.圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，AB是⊙O的直径，Q是圆周上不同于A、B的点①若∠ AOQ=，SO=h，求底面中心O到平面SQB的距离；②若 二面角Q-SA-B等于，求SQ与轴截面SAB所成角的大小 .
25.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=3，AD=1，又PA⊥AB，PA=4，∠PAD=60°，①求 四棱锥P-ABCD的体积；②求二面角P-BC-D的大小.
26.已知AA′B′B是圆柱的轴截面，C是上底面圆周上不同于A，B的一点.①求证平面BA′ C⊥平面AA′C；②当棱锥A′-ABC的体积V′和圆柱的体积V的比是1：2，求 二面角B-AA′-C的大小；③设A-A′B-C为α，又∠CAB=β，∠CA′B=γ，求证sinα=.
能力训练参考答案
(一) 1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.C?9.C 10.D
提示：
5.可求得二面角B-OA-C的平面角就是∠BOC=60°，因此两个半圆面所夹的体积是球体积的.
(二) 11.π 12.3 13. 14.1- 15.9,6k g?16.arctg 17. c3 18.3∶2 19.arctg?20.5∶8
提示：
17.棱锥顶点在底面射影在斜边中点，因此可知棱锥的高为.
18.当P、Q分别为AB、CD中点时，PQ长度最短，值为，当P、Q位于顶点时，PQ最长，值为1.
在底面的射影O在底面对角线AC上，可知AO==，A1O=，BO2=AB2+AO2-2·AB·AO·cos45°=，BO =，因此A1B与底面所成角∠A1BO满足tg∠A1BO==.
故∠A1BO=arctg.
(三) 21.等边圆锥底半径为R，则它的全面积与以它的高为直径的球面面积都是3π R2.
22.画出轴截面图，设圆柱上、下底半径分别为a、b，可
依题设条件求得内切球半径R=，由=得
=，化简得b=2a，易知母线与底面所成角θ的正切值tgθ= =2，因此母线与底面所成角为arctg2.
23.设圆锥顶角为2α，则母线l=2Rcosα，底面圆半径r=Rsinα，则圆锥侧面积.
S=πγl=2πR2sin2αcosα=4πR2sinαcos2α
其中令y=sinαcos2α，则
y2=sin2αcos4α=sin2α(1-sin2 α)2
=·2sin2α·(1-sin2α)(1-sin2α)
≤〔〕=
当2sin2α=1-sin2α即sinα=时，等号成立，
∴y≤ ∴S≤πR2
即圆锥侧面积的最大值是πR2.
24.①设C是QB的中点，连OC，SC，可证平面SQB⊥平面SOC，作OH⊥SC，则OH⊥平面SQB，OH 是O到平面SQB的距离，易知SO=h，OC=，则OH=h.
②作QP⊥AB，∵平面SAB⊥底面ABQ，∴QP⊥平面SAB，作PR⊥SA，连QP，则∠QRP是二面角Q- SA-B的平面角.∠QRP=60°，连SP，可知∠QSP是SQ和轴截面SAB所成的角，设SQ=l，PR=a， 则PQ=a，PQ=2a，AR=a，SR=l-a，由SQ2=SR2+RQ2得l2=(l-a)2+ (2a)2，化简得l=a，sin∠QSP==，SQ与轴截面SAB成角为arcsin.
25.①易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD(O在AD的延长线上)则PO⊥平面ABCD，PO=2，可得VP-ABCD=2.
②作OH⊥BC于H，连PH，则PH⊥BC，∠PHO是二面角P-BC-D的平面角，OH=3，PO=2，tg∠PHO=，二面角P-BC-D等于arctg.
26.①略.?
②易知∠BAC是二面角B-AA′-C的平面角，设圆柱底半径为r，高为h，∠CAB=β，则VA ′-ABC=·S△ABC·h=··2sinβ·2rcosβ·h=r2s in2β又圆柱体积V=πr2h，由VA′-ABC：V=1:2，得sin2β=，2β=60°或120°，故二面角B-AA′-C，为60°或30°.
③由①得平面BA′⊥平面AA′C，作AE⊥A′C，则AE⊥平面BA′C，作EH⊥A′B，连结AH，可 知∠AHE是二面角A-A′B-C的平面角，∠AHE=α，sinα=，其中AE= AC·cos∠AA′C=2rcosβ·；AH=AB·cos∠AA′B=2r·=2r·=，∴=，即sinα=.第三章 不等式
一、考纲要求
1.明确不等式的意义，掌握不等式的主要性质，并能正确灵活地应用这些性质解决问题.
2.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法的基础上掌握高次不等式和分式不等式的解法.
3.掌握一些简单的无理不等式的解法.
4.掌握一些简单绝对值不等式的解法.
5.掌握一些简单指数与对数不等式的解法.
6.能利用分类讨论的方法解含参数的不等式.
7.掌握不等式的证明，掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法、反证法、换元法、判别式法.
8.掌握二个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理.
9.理解不等式｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜
二、知识结构
1.不等式的基本概念.
(1)两个实数a与b之间具有以下性质；如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a-b等于零，那么a＝b，反过来也对.即：
a-b＞0a＞b
a-b＝0a＝b
a-b＜0a＜b
(2)同解不等式：如果第一个不等式的解都是第二个不等式的解；并且第二个不等式的解也都是第一个不等式的解，那么这两个不等式叫做同解不等式.
2.不等式的性质
(1)基本性质
①a＞bb＜a(对称性)
②a＞b，b＞ca＞c(传递性)
③a＞ba+c＞b+c(加法单调性)
④a＞b，c＞0ac＞bc
a＞b，c＜0ac＜bc(乘法单调性)
(2)运算性质
①a＞b，c＞da＋c＞b+d(同向不等式相加)
②a＞b，c＜da－c＞b－d(同向不等式相减)
③a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd(同向不等式相乘)
④a＞b＞0，0＜c＜d＞(同向不等式相除)
⑤a＞b＞0＞ (nZ，且n＞1)(开方法则)
⑥a＞b＞0an＞bn(nZ，且n＞1)(乘方法则)
3.重要的基本不等式
(1)若aR，则｜a｜≥0，a2≥0
(2)若a、bR，则a2+b2≥2ab
(3)若a、bR+，则≥ (当且仅当a=b时等号成立)
(4)若a、b、cR+，则≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)
(5)a＞0时
｜x｜＞ax2＞a2x＜-a或x＞a
｜x｜＜ax2＜a-a＜x＜a
(6)若a、bR，则｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜
4.解不等式的基本思想是化归为一元一次或一元二次不等式，主要依据是不等式的基本性质，要特别注意等价转化.
f(x)＞a２
a≥0时，＞a
f(x)≥0
①＞a
a＜0时，＞af(x)≥0
f(x)＜a２
a＞0时，＜a
f(x)≥0
②＜a
a≤0时，x
f(x)≥0
③＞ g(x)≥0
f(x)＞g(x)
f(x)≥0 f(x)≥0
④＞g(x) g(x)≥0 或
f(x)＞［g(x)］２ g(x)＜0
f(x)≥0
⑤＜g(x) g(x)≥0
f(x)＜［g(x)］２
(6)指数不等式：转化为代数不等式.
af(x)＜ag(x)(a＞1) f(x)＜g(x)；
af(x)＜ag(x)(0＜a＜1＝ f(x)＞g(x)；
af(x)＜b(a＞0，b＞0，a≠b) f(x)·lga=lgb
(7)对数不等式，转化为代数不等式.
logaf(x)＜logag(x)(a＞1) 0＜f(x)＜g(x)
logaf(x)＜logag(x)(0＜a＜1＝ f(x)＞g(x)＞0
(8)含有绝对值符号不等式
｜f(x)｜＜a(a＞0) -a＜f(x)＜a
｜f(x)｜＞a(a＞0) f(x)＞a或f(x)＜-a
另外，对于含有参数的不等式，要能正确地运用分类讨论方法求解.
5.证明不等式
不等式的证明的方法很多，主要应掌握比较法、分析法与不等式的解法
(1)一元一次不等式ax＞b
①a＞0时，解集为｛x｜x＞a｝
②a＜0时，解集为｛x｜x＜a｝
③a=0时，(ⅰ)b≥0，解集为Φ；(ⅱ)b＜0，解集为R
(2)一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是二次三项式ax2+bx+c=0的两实根，且x1＜x2
ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c＜0 ax2+bx+c≤0
Δ＞0 {x｜x＜x1或x＞x2＝ {x｜x≤x1或x≥x2} {x｜x1＜x＜x2｝ ｛x｜x1≤x≤x2｝
Δ＝0 {x｜x≠-xR} R Ф ｛x｜x=-｝
Δ＜0 R R Φ Φ
(3)简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：
①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
(4)分式不等式：先整理成一般形式＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：
＞0f(x)·g(x)＞0
f(x)·g(x)＞0
≥0 (或f(x)=0或f(x)·g(x)＞0)
g(x)≠0
然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
(5)无理不等式：转化为有理不等式求解，常见类型有数学归纳法，另外，对反证法，放缩法和判别式法利用函数单调性等方法也应明确.
A.比较法：
a.求差比较法：a＞ba-b＞0；a＜ba-b＜0；a=ba-b=0
b.求商比较法：b＞0，＞1a＞b；b＜0，＞1a＜b
步骤：作差(或商)—变形—判断.
B.综合法
利用某些已经证明的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所求证的不等式，这种证明方法叫综合法.综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证的不等式.
常用性质有：
a.(a+b)２≥0；
b.若a、bR，a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)；
c.若a＞0，b＞0，c＞0，则有：
a+b≥2(当且仅当a=b时取等号)；
a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时取等号)；
a３+b３+c３≥3abc(当且仅当a=b=c时取等号).
C.分析法：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题.如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.
6.不等式的应用
利用不等式求最值，主要利用公式
≥，其中ai＞0(i=1,2,…n)
(1)当a1+a2+…+an=m（常数）时，乘积a1·a2…an有最大值，其最大值为()n，当且仅当a1=a2=…＝an时取最大值.
(2)当a1·a2…an＝N(常数)时，和a1+a2+…+an有最小值，其最小值为，当且仅当a1=a2=…=an时取最小值.
利用此公式求最值，必须同时满足下面三个条件：
①各项均为正数；
②其和或积为常数；
③等号必须成立.
利用此公式求最值，只需掌握n=2，3时的情形.
三、知识点、能力点提示
(一)“相等”与“不等”的关系
“相等”和“不等”是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系，它们是相互关联，相互依存的，在一定的条件下，互相转化.在数学学习过程中，要注意“相等”与“不等”的相互关系，抓住实质性联系，通过“相等”与“不等”的转化，找到解决问题的途径，达到解决问题的目的.为便于说明，举例如下：
1.“相等”与“不等”相互转化.
a)“相等”向“不等”的转化
例1 在ΔABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：≤B＜.
这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.
简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgctg2B=tgA·tgc
tgB=tg(π-(A+C))=-
∴tgA+tgC=tgB(tg2B－１)
∵tgA+tgC≥2=2tgB
即 tg2B-1≥2
∴tgB≥ ∵B≥ ……
这里，抓住了tg2B=tgA·tgC这一相等关系及tgB=-隐含关系.通过tgA+tgC≥2这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.
b)“不等”向“相等”的转化.
ⅰ)由实数理论知：若a≥b且a≤b则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0
ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y＞0y＞-x可含y=-x+t，这里t＞0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.
例2 已知a、b、cR，函数f(x)=ax２＋bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，f(x)≤1
(1)证明：｜c｜≤｜
(2)证明：当｜x｜≤1时，｜g(x)｜≤2
(3)设a＞0，当｜x｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).
本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.
已知告诉我们：对一切x［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.
简解如下：
∵a＞0，∴g(x)=ax+b是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max=g(1)
即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①?
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1
∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)
∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-=0，即b=0代入①得a=2
∴f(x)=2x2-1
2.“相等”与“不等”的构造
从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.
a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：
途径：①利用重要不等式：ⅰ)a2+b2≥2ab
ⅱ)a、b、cR＋，
a+b≥2，a+b+c≥3
ⅲ)+≥2(a、b＞0)等等
②利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x1、x2I，则f(x２)＜f(x１)；f(x)是区间I上的减函数，若x1、x2I，则f(x1)＞f(x2)；
③利用等量关系中的隐含条件，如
x２-１≥0 ｜x｜≤a
y= x2+y2=a2
y≥0 ｜y｜≤a
例3 已知a、bR且a+b=1，求证a2+b2=1
这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：
证明：∵a≤ b≤两式相加得a+b ≤1又已知a+b =1，则上述两不等式必同时取等号即a= ,b=
∴a2+b2=1
例4 求满足(x2+2x+3)(y2+1)=2的实数x,y
解：∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y2+1≥1
∴(x2+2x+3)(y2+1)≥2 当且仅当x2+2x+3=2,y2+1=1时成立解之得x=-1且y=0
b)在“不等”关系中构造“相等”关系.
x=rcosθ
途径：①设元构造.例：x2+y2≤1 (0≤r≤1)
y=rsinθ
②数形结合，构造函数(或方程).例：≥x可设y1=,y2=x
例5 求证：＜ (nN，n≥2)
证明：∵2n=(1+1)n＝1+n++…
∴n≥2，nN,右端展开式中的各项为正
∴2n＞
即＜
例6 为使不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b＞0对任意实数x、y恒成立，求实数a、b应满足的条件.
解：为使不等式恒成立，须且仅须x2+4xy+4y2+10x+ay+b为一个实数的平方加上一个正增量t，可令x2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4
10=2m a=20
根据多项式相等的条件有： a=4m
b=m2+t(t＞0) b=25+t＞25
所以当a=20,b＞25时，原不等式恒成立.
例7 已知x2+y2≤1，求x+y的最大值.
分析：这里，量x+y与x2+y2的直接关系可以通过2(x2+y2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcosθ，y=rsinθ，则有r2≤1
∴0≤r≤1
∴x+y=rcosθ+rsinθ=rsin(θ+)≤ r≤ 得出.
3.由不等进行估算
估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.
x+y=6
例8 求解方程组
z2=xy-9
这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy进行估算，可知xy＞9，否则z2＜0,x+y＞0
∵x＞0,且y＞0且6=x+y≥2xy≤9故z2=xy-9≤9-9=0
∴z=0且x=y=3
4.由不等推出矛盾：
反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.
例9 已知锐角α，β满足+=2，求证α+β＝
证明：假设α+β＞，则α＞-β，β＞-α
∵α，β，-2，-β(0，)
∴cosα＜cos(-β)＝sinβ
cosβ＜cos(-α)=sinα
从而2=+＜+=2矛盾
故α+β≤，同理α+β≥，∴α+β=
(二)不等式与函数、方程的关系
前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出.
1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系
(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.
(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.
例10 2x２-3x=k在［-1,1］内有实根，求实数k的取值范围.
此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k的范围.
解：设y=2x2-3x-k=f(x)
①若方程2x2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则
Δ≥0
f(-1)≥0 9+8k≥0
f(1)≥0 2+3-k≥0 解之得：-≤k≤-1
-1＜＜1 2-3-k≥0
②若方程2x2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则
Δ＞0 k＞-
-1≤k≤5
f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0
综上可知，k［-,5］
2.不等式与函数最值
(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.
而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x、y都为正数这个条件，就不能说x+y有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x＞0时，求y=x2+的最小值，若写成y=x2+≥2=2(等号当且仅当x2=即x=1时ymin=2=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x2··=4为定值，故y=x2+=x2++≥3=，即ymin＝(显然()3=＜8 即＜2＝
③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x＜时求y=sinx+的最小值，尽管y=sinx+≥2=4.但ymin＝４是错误的，因为当sinx=时可推出sinx=2(sinx＞0)不成立，这只能说y＞4恒成立，因此ymin＞4必成立，实际上由y=t+在(0，1)上是单调减函数可知，当sinx=1时ymin=5
(2)不等式与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值
xR时
1 当a＞0时，x=-时，ymin=；当a＜0，x=-时ymax=
②当x［m,n］(m＜n＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”.
例11 若a＞0，y=ax2+bx+c的最值如下表
n≤- m≤-≤ ＜-≤n m≥-
最大值 f(m) f(m) f(n) f(n)
最小值 f(n) f(-) f(-) f(m)
当a＜0时，可依上表写出类似结论.
(3)重要函数y=x+c，(a＞0,x＞0)的单调性.
利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o，)上是减函数，在QS［，+∞)上是增函数.
例12 求y=的最值
解：y=＝+
令t=≥2，于是y=t+在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时ymin=
(三)不等式与几何的关系
数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.
1.构造几何图形证明不等式
1)对于一些含有“A+B≥C”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明
例13 x、y、zR+，求证： +＞
简析：
x2+y2-xy=x2+y2-2xycos60°
由 y2+z2-yz=y2+z2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥
z2+x2-xz=x2+z2-2xzcos60°
o-ABC得证(如图)，AB= BC= CA=及ΔABC中，AB+BC＞AC
2)对于一些含有“A·B或(A+B)·C”结构的不等式问题，可联想面积证明之
例14 设a＞c,b＞c＞0,求证：+≤
简析：∵()2+()2=()2
()2+()2=()2即勾股定理，+= (+)联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)
3)对于含有“a2+b2=c2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.
4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.
5)对含有“a2+b2=R2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证.
2.运用不等式知识解决几何最值
这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.
(四)不等式与其它杂题
1.不等关系的探索.
现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：
例15 已知Sn=1+++… (nN),设f(n)=S2n+1-Sn+1.试确定m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m恒成立.
分析：依题意f(n)=S2n+1-Sn+1=++…+ (nN)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n的函数，只须求出f(n)的最小值即可.
略解：∵f(n)= ++…+ f(n+1)=+…+
且f(n+1)-f(n)=+ -=(-)+(-)＞0
∴f(n+1)＞f(n) (n＞1，nN)
∴f(2)是f(n)(n＞1，nN)的最小值f(2)=
要使f(n)＞m恒成立，只须f(2)＞m恒成立，故m＜
例16 已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1=b1,a2=b2,a1≠a2,an＞0,nN
(1)试比较a3,b3及a4,b4的大小.
(2)推测an与bn的大小，并证明你的结论.
(结论：bn＞an对任意nN，n≥3成立)
简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.
例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x、y(-1，1)有f(x)+f(y)=f() (ⅱ)当x(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f()+f()+…+f()与f()的关系.
简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数.
f()=f()?
=f()
=f()+f(-)
=f()-f()
∴f()+f()+…+f()
=［f()-f()］+［f()-f()］+…+［f()-f()］
=f()-f()＞f()
(∵0＜＜1，∴f()＜0)
2.不等式问题中的思维策略
1)反客为主
当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.
例18 当｜p｜≤2时，不等式2x-1＞p(x2-1)恒成立，求x的取值范围
x2-1=0 x2-1＞0 x2-1＜0
简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或
2x-1＞0 ＞2 ＜-2
分别解三个不等式组获解，但太繁琐.
若“反客为主”将原不等式化为关于P的不等式：
(1-x2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x2)p+2x-1
问题转化为对一切｜p｜≤2，f(p)＞0恒成立
当1-x2=0时易得x=1
f(-2)＞0
当1-x2≠0时，当且仅当 解之得＜x＜且x≠1
f(2)＞0
综上 ＜x＜
2)以退为进
有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径.
例19 在锐角ΔABC中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A、B的关系是否有sinA＞sinB
证明：∵A+B=π-C＞
∴＞A＞-B＞0
∴sinA＞sin(-B)=cosB
同理 sinB＞cosC
sinC＞cosA
三式相加得sinA+sinB+siC＞cosA+cosB+cosC
四、能力训练
1.某广场中心要建一灯柱，广场边缘A点距灯柱根部(B点)100米，已知该点的照明亮度I和灯光射到这点的光线与地面夹角θ的正弦成正比，和这点的光源P的距离r的平方成反比，若要使A点获得最好的照明亮度，灯柱应建多高 (精确到0.1米)
本题考查三角函数、立体几何解决实际问题的能力，同时考查数形结合思想、成比例的概念，利用不等式求最值的方法.
2.已知xn=sin2θ1·sin2θ2·sin2θ3…sin2θ yn=1-(cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θn)(nN)
(1)判断x1与y1，x2与y2的大小关系，加以证明.
(2)猜想xn与yn的关系，并证明你的结论.
(3)若cosθn=(cos)n+1，证明xn＞.
本题考查三角函数的恒等变形，不等式的证明及观察、归纳由特殊到一般的推理能力.
3.某科研所要到某药厂买100桶药剂作试验用，每天用一桶，无论多少桶每趟的运费都是100元，而每桶药在科研所每天的储存保质费用需2元，问应分几趟(每趟购量相等)购买，才能使总的花费最省 (注：运回当天用一桶，不考虑买药剂的费用)
本题主要考查学生对实际问题的理解，建模(利用函数求最小值)和求解能力及等差数列的综合运用.
4.某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造池，(1)若该县以每年1%的速度减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面面积的，问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几 (2)水面的减少必然导致蓄水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设经费y(元)与当年所填土地面积x(亩)的平方成正比，比例系数为a，又设每亩水面年平均经济收入为b元，所填的每亩土地年平均收入为c元，那么，要使这三项收入不少于支出，试求所填面积x的最大值.(其中a、b、c为常数).
本题考查由实际问题转化为等比数列的能力，及求函数最值的方法，建立数学模型的能力，阅读理解能力.
5.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,且对任何实数都有f(x)≥2x，求a、b的值.
本题考查一元二次不等式恒成立的充要条件和实数的性质，及由“不等”向“相等”转化的能力.
6.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)
(1)写出y与x的函数关系式，并指出这个函数的定义域.
(2)求鱼群的年增长量达到的最大值.
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
本题考查二次函数区间上的最值，及不等式的实际应用.
7.m为何值时，关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0，(1)有两个正根；(2)有两个大于2的根；(3)一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内.本题考查一元二次方程二次函数的图像，应用不等式与它们的关系进行问题转化的能力.
8.若a、b、c、dR，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证｜abcd｜≤，本题考查不等式的应用，由相等关系向不等关系的转化.
9.求·3yz=7850中的数字x，y，z.
本题考查整数及不等式知识，由相等向不等的转化.
10.已知y=3x2++x-2，求log4y的值.
本题考查反三角函数知识.
11.若正整数p、q、r使方程px2-qx+r=0在区间(0，1)内有两个不同的实根，求p的最小值.
本题考查方程，不等式知识，分析问题解决问题的能力.
12.边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条对角线的长不小于6，则这个菱形两对角线长度之和的最大值是多少
本题考查几何极值与不等式的应用.
13.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图)由于地形限制，长宽都不能超过16米，如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计水池的长和宽，使总造价最低，并求出总造价.(45000元)
本题考查均值不等式，函数的单调性及用之求最值，建模能力，分析解决问题的能力.?
14.某工厂现有资金a万元(a＞100)，由于坚持改革开放，生产蒸蒸日上，每年资金递增20%，每年底资助希望工程b万元.(0＜b＜0.2a)，若m(mN)年后，该厂资金至少翻一番，求m的最小值.
本题考查建模能力，不等式与数列知识
15.试用几何法证明：≥(a＞0,b＞0)
本题考查不等式的几何意义，构图法.
能力训练参考答案
1.解：设灯柱高为h米，由题意
I=k·sinθ/r2(k为正常数)
r=100/cosθ
∴I2=k2·sin2θ/(100/cosθ)4=k2sin2θcos4θ/108
=··(2sin2θ)(cos2θ)(cos2θ)
≤()3
=(定值)
当且仅当2sin2θ=cos2θ 即tgθ=/2时等式成立.
A点照明度最好，这时h=AB·tgθ=100×=50=70.7米
故为使A点获得最好的照明亮度，灯柱的高应为70.7米.
2.解(1)： x1=sin2θ1,y1=1-cos2θ1=sin2θ1 ∴x1=y1
x2=sin2θ1sin2θ2,y2=1-(cos2θ1+cos2θ2)
x2-y2=sin2θ1sin2θ2-sin2θ1+cos2θ2
=-sin2θ1cos2θ2+cos2θ2
=cos2θ2·cos2θ1≥0
∴ x2≥y2≥2
(2)猜想xn≥yn
证明：当n=1时，不等式成立，假设当n=k时xk≥yk成立，即sinθ1sin2θ2……sin2?k≥1-(cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θk)
则xk+1=sin2θ1sin2θ2…sin2k·sin2θk+1≥［1-(cos2θ1+cos2θ+…+cos2θk)］sin2θk+1
=［1-(cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θk)］［1-cos2θk+1］
=［1-(cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θk+cos2θk+1)］+cos2θk+1(cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θK)
≥1-(cos2θ1+ cos2θ2+…+cos2θk+cos2θk+1)
=yk+1
∴n=k+1时，不等式成立.
故对nN，都有xn≥yn
(3)xn≥yn=1-(cos2θ1+cos2θ2+…+cosθn)
=1-［()2+()3+…+()n+1］
=1-
=1-+()n+1＞
3.解：设每趟购x桶，则共购趟，每趟的储存保质费为：
2(x-1)+2(x-2)+…+2·2+2·1=x(x-1)元
依题意，总花费y=100(x-1)+10000/x
=100x-10000/x-100
≥2-100
=1900
当且仅当100x=10000/x
即x=10时等号成立.
故分10趟购买，每趟购买10桶总费用最省.
4.解：(1)设该县现有水面面积为M(亩)，今年所填面积为x(亩)，则由条件知x+x(1-1%)+x(1-1%)2+…≤M
即：x·≤M
∴100x≤M
即：x≤M/400
故今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25%
(2)由条件可知：cx-(ax2+bx)≥0 ∴ax2+(b-c)x≤0
当c-b≤0时 ≤x≤0，不能填池.
当c-b＞0时 0≤x≤，所填面积的最大值为亩
5.解：f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2即lga-lgb=1
∵f(x)≥2x对任何x都成立即x2+(lga+2)x+lgb≥2x恒成立
∴Δ=(lga)2-4(lga-1)≤0
∴lga=2
即a=100?
代入lga-lgb=1 得b=10
6.解(1)由题意得y=kx(1-) (0＜x＜m＝
(2)y=-(x-)2++，当x=时ymax=km/4
(3)依题意有：0＜x+y＜m即0＜+＜m
∴-2＜k＜2但k＞0
∴0＜k＜2
x1＞0 x1+x2＞0
7.解(1)∵
x2＞0 x1·x2＞0
∴原方程有两正根的充要条件是
Δ=4(m+2)2-4(m2-1)≥0
x1+x2=2(m+2)＞0
x1x2=m2-1＞0
m≥-
解得： m＞-2
m＜-1或m＞1
即当-≤m＜-1或m＞1时，原方程有两正根.
x1＞2 x1-2＞0 (x1-2)+(x2-2)＞0
(2)∵
x2＞2 x2-2＞0 (x1-2)(x2-2)＞0
x1+x2-4＞0 Δ≥0 m≥-
2(m+2)-4＞0 m＞0
x1x2-2(x1+x2)+4＞0 (m2-1)-4(m+2)+4＞0 m＜-1或m＞5
即当m＞5时原方程有两个大于2的根.
(3)设f(x)=x2-2(m+2)x+m2-1，它的图像是开口向上的抛物线如图，方程f(x)=0的有两实根x1,x2且满足0＜x1＜1＜x2＜2的充要条件是
f(0)=m2-1＞0
f(1)=m2-2m-4＜0
f(2)=m2-4m-5＞0
解得：
m＜-1或m＞1
1-＜m＜1+
m＜-1或m＞5
∴当1- ＜m＜-1时，及方程有两个实根，且一根位于(0，1)内，另一根位于(1，2)内.
8.证一：1=a2+b2≥2｜ab｜
∴1≥4｜abcd｜即｜abcd｜≤
1=c2+d2≥2｜cd｜
证二：∵a2+b2=1,c2+d2=1
∴令a=cosα,b=sinα,c=cosβ,d=sinβ
则｜abcd｜=｜sinαcosαsinβcosβ｜=｜sin2αcosβ2｜≤
(∵｜sin2α｜≤1,｜sin2β｜≤1)
9.解：∵表示一个百位数是3的三位数.
∴300≤＜400
∴＜≤即9＜10x+5＜27
∴x=2
∴＝==314
∴y=1,Z=4
10.解：依题意arcsinx≥但-≤arcsinx≤
∴必有arcsinx=
∴x=1,y=2
∴log4y=
q2＞4pr ①
11.解：依题意知： p+r-q＞0 ②其中p,q,rN
＜1 ③
由(2)可设q=p+r-t,其中t≥1,代入(1)得p+r-t＞2
整理成()2-2+()2-t＞0即＞ +(＜ ·＝与②③矛盾＝
∴p＞( + )2取r=t=1得p＞(1+1)2=4
∴p≥5即Pmin=5
此时q=5,r=1
12.解：设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，AC≥6,BD≤6，则
AO2+BO2=25
(1)令AO=3+x,BO=3-y(x≥0,y≥0)
AO≥3≥BO
由(1)知，x,y不同时为零且x＞0,AO2+BO2=(3+x)2+(3-y)2=25
即(x-y)2+6(x-y)+9=16-2xyx-y=±-3
AC+BD=2(3+x)+2(3-y)=12+2(x-y)
当且仅当y=0时，x-y取得最大值1，∴AC+BD的最大值是14.
13.解：设污水池长为x米，则宽为米，于是总造价为y=400(2x+×2)+248×2
0＜x≤16
×+80×200=800(x+)+16000
0＜≤16
(若用x+≥2=36，等号当且仅当x=即x=18成立但x(0,16))
0＜x≤16
由 解之得：125≤x≤16,而函数f(x)=x+在［12.5,16］上为减函数
0＜≤16
∴f(x)=x+≥16+=16+
这时x=16 ∴y≥800(16+)+16000=45000元，即最低造价为45000元.
14.解：1.年后有资金a(1+20%)-b=-b
2.……(a-b)(1+20%)-b=()2a-b-b
m年后有资金()ma-()m-1b-()m-2b-…-b-b=()ma-5b·()m+5b
由题可知()ma-5b()m+5b≥2a即()m(a-5b)≥2a-5b(a＞5b)
∴()m≥=2+＞2
又()＜2,( )2=＜2，()3=＜2，()4＝＝2+＞2
∴m≥4,即m的最小值为4
15.证明：如图
∵SΔBCE+SΔBAF≥S□ABCD(=]即D、E重合时取等号)
即≥
集
解
型
类数学学科综合能力训练(一)
一、选择题(本大题共14小题，第1—10小题每小题4分，第11—14题每小题5分， 共60分)?
1.已知集合A=｛x│()x2-x-6≤1｝，B=｛x│log4(x+m)＜ 1＝，若A∩B=，则实数m的取值范围是：( )?
A.1＜m＜2 B.1≤m＜2
C.1＜m≤2 D.1≤m≤2
2.设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中的每个 元素在A中都有原象，则这样的映射f：A→B的个数为( )?
A.36 B.72 C.34 D.43?
3.设f-1(x)是f(x)=lgx+1的反函数，则f-1(x)的图像是( )?
4.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB ·y+sinC=0的位置关系是( )?
A.平行 B.重合?
C.垂直 D.相交但不垂直?
5.三棱锥“三条侧棱两两垂直”是“顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心”的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点在直线y=x-2上滑动，对称轴作平行移动，当抛物线的焦点移到(2a，4a+2)时，则此抛物线方程为( )?
A.(y+6)2=8(x+6) B.(y-6)2=8(x-6)?
C.(y-6)2=8(x+6) D.(y+6)2=8(x-6)?
7.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足loga(Sn+a)=n+1(a＞0且a≠1)，则的值为( )?
A.1 B.-1?
C.-1或1 D.不存在?
8.已知直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的极坐标方程为ρsin(θ-)=，则l1与l2的夹角为( )?
A. B.?
C.arctg D.arctg
9.已知a=2-i，则1-C112a+C212a2-C312a3+…-C1112a11+C1212a12?的值为( )?
A.-26 B.(3-i)12??
C.-27 D.26?
10.设方程cos2x+sin2x=a+1在［0，］上有两不同的实数解，则a的取值范围为( )
A.［-3，1］ B.(-π，1)?
C.(0，1) D.［0，1］?
11.椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F， A(-a，0)、B(0，b)是两个顶点，若F到直线AB的距离为，那么椭圆的离心率等于( )?
A. B.?
C. D.
12.由函数y=x+2和y=│x-2│的图像围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是( )?
A. B.64π?
C. D.72π?
13.过双曲线(x-1)2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若│AB│=4，则这样的直线l有( )?
A.1条 B.2条?
C.3条 D.4条
14.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利 润y(10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系如图，要使营运年平均利润最大，则每辆客 车营运的年数应为( )?
A.3 B.4?
C.5 D.6?
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
15.已知a=│x+yi│(x，y∈R)，无穷数列｛an｝的各项的和为1，则x2y4的最大值为 .
16.正四棱台上、下底面边长分别为b、a(a＞b)，侧棱与下底面所成的角为θ，则此棱台的侧面积为 .?
17.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，)，则其值域为 .
18.给出下列命题：?
(1)｛正四棱柱｝∩｛长方体｝=｛正方体｝?
(2)函数y=x3既是奇函数又是增函数?
(3)不等式x2-4ax+3a2＜0的解集为｛x│a＜x＜3a｝?
(4)函数y=f(x)的图像与直线x=a至多有一个交点?
(5)A=｛x│f(x)=0，x∈R｝，B=｛x│g(x)=0，x∈R｝，C=｛x│f(x)·g(x)=0，x∈R｝，则 C=A∪B
其中正确命题的序号是 .?
三、解答题：(本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19.设复数z=a+bi(a，b∈R)存在实数t，使得=-3ati，如果│z-2│≤a，求复数z的辐角主值的取值范围.
???
20.在△ABC中，三边a、b、c依次成等差数列，各边所对的角分别为A、B、C，求5cosA-4cos AcosC+5cosC的值.
21.如图，已知四棱锥S—ABCD的侧面SCD⊥底面ABCD，BC∥AD，BC⊥SC，且SC=SD=CD=BC=2AD =2，P为SB的中点，求：(1)异面直线SD与BC的距离；(2)二面角A—SB—C的大小；(3)三棱锥 S—APD的体积.
22.某企业在“减员增效”中，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领 取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该企业根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属 投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基 础上递增5%，如果某人分流前工资收入每年a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an；(2)当b=时，这个人哪一年收入最少，最少收入是多少 (3)当b≥a时，是否一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入. ???
23.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两个实数根分别为x1 ，x2.?
(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1.?
(2)如果│x1│＜2，│x2-x1│=2，求b的取值范围.
24.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2，过它的右焦点作直线l，使l垂直于倾斜角是锐角的渐近线，垂足为P，l与双曲线C的左、右两支分别交于点A和点B，若│AP│=3│PB│?
(1)求双曲线C的方程?
(2)过点Q(1，1)，能否作直线m，使m与(1)中的双曲线交于R1、R2的点，且点Q是线段R1R2的中点 如果存在，求出直线m的方程；如果不存在，请说明理由.
数学学科综合能力训练(二)
一、选择题:(本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)?
1.sin15°cos(-375°)的值是( )?
A.- B. C.- D.?
2.设集合A=｛x│x＞2｝，B=｛x│x≥a，a∈R｝，若BA，则a的取值范围是( )?
A.a＞2 B.a≤2 C.0＜a≤2 D.a＜2?
3.(文科做)已知cosx=-(π＜x＜2π＝，则x等于( )?
A. B. C. D.
(理科做)已知cosx=-(π＜x＜2π＝，则x等于( )?
A.arccos(-) B.π+arccos(-)?
C.π+arcos D.2π-arccos?
4.不等式＞x-1的解集是( )?
A.(0，5) B.［-，1］?
C.［1，5］ D.［-，5］?
5.已知函数y=f(x)的图像是C1，C1关于y轴对称的图像是C2，若C2关于原点对称的图像所表示的函数是y=g(x)，那么g(x)的表达式是( )
A.g(x)=f(x) B.g(x)=-f(x)
C.g(x)=f(-x) D.g(x)=-f(-x)
6.A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，且z1·z2≠0，O是原点，若│z1+z2│=│-│，则△AOB是( )?
A.等腰三角形 B.直角三角形?
C.等边三角形 D.等腰直角三角形?
7.已知数列｛an｝的前n项之和为Sn=n2，则的值是( )?
A.0 B.2 C. D.不存在?
8.如果sinα+cosα=(≤a≤1)且│sinα│≤│cosα│，那么角α的终边所在的位置(用图中阴影表示)可能是( )?
9.函数y=e为自然对数的底，e=2.71828…)的值域是( )?
A.(-∞，-)∪(1，+∞) B.(- ，1)∪(1 ，+∞)?
C.(- ，0) D.(- ，1)?
10.已知数列｛an｝中，an=3n-30，若数列｛bn｝的通项bn=a1+a3+a32+……+a3n-1?，那么b?n的绝对值最小项是( )?
A.b2 B.b3 C.b4 D.b5?
11.已知复数ω=(＜ θ＜＝，那么argω等于( )?
A.2θ- B.2θ-?
C.5π-2θ D. -2θ?
12.等差数列｛an｝中，a1=-1，其前13项的算术平均值为17，若从中抽出一项，则余下 12项的算术平均值为16，则抽出的一项是( )?
A.a7 B.a9 C.a11?D.a13??
13.有数学归纳法证明：(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3…(2n-1)(n∈N)时，从“k到k+1 ”时，左边需要相乘的代数式是( )?
A. B. ?
C.2(2k+1) D.2k+1?
14.(文科做)4名新来的大学生分配到公司的2个不同的部门，每个部门至少要一名大学生， 则不同的分法有( )?
A.12种 B.14种 C.16种 D.20种?
(理科做)6名新来的大学生分配到公司4个不同的部门，每个部门至少要一名大学生，则不同的分法有( )?
A.246种 B.1080种 C.1560种 D.2480种?
二、填空题:(本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中“横线”上)
15.不等式│3x+1│＞2的解集是 .?
16.二项式(2x-1)12?·(2x2-x)的展开式中，x2项的系数是 .?
17.已知tg(45°-α)=2，则cos2α= .?
18.关于函数y=f(x)=x+-1(x∈R，x≠1)有下列命题.?
①y=f(x)的最小值是2；
②函数y=f(x)的图像关于(1，0)点对称；
③函数y=f(x)的图像关于x轴对称；
④函数y=f(x)在区间(-∞，1)有最大值-2.
其中，正确命题的序号是 .
三、解答题：(本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.已知函数f(x)=5+2sinxcosx-6cos2x，求：?
(1)f(x)的最小正周期和f(x)的最小值；
(2)f(x)的单调递增区间.
20.(文科做)解方程：log2(2x+1+4)+log1/2(4x-4)=1.?
(理科做)解不等式：log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R，a≠0).
21.已知复数ω= (z≠±3)是纯虚数.
(文科做)求实数μ=│6i-z│的最大值和最小值.
(理科做)求复数μ=6i-z的幅角主值范围.
22.红光机械厂拟更换一部发电机，已知B型发电机比A型发电机购价多1000元，但每月可节 约使用费50元(节约额于月末实现).按1%的月折现率计算(月折现率r，是指一个月后的1元， 相当于现值的元)，求：
(1)B型发电机使用2个月可节约使用费相当于现值的多少元
(2)更换B型发电机至少使用多少月才比较合算(精确到月)
(取lg2=0.3010,lg1.01=0.0043)
23.(文科做)已知函数y=,(x＞1，ax+1≠0，且a≤0)当y＜0时，求 a的取值范围.?
(理科做)已知函数f(x)=-x2+(m+n)x+2m-n和函数g(x)= ，对于任意实数x(x≠-)，总有g［g(x)］=x恒成立，当x∈［-1，2］时，f(x) 有最大值，求m、n的值.?
24.(文科只做①、②问，理科做①、②、③问)?
已知f(x)=log2(x+1)，当点A(x，y)在函数y=f(x)的图像上运动时，点B(，ny)(n∈N)在函数y=gn(x)的图像上运动.
①求函数gn(x)的解析式；
②若Sn(x)=g1(x)+g2(x)+…+gn(x)，且x∈［1，+∞］，求n为何值时Sn(5)＞110 ；?
③若Gn(x)=2gn(x)?，S(x)=［G1(x)+G2(x)+…Gn(x)］，x∈(-，0)，求函数S(x)的值域.?
数学学科综合能力训练(三)
一、选择题(1)10小题每题4分，11—14小题每题5分，共60分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的)?
1.设集合M=｛y│x+y-1=0，x∈R+｝，N=｛y│2x+3y+1=0，x∈R｝，则M∩N为( )
A.〔4，-3〕 B.(4，-3) C.｛y│y＜1＝｝ D.以上都不对?
2.函数y=sin(cosx)的值域为( )?
A.［-1，1］ B.［sin1，1］ C.［0，sin1］ D.［-sin1，sin1］?
3.已知：m、n是两条直线，α、β是两个平面，则下列四个命题?
(1)若m⊥n，m⊥α，则n∥α. (2)若m∥α，α⊥β，则m⊥β.?
(3)若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β. (4)若m⊥β，α⊥β，则m∥α或mα.
其中正确命题的个数是( )?
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个?
4.函数y=(x-1)?的反函数图象是( )?
5.过椭圆+=1的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于( )?
A. B.1 C. D.3?
6.复数z=sinθ-icosθ(＜θ＜π＝的辐角主值是( )?
A.θ- B.π-θ C.2π-θ D. -θ
7.(理)若＜x＜π，则arcsin()＝的值为( )?
A.x+ B. -x?
C. -x D.x-
(文)已知：sinα·cosα=，且＜α＜，则cosα-sinα的值为( )?
8.若棱台上下底面积分别为S1、S2(S1＜S2＝，则棱台的高与截得它的棱锥的高之比为( )
A. B. C. D.
9.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车 方法有：
A.P88种 B.P812种
C.P88·C18种 D.P88·C19种
10.一组实验数据如下表：
T 1.02 1.99 3.01 4.0 5.1 6.12 ……
V 0.01 1.5 4.04 4.04 12 18.01 ……
则下列四个关系式中，最接近实验数据的表达式为( )?
A.v=log2t B.t·2v=1
C.v= D.v+2=2t
11.等差数列｛an｝中，已知a4+a7+a11=17，a8+a11+a15=27， 则a16+a19+a23的值为( )?
A.32 B.37 C.42 D.47?
12.已知圆的方程为x2+y2+2(a-1)x+a2-4a+1=0(0＜a＜，则点(-1，-1)的位置是( )
A.在圆上 B.在圆内?
C.在圆外 D.不能确定?
13.把函数y=loga(x-1)(a＞0且a≠1)的图象先向右平移2个单位，再把横坐标变为原来的，所得图象的函数解析式为( )
A.y=loga(x-2) B.y=loga(x-3)
C.y=loga(x-4) D.y=loga(x-2)
14.若圆锥的全面积为定值πa2，则圆锥体积的最大值是( )?
A.πa3 B. πa3?
C. πa3 D. πa3?
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
15.以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线3x-y+4=0相切的圆的方程是 .?
16.不等式＞的解集为 .
17.菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿AC把菱形折成60°的二面角，则AB与CD所成角的余弦值为 .
18.下列命题：
(1)如果平面γ与两个平面α、β所成的二面角都是直二面角，则α∥β.
(2)函数y=sinx在第一象限是增函数.
(3)函数y=tg-ctg的最小正周期是π.
(4)奇函数y=f(x)在定义域R上满足f(1+x)=f(1-x)，则y=f(x)是以4为周期的周期函数.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
19.已知：tgx·tgy=，tg=，求cos2(x-y) 的值.
20.已知m∈C，关于x的一元二次方程x2-mx+4+3i=0恒有非零实根，且当x=a(a∈R，a≠0) 时，│m│取得最小值，记z=5-│a│i，求复数·(1-bi)(b≥1)的辐角主值的取值范围.
21.已知三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，M为PC的中点，AN=3NB.?
(1)求证：MN⊥AB；
(2)当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长；
(3)在(2)条件下，求PA与MN所成的角.
22.已知a1=1，对所有自然数n，an，an+1是方程：x2-bnx+tn=0的根，其 中0＜│t│＜1.? 21题图
(1)求数列｛an｝的通项公式?
(2)当(b1+b2+…+bn)≤3时，求t的范围.
23.某汽车队今年(1999年)初用98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需缴各种费用1 2万元，从第二年开始包括维修费内，每年所缴费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后 每年的票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利额为y(万元).?
(1)求出y表示为n的函数关系式；?
(2)从哪一年开始，该汽车开始获利(即盈利为正值) ?
(3)营运若干年后，对该汽车的处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以30万元 的价格处理该车；②当盈利额达到最大值 时 ，以12万元的价格处理该车；问用哪种方案处理 该车较为合算 为什么 ?24题图
24.如图，双曲线C1的一条渐近线是l:x+y=0，抛物线C2的顶点是双曲线的右焦点且开口向上，C2上两点A与B关于t对称且∠AFB=90°，若│AB│=2，求C1和C2的方程.
?
数学学科综合能力训练参考答案
(一)??
一、DAACA ACDAD ABCC?
二、15. 16.(a2-b2) 17.(-，π) 18.②④?
三、19.∵z=a+bi(a,b∈R)，=+(-3at)i，∴a+bi=-(-3at)i，∴
消去t，得b=6-2a①，由│z-2│≤a得(a-2)2+b0≤a2②，将①代入②得a2-7a+10≤0，∴2≤a≤5.设argz=θ，则tgθ===-2.∵-≤-2≤1?
∴0≤θ≤
或2π-arctg≤θ＜2π.
20.由题意得2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC，即2sin(A+C)=sinA+sinC，∴4sincos=2sin cos.∵sin≠0，∴cos=2sin.∴5cosA-4cosAcosC+5cosC=5×2 coscos-4×〔cos(A+C)+cos(A-C)〕=2cos2 -2〔2cos2-1+2×4(1-cos2 )-1〕=4.
21.(1)作SE⊥DC于E.∵平面SCD⊥平面ABCD，∴SE⊥平面ABCD.∴SE⊥BC.又BC⊥SC，∴BC⊥ 平面SCD，∴C到SD的距离即为SD和BC的距离.∵△SDC为正三角形，∴所求异面直线的距离为 2×=.?
(2)易知AS=AB=，而P为SB的中点，∴AP⊥BS，连PC，∵SC=BC=2，∴PC⊥SB.∴ ∠APC即为二面角A—SB—C的平面角，在Rt△SEB中，得SB==2 ，∴AP= .在Rt△ADC中，AC=.在Rt△SCB中，PC=×2=. ∵AP2+PC2=AC2，∴∠APC=，即所求二面角为.
(3)VS-APD=VP-SAD.∵BC∥AD，P为SB中点，设d1为B到平面SAD的距离，∴VP-SAD=VB-SAD=··S△SAD·d1，而d1=.∴VS-APD=··AD·SD·×2=.
22.(1)根据题意知，当n=1时，an=a.?
当n≥2时，an=a()n-1+b(1+)n-2=a()n-1+b()n-2.?
∴an=
(2)由已知b=a，当n≥2时，an=a()n-1+a()n-2?≥2，要使上式等号成立 ，当且仅当a()n-1=a()n-2即 ()2n-2=()4解得n=3.因此这个人第3年收入 最少，最少收入为a.?
(3)当n≥2时，an=a()n-1+b()n-2≥a()n-1+()a·()n-2≥2=. 上式等号成立，需b=a且() ()(n-1)，即1+log.?
.虽然1+log>1+log=2，但1+log不是自然数，因此等号不可能取到，即当n＞2时，有an＞a，但n=2时，a2=a+a=a＞a.综上知，当b≥ 时，一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.
23.(1)g(x)=ax2+(b-1)x+1=0，由题意得?
(2)对于ax2+(b-1)x+1=0，令b-1=c，则ax2+cx+1=0.由│x2-x1│=2=2即c2=4a?2+4a①，又│x1│＜2，∴-6＜x1+x2＜6-6＜-＜6c2＜36a2.又Δ＞0c2-4a＞0，∴4 a＜c2＜36a2②.由①、②得a＞，∴c2=4a2+4a＞∴c＞-或c＜-，∴b＞或b＜.?
24.(1)由题设可得双曲线方程为x2-=1，倾斜角为锐角的渐近线方程为y=bx①，直线l的方程为y=-(x-c)②，由①、②联立，消去y，得xp =，而c2=1+b2，∴x?p=，又将②代入双曲线方程，消去y，得(b4-1)x2+2cx-(c2+b4)=0.由题意b≠1，又Δ=4c?2+4(b4-1)(c2+b4)=4(b2+1)+4(b2+1)(b2-1)(c2+b4)=4c2〔1+(b2-1)(c2+b4)〕= 4b6c2＞0.设A和B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1,2=.由│AP│=3│PB│，得λ==3，∴xP==，即x1+3x2=，把x1，x2 代入，得(b3-2)c2=2(b4-1)，再把c2=b2+1代入得b=2，故所求双曲线c的方程为x2-=1.?
(2)假设存在R1(x3，y3)，R2(x4，y4)为直线M与双曲线C的两交点，Q为R1R2的中点，则x3-=1，x4-=1.两式相减得 4(x3-x4)(x3+x4)=(y3-y4)(y3+y4)，由Q(1，1)是R1R2中点知：x3+ x4=2，y3+y4=2，∴.?
即直线M的方程为y-1=4(x-1)，但由消去y得12x2-24x+13=0.
∵Δ=242-4×12×13=-48＜0，方程组无实数解.
故不存在满足条件的直线m.
(二)
一、选择题：?
1.B 2.B 3.文A 理C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.A 12.C 13.C 14. 文B 理C.
二、填空题
15.｛x│x＞或x＜-1＝?
16.26 17. 18.②④.
三、解答题
19.解：(1)∵f(x)=sin2x-6·
=sin2x-3cos2x+2
=2sin(2x-)+2.?
∴T==π.?
∴当sin(2x-)=-1时，有最小值2-2.?
(2)设2kπ-≤2x-≤2πk+,?
2kπ-≤2x≤2kπ+.
∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).?
∴f(x)的递增区间为［kπ-,kπ+π］.
20.(文科做)?
解：原式变为：log2(2x+1+4)-log2(4x-4)=log22，
∴
令2x=y，原方程变形为y2-y-6=0，∴y1=3或y2=-2(舍去).
当y1=3时，2x=3，∴x=log23.
检验知x=log23是原方程的根.?
(理科做)?
解：由log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R，且a≠0)，变形为log2(x-a)+log2(x+a)≥log2x.
∴原不等式等价于不等式组：
1°当a＞0时，不等式组等价于?
即
2°当a＜0时，不等式组等价于?
或
综上所知，当a＜0时，x≥，
当a＞0时，无解.
21.解1：令z=x+yi(x，y∈R)
∴ω=
=
=∵ω是纯虚数，∴x2+y2=9，∴│z│=3.
解2：∵ω是纯虚数，∴ω+=0，?
即∴│z│=3.?
(文科做)由题意知│6i│-│z│≤μ≤│6i│+│z│，
即6-3≤μ≤6+3，∴3≤μ≤9.?
(理科做)复数μ=6i-z，可表示为在复平面上，以(0，0)为圆心，3为半径的圆周上动点A到 定点B(0，6)的有向线段(如图).?
1°当与圆在第Ⅰ像限相切时，有最大幅角主值为+ ∠OBA=+=π.
2°当与圆在第Ⅱ像限相切时，有最小幅角主值为- =，∴≤argμ≤π，又∵z≠±3，∴去掉arctg2和π-arctg2.?
22.解：(1)使用两个月节约费用100元，相当于现值的50×+50()2=50［］≈98 .5(元).
(2)B型发电机使用3个月节约费用相当于现值的50×[+( )2+()3]，……，使用n个月节约费用相当于现值的50［+()2+…+()n］.
设更换B型发电机至少使用n个月才比较合算，则50［+()2+……+()?n］≥1000，即50·[1-()n]
1- ≥1000.
∴1.01n≥,nlg1.01≥lg n≥ ?
答：(略).?
23.(文科做)解：<0.
1°当a=0时，y=-1＜0，对任意x＞1均满足不等式.
2°当a＜0时，原不等式等价于
(Ⅰ) 或 （Ⅱ）
由(Ⅰ)解得a? 又x ＞1，?
∴
∴
由(Ⅱ)
∴a2＜0(无解).?
综合知a的取值范围为a=0，或a≤-1.?
(理科做)解：?
∵g［g(x)］=n =
?
即(2n+6)x2+(9-n2)x=0.
∵对任意的x上式均成立.
∴ 解得n=-3.
∴f(x)=-x2+(m-3)x+2m+3.
其对称轴为x=
1°当-1＜＜2，即1＜m＜7时，?
f(x)max?=f()=?
∴m=-4(舍去)或m=2.?
2°当≤-1，即m≤1时，?
fmax(-1)=m+5=?
∴m=与m≤1矛盾，无解.
3°当≥2，即m≥7时，?
fmax(2)=-4+2(m-3)+2m+3=4m-7=.?
∴m=与m≥7矛盾，无解.
综上知，符合要求的值为
n=-3，m=2.
24.(1)解：把(，ny)代入y=gn(x)，得ny=gn(). ∴nlog2(x+1)=gn().
令=t，∴x=3t.
∴nlog2(3t+1)=gn(t)，
∴gn(x)=nlog2(3x+1).
(2)∵Sn(x)=log2(3x+1)+2log2(3x+1)+…+nlog2(3x+1)=log2(3x+1).
∴Sn(5)= log216=2n(n+1)＞110.
解得n≥7，即n≥7时，Sn(5)＞110.
(3)∵Gk(x)=2klog2(3x+1)=(3x+1)k，
∴S(x)=［(3x+1)+(3x+1)2+……+(3x+1)n］.
∵x∈(-，0)，∴公比q=3x+1∈(0，1)
∴数列｛(3x+1)n｝是无穷递缩的等比数列，
∴S(x)=
∵3x∈(-1，0)，
∴∈(-∞，-1),- ∈(1,+∞)
∴S(x)∈(0，+∞).
(三)
一、C D B B D A C A D C D C A B
二、15.(x-2)2+y2=10 16.0＜x＜log32 17. 18.③④
三、19.(略解)tgx·tgy=
=
∴cos(x-y)=cos(x+y)
由万能公式，cos(x+y)=，cos(x-y)=，
∴cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=.
20.(略解)设x0为非零实数，由已知可得：│m│=│x0++i│=≥?
当且仅当x0=±时，│m│取最小值，│a│= .
∴z=5-5i，∴(1-bi)=(5+5b)+(5-5b)i?
①当b=1时，(1-bi)=10，辐角主值为0.
②当b＞1时，(1-bi)的实部大于0，虚部小于0.其辐角主值在(，2π)内，此时，arg〔(1-bi)〕=2π+arctg()
∵b＞1，∴-1＜-1＜0，∴-＜arctg(-1)＜0，∴＜arg〔(1-bi)〕＜2π.
21.(1)略 (2)MN= (3)PA与MN所成角为60°.?
22.(1)an=
(2)t∈(-1，］且t≠0
23.(1)y=-2n2+40n-98；?
(2)10-＜n＜10+ ∵n∈N，∴3≤n≤17，故从2001年开始获利；
(3)①=-2n+40-≤12，当且仅当n-7.∴到2005年年平均盈利达到最大值，共获利2×7+30=114万元.
②y=-2(n-10)2+102，当n=10时，ymax=102，即到2008年共获利102+12=114万元， 故两种方案获利相同，但方案②的时间长，所以用方案①处理合算.
24.C1;x2-y2=1
C2:y2=-(x-)
或C1:x2-y2=
C2:y2=-平面解析几何
知识要点：
通过建立平面直角坐标系，把平面上的点、线（直线，曲线）等几何图形与代数中的“数”、“方程”联系起来，进而用代数方法来研究平面图形的（几何问题）性质的科学就是平面解析几何学。这是建立在“代数学”、“几何学”基础上的数学分支。法国数学家笛卡尔在十七世纪创始了解析几何学。它的产生对数学发展，特别是对微积分的出现起了积极作用，恩格斯对这一发现给予了高度的评价。
基础知识：
这是指解决有关“对称”问题中的使用的相关知识。
1、线段中点坐标公式：已知点，点则线段P1P2的中点的坐标：
2、经过两点，的直线的斜率公式：
3、两条直线斜率存在且分别为，
则两直线垂直，它们的斜率互为负倒数，所以逆命题同样正确，
即
4、若两直线相交，则通过解两直线方程组成的方程组，可以求出交点坐标。
5、关于“点对称”、“轴对称”的作图（示意图）
如图：点A与点A关于P点对称（图1）
点A关于直线l的对称点A。（图2）
6、直线方程的两点式：
已知直线l经过两点，时直线l的方程为：
主要方法：
这里指解决有关“对称”问题可使用的主要方法。
1、点关于点的对称点：
灵活运用线段中点坐标公式。求点关于的对称点，代入中点坐标公式，中，可以求出。即，两点关于对称。
特殊情况当为原点（0，0）时，关于原点的对称点。
2、点关于直线的对称点：
通过数形结合，使用点关于直线对称原理（如图），点A、关于直线l对称的充要条件是：
①A、两点的中点在直线l上。
②直线A垂直于直线l。
即若、
直线l：，时斜率为
直线的斜率为，
为A、两点的中点，
则
解方程组求出就是点坐标
特殊情况：
关于x轴的对称点为
关于y轴的对称点为
关于直线的对称点
关于直线的对称点
关于直线的对称点
关于直线的对称点
3、直线关于直线对称的直线方程：
根据轴对称原理可以得这类问题，转化成点关于直线的对称点问题来解决（如图）。已知直线l为对称轴，求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程。常用解法为：
①设，先通过解由直线l1，直线l的方程组成的方程组的解，得到交点M的坐标。
②在直线l1上任取A点，求出A点关于直线l的对称点点的坐标，由对称原理知点必在直线l2上。
③由两点式（M点，点两点）建立直线l2方程。
另外由对称原理可知l1与l所成角等于l与l2所成角，为此由两直线的到角公式可以求出直线l2的斜率，再利用l1与l交于M点，使用点斜式可以求出直线l2的方程。
特殊情况：
直线关于x轴对称的直线方程为
直线关于y轴对称的直线方程为
直线关于直线对称的直线方程为
直线关于直线对称的直线方程为
4、曲线关于直线对称的曲线方程：
因为圆锥曲线的内容还没有学习，这里只给出一般性的结论，具体问题，以后再续。
曲线关于直线对称的曲线方程为：
较简单的是圆关于直线对称的圆的方程求法。由对称原理知园关于直线对称的是与之半径相等（大小相等）的圆，只有求出圆心关于直线的对称点便可得圆的方程。因此，曲线关于直线对称的曲线问题仍转化为点关于直线的对称点问题。函数（一）
知识要点：
重点、难点：
1、函数的三要素；
2、函数的性质；
3、函数图象变换；
4、幂、指、对函数的概念、图象、性质。
基本概念：
一般地，设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集保A、B和从A到B的对应法则）叫做A到B的映射。
说明：
（1）A中的元素在B中有象且唯一；
（2）B中的元素在A中不一定有原象；
（3）B中的元素在A中的原象可以是一个，也可以多于一个。
基本要求：
（1）熟悉是映射的概念；
（2）对于给定的对应会判断是否为映射；
（3）对于给定的映射，会求指定元素的象和原象。
理解函数的定义及三要素
基本概念：
设A、B都是非空数集，是从A到B的一个对应法则，则A到B的映射
f：AB就叫做A到B的函数。
记作：y=f(x),xA,yB
原象的集合叫做函数f(x)的定义域 ，用A表示；
象的集合叫做函数f(x)的值域，用C表示；
明显有CB （注：此定义为人教版）
说明：
（1）A、B都是非空数集；
（2）f 是集合A到B的映射；
（3）值域CB
基本要求：
理解函数三要素对函数的制约作用。
理解函数定义域并掌握求函数定义域的基本原则和方法。
基本概念：
定义域是自变量X的取值范围即指能使这个式子有意义的所有X的集合。
复合函数：如果y是u 的函数，而u又是x的函数，即y=f(u).u=g(x),那么y关于x的函数u=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数。
基本要求：
（1）掌握求函数定义域的基本原则
（2）掌握各种类型函数的定义域的求法一一转化成不等式或不等式组解决问题
具体函数求定义域
基本原则：
（1）有理分式函数
（2）偶次方根的被开方数非负，即
（3）对数函数中 ，
（4）函数
（5）实际应用问题中要考虑自变量的实际意义；
理解函数的对应法则并掌握求对应法则的方法
基本要求：
1、理解函数对应法则的含义
2、能熟练运用换元法、待定系数法、拼凑法、求函数的对应法则
理解函数的值域并掌握求函数值域的各种方法
基本概念：
值域是指全体函数值所构成的集合。
基本要求：
熟练掌握求函数的值域的各种方法
1、观察法：
2、配方法
3、数形结合（图象法）
4、判别式法：
理解函数奇偶性的概念，并会用以作判断和证明。
基本概念：
（1）对于函数：
1、如果对于函数定义域内任意一个x,都有。那么函数叫 做 奇函数。
2、如果对于函数定义域内任意处理一个x，都有f (-x) = f (x)，那么函数 叫 做偶函数
说明：x与-x同在定义域内，则定义域必须关于原点对称。
（2） 1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形；若一个函数的图象关于原点成中 心对称图形，那么这个函数是奇函数。
2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；若一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，那么这个函数是奇函数。
说明： （1）若奇函数 在0上有定义，则必有。
（2）若 既为奇函数又为偶函数，则必有
基本要求： （1）理解奇偶性概念
（2）掌握判断、证明函数奇偶性的方法
判断，证明函数的单调性。
基本概念：对于给定区间A上的函数,在A内任取两个值x1 , x2 。
（1）当x1 ,< x2 时，都有, 则说在A上是增函数。
（2）当 x1 ,< x2时都有，则说在A上是减函数。
说明： （1）x1 , x2 在区间A中具有任意性。
（2）增函数图象的特点是左低右高。
减函数图象的特点是左高右低。
基本函数的单调性：
(2) (如图1）
(如图2）
(如图3）
(如图4）
(4)幂指、对函数见后面。
基本要求 ： ①理解单调性的含义。
②掌握函数单调性的判断方法
③能利用函数的单调性解决相关问题。
掌握函数图象的各种变换，
基本变换：①平移变换 ：
②对称变换：
把的在轴的下方的图象，从x轴的对称轴翻折 到x轴的上方，其余部分不 变。
基本要求： （1）掌握图象的各种变换以及图象与数量之间的关系，
（2）能利用函数的图象解决函数的有关问题（数形结合思想）
理解反函数概念以及函数与反函数之间的内在联系
基本概念：略
基本关系： ① 定义域 值域
函数 A B
反函数 B A
② 函数图象与反函数图象关于对称
基本要求： ① 理解反函数概念，会求已知函数的反函数。
② 掌握函数与反函数之间的关系，并能利用他们之间的关系解决某些问 题。
幂、指、对函数
基本概念： ①幂（略）
②指数函数：
a>1 0图象
定义域 R
性 值域 y>0
单调性 增函数 减函数
质 函数值 x=0时，y=1
分布情况 x>0时，y>1x<0时，00时，01
③对数函数：
a>1 0图象
定义域 x>0
性 值域 R
单调性 增函数 减函数
质 函数值 x=1时，y=0
分布情况 x>1时，y>001时，y<001
基本要求： ①熟练掌握幂指、对函数的定义，图象，性质。
②掌握幂、指、对函数的应用。
③会解简单的指数对数方程和指数、对数不等式。求数列的通项公式
知识要点：
求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，实际上，当数列的各项，如果能用项数n 的解析式来表示即：，找到这个解析式就得到了数列的各项，又因为数列是一类特殊的函数，作为函数来研究数列的性质时，若有解析式：，设法求得这个通项公式则与之有关的问题应刃而解。由于数列的类型多，每个数列的通项公式表现是不同的，有的是“显性”在给出的数列中只要认真观察，联想便可得到，有的数列实际上是等差数列或等比数列，其通项公式已有定式，也有的数列其与项数n 的规律必须从题目中设法挖掘出来。为此，依求通项公式的方法可以有以下几种。
1、观察法：
一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。
如：写出下列各数列的一个通项公式：
①2，－6，18，－54，162，－486，……
这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：
②
观察规律：
归纳得出：
③15，25，35，45，55，……
观察，数列各项间有：
这是个等差数列：
2、已知数列的前n项的和，求通项公式。
这是又一种数列的给出形式即：型一般是以与的关系考虑：
如：已知数列的前n项的和求它的通项公式。
解法是：
3、已知递推关系式求通项公式
如果一个数列若干项后的任一项都可以用与它相邻的前面若干项表示出来。则这个关系式叫数列的递推公式。如（d为常数）（为常数）等等，它又分为以下几种类型：
①形如 已知求通项公式。
∵ 为常数，由等差数列的通项公式（为数列的公差）
得到
②形如 （为常数且）也已知
解法为：∵ ∴是以为首项，为公比的等比数列 ∴
③形如 （也为常数）已知
解法是：在等式两边 同时加得
然后设辅助数列
为首项，c为公比的等比数列
∴为所求的通项公式
如①已知数列中求通项公式。
解法为：∵
∴
则是以为首项，3为公差的等差数列。
∴为所求的通项公式。
②又如，已知中且求此数列的，通项公式。
解法为：两边同加
设 ∵即
∴是以为首项，2为公比的等比数列
4、待定系数法求通项公式
在 数列的综合题中题解的主要方法是求数列的通项公式但通项公式的模式题中已答只需求出相关的待定系数便可时，使用的就是待定系数法。
5、归纳、猜想、证明。
有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。
如：已知数列中求数列的通项公式。
解法是：由算出前几项分别为：
……
猜想：
再由数学归纳法进行证明：
①等式成立
②假设时等式成立，即
那么
即时等式也成立
综合①②对任意都有成立。
另外此例也可用设辅助数列方法来求，具体解法如下：
这个解法比用猜测证明的前面解法简便。
综上，各种数列求通项公式的方法因题设条件而定，比较灵活。不等式的性质及解法
知识要点：
不等式与等式有许多不同，主要包括：
1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，
即
2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。
3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。
不等式的性质可分为：
1）、公理这也是将不等式问题——比较两个实数a、b的大小，转化为恒等变形问题的依据。
2）、基本性质：（1）对称性这个性质等式中也存在，即，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：这个基本不等式本身就有及两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。
（2）传递性这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。
（3）移项法则如：，相当于在这个不等式两边同时加上－3得到的。
3、运算性质：
（1）加法运算：
（2）减法运算：统一成加法运算
（3）乘法运算：
（4）除法运算：统一成乘法运算
（由在（0，+）上是减函数，）
（5）乘方运算：
（6）开方运算：
4、函数的单调性：
（1） （）
（2） （）
诸如此类：上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。
我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。解不等式的每一步都要求是同解变形。
一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。
在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。
在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运用数轴与图象的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。
方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等式问题中都有着广泛的应用。
解不等式的方法有：图象法——一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；转化法——分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。
1、一元二次不等式的解法
解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系——求根、画图象、写解集
例1：解关于x的不等式其中
解：由一元二次方程的根为知
（1）当，即时二次函数的草图为：
故原不等式的解为
（2）即时二次函数的草图为：
故原不等式的解为（）
（3），即a=1时二次函数的草图为：
故原不等式的解为
综上，当时原不等式的解集为；当时原不等式解集为；当时原不等式解集为。
例2：已知关于x的不等式的解集是。求关于x的不等式的解集。
解：此题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论——知解集求原不等式中待定常数的值。
∵的解集是
∴y=的草图应为：
故：
∴不等式可化为
解得其解集为
2、高次不等式的解法
解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根、画图象、写解集。
例：解不等式
解：方程可化为知其根为
故函数的草图为：
因此，原不等式的解集为
3、分式不等式的解法
解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。
首先将不等式经过同解变形，化成或（）的形式，然后再利用同种变形：或
例：解不等式
解：移项，通分得
∴
转化为
∴
解得，所求不等式的解集为
说明：高次不等式中对重根的处理分奇次重根、偶次重根两种。如或时不等式成立（若为大于零，则时不等式不成立）。
4、无理不等式的解法
解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。
5、指数不等式和对数不等式的解法
解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。
时，
注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于x的不等式，对x进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x的不等式，对除x以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。第九章 直 线
一、考纲要求
1.理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟悉运用两点间的距离公式和线 段的中点坐标公式.
2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程.
3.掌握两条直线平行与垂直的条件.能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条 直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.
二、知识结构
1.有向线段
一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段 ?的数量用AB表示.
若有向线段在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则
它的数量 AB=x2-x1
它的长度 ｜AB｜=｜x2-x1｜
平面上两点间的距离 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离
｜P1P2｜=
当P1P2⊥Ox轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜；当P1P2⊥Oy轴时，｜P1P2｜ =｜x2-x1｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=.
三角形的中线长公式
如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜2+｜AC｜2
=2［｜AO｜2+｜OC｜2］
2.线段的定比分点
有向直线l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段，则和的数量之比
λ=
定比分点公式 若P1、P2两点坐标为(x,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段成定比
λ=(λ≠-1)，
则P点坐标
x=， y=.
(1).中点公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是
x=, y=.
(2)三角形的重心公式 若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是
x=， y=.
3.直线的方程
直线方程的几种形式
名称 已知条件 方程 说明
斜截式 斜率k纵截距b y=kx+bx 不包括y轴和平行于y轴的直线
点斜式 点P1(x1,y1)斜率k y-y1=k(x-x1) 不包括y轴和平行于y轴的直线
两点式 点P1(x1,y1)和P2(x2,y2) = 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线
截距式 横截距a纵坐标b +=1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线
一般式 — Ax+By+C=0 A、B不同时为0
两条直线的位置关系
当直线不平行于坐标轴时：
l1∶y=k1x+b1l2∶y=k2x+b2 l1∶A1x+B1y+C1=0l2∶A2x+B2y+C2=0 l1与l2组成的方程组
平行 k1=k2且b1≠b2 =≠ 无解
重合 k1=k2且b1=b2 == 有无数多解
相交 k1≠k2 = 有唯一解
垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
两条直线的交角公式
(1)直线l1到l2的角 直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1 到l2的角.
计算公式
设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则
tgθ= (k1k2≠-1)
(2)两条直线的夹角 一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫 做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ=
4.点与直线的位置关系
点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是
Ax0+By0+C=0.
点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是
d=
据此可推出：
(1)两平行线间的距离公式
两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为
d=.
5.直线关于点的对称
直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得
直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是
A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0
即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.
“直线关于直线”对称
(1)几种特殊位置的对称
已知曲线f(x,y)=0，则它：
①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；
②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；
③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；
④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；
⑤关于直线线y=-x对称的曲线
f(-y,-x)=0；
⑥关于直线x=a对称的曲线是
f(2a-x,y)=0；
⑦关于直线y=b对称的曲线是
f(x,2b-y)=0
三、知识点、能力点提示
(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点
例1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分线的长.
解： 由两点距离公式求得│AB│=5，│AC│=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线 性质得λ===，从而求得D(，)，故可得│AD│=.
(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一 般形式
例2 一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.
解： 设截距a=b且均不为零，故可设所求直线方程为+=1.由P在直线上，解得a=1，∴所求直线方程为x+y-1=0.但还有一种情况，即a=b=0 ，直线过原点时也合题意，此时直线方程为4x+3y=0.故在使用截距式时必须检验截距为零是 否适合，以防漏解.
(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离
说明 这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.?
使用公式求l1到l2的角时，应注意k1、k2的顺序.过两直线交点的直线系方程中不 包括直线l2.
例3 光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3 ，).求反射光线所在直线方程.
解： 设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x′，y′).
则点(-1，4)与点(x′，y′)的连线段被已知直线垂直平分，故可得
= x′=-
解得
2()+3()-6=0 y′=
，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.
(四)综合例题赏析
例4 如果A·C＜0且B·C＜0，那么直线Ax+By+C=0不 通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解： ∵A·C＜0，B·C＜0
∴A≠0，B≠0，C≠0，
∴Ax+By+C=0可化y=-x-.
∵B·C＜0＜0-＞0，
∴直线和y轴正半轴有交点.
∵A·C＜0，即A和C异号，B·C＜0即B和C异号，
∴A和B同号＞0-＜0，
从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限，不过第三象限.
应选C.
例5 和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是( )
A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
解： 若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c′关于x轴对称，则曲线c′的方程 是f(x，-y)=0.
∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.
应选B.
例6 直线bx+ay=ab(a＜0，b＜0＝的倾斜角是( )
A.arctg(-) B.arctg(-)
C.π-arctg D.π-arctg
解： 直线的倾角范围是［0，π］.
由a＜0，b＜0知a≠0，故原方程可化为y=-x+b.
设此直线的倾角为α，则tgα=-.
由a＜0且b＜0＞0-＜0，
∴a∈(，π).
∴α=π-arctg，
应选C.
例7 若三点P1，P2在一条直线上，点P1和点P2在直角坐标系中的坐标分别为(0，-6)和(3，0)，且=-， 则点P的坐标是_________.
解： 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)和P(x，y)三点在一条直线上，且λ=，则?
x=，y=，
由题设知，x１=0，y1=6，x2=3，y2=0，λ=，代入上面公式 ，得
x===-3,
y=
∴P点坐标是(-3，-12).
例8 通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是( )
A.y=(-2)x+2 B.y=(-1)x+2
C.y=(2-)x+2 D.y=(-1) x+2
解： ∵直线通过点(0，2).
∴直线在y轴上的截距b=2.
∵直线的倾角为15°，
∴直线的斜率k=tg15°=
把k=2-，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-)x+2 .
应选C.
例9 直线3x-2y=6在y轴上的截距是( )?
A. B.-2 C. -3 D.3?
解： ∵3x-2y=6y=-+=1，
又直线的截距为
∴b=-3，即在y轴上的截距为-3.
应选C.
例10 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=( )
A.-3 B.-6 C.- D. ?
解：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A2≠0，B2≠0，C2≠ 0，则有l1∥l2
∴由题设有.
应选B.
例11 如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称 ，那么( )?
A.a=，b=6 B.a=，b=-6
C.a=3，b=-2 D.a=3，b=6
解：若C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称，则C2的方程是f(y,x)=0.
∴直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2，即y=x-.
由题设y=和y=3x-b是同一条直线，
∴,解得
∴应选A.
例12 如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于( )?
A.1 B.- C. - D.-2?
解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，互相垂直的充要条件是 ：
A1A2+B1B2=0
∴由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.
应选D.
例13 点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( )?
A.(5，2) B.(2，-5)?
C.(-5，-2) D.(-2，-5)?
解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R()在y=-x上，且KPQ·(-1)=-1.
∴ 解得
∴对称点Q的坐标是(-5，-2).
应选C.
例14 原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是( )
A.(2，) B.()?
C.(3，4) D.(4，3)?
解：设(m，n)为所求，则
①
②
解得m=4，n=3
∴应选D.
例15 点(0，5)到直线y=2x的距离是( )?
A． B．
C． D．
解：y=2x2x-y=0
∴d=
应选(B)
例16 以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是( )
A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0
C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0
解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，
则│PA│=│PB│
即化简得3x+y+4=0.
应选B.
例17 在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹角为45°，求1的方程.?
解：设1的斜率为k，kOP?=-
∴tg45°===,
得=±1，解出k=-，7?
∴1的方程为y-4=- (x+3)或y-4=7(x+3).
即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.
例18 点(0，1)到直线x+y=2的距离是 .
解：d=
四、能力训练
(一)选择题
1.数轴上有一有向线段，起点A的坐标为-m，终点B的坐标为n，那么此有向线段的数量 可表示为( )?
A.=n-m B.AB=n+m?
C.│AB│=n+m D.AB=n-m?
2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P在直线MN上，且=，则点P的坐标是( )
A.(6，5) B.(9，6)?
C.(0，3) D.(0，3)或(6，5)?
3.直线x+y-1=0的倾斜角是( )?
A. B.-
C. D.
4.方程│x-1│+y=1确定的曲线与x轴围成的图形的面积是( )
A. B.1 C.2 D.4?
5.过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=5 B.3x-2y=0
C.x+y=5或3x-2y=0 D.4x-y=5
6.过点(1，2)倾斜角α的正弦值是的直线的方程是( )
A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0
C.3x-4y+6=0 D.y=±(x-1)+2
7.如果直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y轴上的截距大于零，则( )
A.AB＞0，AC＞0 B.AB＞0，AC＜0
C.AB＜0，AC＞0 D.AB＜0，AC＜0
8.下列各点中，不与P(4，3)、Q(-1，6)两点共线的点是( )
A.(5，6) B.(2，-3)?
C.(3t，t+3)(这里t∈Z)? D.(t+3，3t)(这里t∈Z)?
9.两条不重合的直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要条件是( )
A.m=1，n=1 B.m=-1，n=-1
C.m=1,n≠-1,或m=-1,n≠1?D.m≠±1，n≠±1
10.点(a，b)关于直线x+y=1对称的点的坐标是( )?
A.(1-a，1-b) B.(1-b，1-a)?
C.(-a，-b) D.(-b，-a)?
11.已知0≤θ≤，且点(1，cosθ) 到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于 ，则θ等于( )
A. B. C. D. ?
12.已知直线l1∶x-2y-6=0，l2∶3x-y+4=0下列说法中错误的是( )
A.l1与l2的夹角是45° B.l1到l2的角是45°
C.l2到l1的夹角是45° D.l2到l1的角是135 °
13.l1∶x+3y-7=0，l2∶kx-y-2=0与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k为( )?
A.-3 B.3 C.-6 D.6?
14.已知P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一点R(2，m)使│PR│+│RQ│最小，则m为( )
A. B.0
C.-1 D.-
15.设点A(-1，2)，B(2，-2)，C(0，3)，且M(a，b)是线段AB上的一点(a≠0)，则直线MC的斜率的取值范围是( )?
A.［-，1］ B.［-1，］?
C.［-，0］∪(0，1) D.(-∞ ，-］∪〔1，+∞)?
(二)填空题?
16.两条平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-8=0间的距离是 .?
17.直线x+5=0与直线x+2y-5=0的夹角是 .?
18.直线y=-x+b和5x+3y-31=0的交点在第一象限，那么b的范围是 .?
19.已知点P是直线l上一点，将直线l绕点P沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°＝，所得直 线的方程是x-y-2=0，若将它继续为转90°-α，所得直线的方程2x+y-1=0，则直线l的方程为 .
(三)解答题
20.正方形中心为G(-1，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求这正方 形各边所在直线的方程.
21.已知在△ABC的边上运动的点D、E、F在t=0时分别从A、B、C出发，各以一定的速度向B、 C、A前进，在t=1时分别达到B、C、A，试证明在运动过程中，△DEF的重心是一个定点.?
22.一条光线从点M(5，3)射出，被直线l∶x+y=1反射，入射光线到直线l的角为β，已知tgβ=2，求入射光线与反射光线所在直线的方程.
23.用解析法证明三角形内角平分线性质定理.
24.过点P(2，1)作直线l交x，y轴的正向于A，B的点，求
(1)当△AOB的面积最小值时，直线l的方程.
(2)│PA│·│PB│为最小时，直线l的方程.
25.当θ≠时，求证：方程x2(tg2θ+cos2θ)-2xytgθ+y2sin2θ=0表示过原点的两直线，且其斜率之差 的绝对值为2.
能力训练参考答案
(一)1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D ?
(二)16.；17.-arctg；18.＜b＜；19.略
(三)20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21，证略：22.入射光线：y -3x+12=0,反射光线：3y-x+10=0;23.证略；24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0；25.证略.?
直
线
方
程
位
置
关
系空间直线和平面
知识要点：
重点：直线与平面的位置关系，直线和平面平行、垂直的判定和性质，直线与平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。
难点：三垂线定理及其逆定理之中各线段之间的关系以及三垂线定理的应用，特别是在非正常位置时使用三垂线定理或其逆定理。
1直线不在平面内
直线与平面的位置关系，根据直线和平面按直线是否在平面可以分成两类：
若直线与平面的位置关系按直线和平面有无公共点可分为两类：
以上分类方法是二分法，可以有助于深刻理解所研究对象之间关系，而且对于用反证法证题是十分重要的。
2 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
这就是说要证明或判断平面外的一条直线和平面平行，只要在平面内找出一条直线和已知直线平行就行了。
直线与平面平行的判定定理其实质是用平行几何中直线和直线平行来判断立体几何中直线和平面平行，简记为：“若线线平行，则线面平行”，又称为“由低级到高级”，但是这种简单的记忆要防止两种错误：
（1）“若a // b ，则a // ”此时是否有a, b, 也不知道，倘这就错了。
（2）“若a // b ，b ，则a // ”这种叙述也是错误的，因为a在内不能称为a // 。
关于直线与平面平行的判定定理的证明，掌握教科P18—19的证明就可以，书上的证明简捷明确，证明中题意，方能过A点作c // a。
下面为了扩大同学思路再介绍两种证法。
证法1：∵ a // b, ∴ a, b确定一个平面，
（如图1）∵ b ，
∴ ∩ , 假设a ∩= A
∵ A a，a , ∴ A ，
又A , ∴ A b，∴ a ∩b = A
这与已知a // b矛盾
∴ a ∩ = A不可能，又a在外，故a //
证法2：假设a不平行于平面,
又∵ a ，∴ a∩ = A（图2）
∵ a // b，∴ Ab，设a, b确定平面，则∩ = b,
∵A a，a , ∴ A ,
即A是, 的公共点，于是有平面, 的交线b不经过它们的公共点A，这与公理2矛盾。
所以a与不平行是不可能的，故a //。
评述：教科书的证明是导出的结果与所作的假设矛盾，证法一导出的结果与已知条件矛盾，证法二导出的结果与假设结论的反面成立，其实用反证法证明整个过程都是首先假设结论的反面成立，经过正确的推理，推出矛盾，肯定原结论成立。
3 直线和平面垂直的定义与判定
（1）利用直线与直线的垂线来定义直线与平面的垂直，具体定义如下：
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就称这条直线和这个平面垂直，平面叫做直线的垂面，平面的垂线和平面的交点，称为垂足。
注意：定义中“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义语，但是“任何一条直线”“无数条直线”。
定义的本身，既是判定直线和平面垂线，反过来，若直线与平面垂直，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线。
判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
这里“两条”和“相交”是十分重要的，这个定理给直线与平面垂直的判定带来了很大的方便，但是证明是比较麻烦，其思维方法和证明中辅助线添加很有讲究，具体证明可看课本。
思考：（1）如果一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线和这个平面垂直吗？
（2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，这条直线和这个平面垂直吗？观察下面两个图，回答是否定的。
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面。
利用直线和平面垂直的判定定理和异面直线垂直的概念，很容易此定理成立。
4 三垂线定理
三垂线定理及其逆定理是研究空间直线与直线互相垂直的十分重要的理论依据，许多空间图形的问题都是通过这两个定理转化为平面图形的问题而得到解决的。
（1）三垂线定理的实质是：斜线和斜线在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线，因此斜线、射影（该斜线的射影）再加上平面的垂线，这三条直线同时垂直于平面内的某条直线，这就是“三垂线定理”命名的由来。
（2）运用三垂线定理时，不要只习惯于在水平平面，更要注意竖直或倾斜放置的平面。
定理强调了平面内的直线、平面的斜线、平面的垂线，由斜足与垂足连线就得到斜线在平面内的射影，这里平面是考虑问题的着眼点，抓住了平面和射影和概念，关系十分清楚。
5 直线和平面所成的角及直线与平面的距离
直线和平面所成角的定义由三部分组成：
（1）一直线和平面平行，或直线在平面内，规定直线和平面成0°角；
（2）平面的垂线和平面所成的角规定为90°；
（3）平面的一条斜线和平面所成角定义为：这斜线和它在平面内的射影所成的锐角。
因此，直线和平面所成角的范围是，直线和平面的距离。
平面外一点到平面的距离是从这点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离。（归结为两点之间的距离）
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离（最终归结为两点之间的距离）。求曲线方程
知识要点：
一、主要方法：
待定系数法：轨迹法
二、求曲线的方程的步骤:
1建立直角坐标系
2设曲线上任意一点的坐标为（ x、y）
3根据曲线上点所适合的条件，列出方程
4化简方程
5证明所得的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
注：（1）曲线可以看成是按着某种条件运动的点所形成的轨迹，所以上述的方法也叫动点轨迹法。
（2）上述步骤中5一般可省略。
三、使用条件：
由题设可知曲线的种类及方程的具体形式使可用待定系数法；
题设给出了动点的运动规律，但由此规律得到的曲线种类及方程的具体形式不明确。便可用轨迹法来求解。
待定系数法求曲线方程：
（1）圆锥曲线的标准方程：
圆的标准方程：
圆的一般方程：
椭圆的标准方程：焦点在x轴时
焦点在y 轴时
双曲线的标准方程：焦点在x轴时
焦点在y 轴时
抛物线的标准方程：
（2）直线l与锥英线相交得到的弦长公式：
直线l：
曲线C：
相交于两个点
则：
（3）解方程组
解以待定系数为未知数的方程建立的方程，求出待定系数的值。
①判定曲线类型，设出所求曲线的方程。（方程中含有待定系数）
②以待定系数为未知数，建立相关的方程组。
③解方程组，求出待定系数的值。
④确定曲线方程。（将待定系数的值代回到曲线方程中）
四、曲线的交点：
两条曲线交点的坐标是两个曲线方程组成的方程组的实数解。
五、圆的方程：
1、圆的标准方程：
2、圆的一般方程：有向线段、定比分点
知识要点：
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科。平面解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线（包括直线）的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
在平面几何和立体几何中，所用的研究方法是以公理为基础，通过推理论证来研究几何图形性质的。一些不规范的几何图形（椭圆、抛物线）的几何性质很难用推理论证的方法研究，通过恰当建立坐标系，使形和数之间确定了一种一一对应关系转而用代数方法解决。
如：四边形ABCD在平面直角坐标系中各点坐标分别为A(1, 0)、B(0, 1)、C(－1， 0)、D(0, －1)，求这个四边形所在的曲线方程。
在解析几何中，曲线被看成是点运动的轨迹，方程则是由坐标在一定约束条件下形成的一种关系。这样，可设四边形ABCD上任意一点为M(x, y)，整个四边形可看成M (x, y)点在一定条件约束下运动的轨迹，M点的横纵坐标x, y满足的关系f (x, y) = 0就是所求的曲线方程。
依题意，有|x| + |y| = 1为所求四边形ABCD所在曲线方程。
另外，若已知曲线方程为|x| + |y| = 1，我们可以用代数方法得出该图形的一些几何性质。以－x换x有|－x| + |y| = |x| + |y|方程不变，故图形关于y轴对称；同理可证图形关于x轴、原点y = x，y=－x均对称。
几何图形可以看成点运动的轨迹，方程则是由坐标在一定约束条件下形成的一种关系。因此，运动和变化的思想是解析几何的一种基本思想。
几何图形（它们的形状、大小和位置关系）是解析几何的研究对象，而代数方法（方程的方法）则是解析几何中的主要研究方法。因此，数形结合的思想，方程与函数的思想是解析几何中重要的思想方法。
1．有向线段
AB、|AB|、有区别：AB与|AB|是数，AB是有向线段的数量，可正，可负也可为零；|AB|是有向线段的长度，即两点的距离，不能为负值。是形，它是一条规定了方向的线段，在三角函数中我们学习的正弦线、余弦线、正切线等都是有向线段。
数轴上的有向线段中，AB = xB－xA，| AB | = |xB－xA|。由此可见，绝对值|x－a|的几何意义就是数轴上数x, a对应的两点的距离。|x| = |x－0|就是数轴上数x, 0对应的两点的距离，即数x对应的点到原点距离。|x + b| = |x－(－b)|就是数轴上数x、－b对应的两点的距离。
2．平面上两点的距离
若公式是在平面直角坐标系中采用坐标法利用勾股定理证得的。坐标法有着广泛的应用，正余弦定理的证明、两角和余弦公式的证明等采用的都是坐标法。两点的距离公式常变形为
3．线段的定比分点
有向线段l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段和，和数量的比叫做点P分所成的比，通常用字母表示。注意的定比分点P在有向直线l上，可以在有向线段上，延长线上或反向延长线上：
①(0, +)，有
②无意义，有
③ (－, －1)，有
④ = 0，有
⑤ (－1, 0)，有
⑥= －1，有 （P为不与P1(P2)重合的任意点）
定比的求法通常有三种：
①
②先求再确定的符号
③
定比分点P (x, y)坐标公式：
中点坐标公式
三角形重心坐标公式
应当用运动的观点来看待定比分点坐标公式。当为某一确定的值时，点 表示有向直线l上的一个定点。当变化时，点P也随着的值的变化在l上运动。当取遍除－1以外的任何值时，点P也会跑遍直线l上除P2外的所有点。因此，直线P1P2上除P2外任意一点坐标都可以表示为的形式，反之，点的坐标只要可表示为的形式，则点一定在直线l上。
已知A(x1, y1)、B (x0, y0)，点A关于B的对称点C (x2, y2)，可由求得，也可由直接求得
已知点P (x, y)，则
①关于y轴的对称点(－x, y)
②关于x轴的对称点(x, －y)
③关于原点的对称点(－x, －y)
④关于直线y = x的对称点(y, x)
⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)求复数的辐角、辐角主值
知识要点：
一、基础知识
1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos θ+ isinθ）
其中 θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角
因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）
③辐角主值
表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。
定义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值
唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模是唯一的。
⑤z=0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示
在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图）
何量
何量
何量
与复数z2－z1对应的向量为
显然oz∥z1z2
则argz1=∠xoz1=θ1
argz2=∠xoz2=θ2
argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z1=r1（cosθ1+isinθ1） z2=r2（cosθ2+isinθ2）
①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
如图：其对应的向量分别为
显然积对应的辐角是θ1+θ2
< 1 > 若θ2 > 0 则由逆时针旋转θ2角模变为的r2倍所得向量便是积z1·z2=z的向量。
< 2 >若θ2< 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z的向量。
为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=za z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法 （其中 z2≠0）
除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
< 1 >。
< 2 >。
二、基本方法
求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：
1）化复数为三角形式
如 求复数
这样化成三角式 ∴复数的辐角是（）
辐角主值为
∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为
2）直接求辐角及主值
主要是使用复数代数式 、三角式的互化：
若z=a+bi （a,b∈R）
则辐角为θ则，θ依点z（a,b）所在象限确定。
如上例
设辐角为θ则tgθ=－1
∵ 点z（）在第四象限 ∴ tg θ=tg
而arg z=
3）数形结合
主要是复数运算的几何意义得到的解法空间直线和平面
知识要点：
1、直线与平面的位置关系:
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线在平面外
它们的画法通常如下图所示
为了直观性, 图①中的直线不画出平行四边形的内部, 图②中的直线要画到平行四边形的外部, 图③中的直线与平行四边形的一条边平行, 且在外部。
2、直线与平面平行
①注意: 若直线和平面平行, 则直线不一定与平面内的所有直都平行, 例如右图中: a∥, b, 但。
②直线与平面平行的判定定理和性质定理是线面平行与线线平行相互转化的依据。
3、直线与平面垂直
①注意判定定理中的“平面内的两条相交直线”的“相交”两个字, 若缺少“相交”两个字, 则直线不一定与平面垂直, 如右图: ab, ac, b, c<, 但a不垂直于 。
②直线与平面垂直的判定与性质, 是线面垂直与线线垂直相互转化的依据。
4、距离（包括点到平面的距直线平面的距离）
①点到平面的距离, 一般先找出点在平面上的射影, 然后求解。这种类型的题, 要确定射影的具体位置, 才能确定出距离。
②直线与平面的距离, 转化为直线上任一点到平面的距离。
5、直线与平面所成角
①若直线与平面平行或在平面内, 则所成角为0。
②若直线与平面垂直, 则所成角为90。
③若直线与平面斜交, 一般过直线上一点作平面的垂线, 然后确定直线在平面上的射影, 则直线与射影之间的角为所成角。在选取直线上的点时, 一般根据题意选择特殊的点, 如线段的端点、中点、比例点等作垂线。
6、三垂线定理及逆定理
①要注意三垂线定理及逆定理使用的条件, 不能混淆。
②应用三垂线定理及逆定理, 要善于从不同位置找出定理所满足的条件, 有时平面是竖直或倾斜的。
7、有关的命题或结论
（1）如果两条平行直线中的一条垂直于平面, 则另一条也垂直于该平面。
（2）若P为△ABC所在平面外一点, O是点P在内的射影。
①若PA = PB = PC或PA、PB、PC与所成角均相等, 则O为△ABC的外心。
②若P到△ABC的三边的距离相等, 则O为△ABC的内心
③若PA、PB、PC两两互相垂直, 或PABC, PBAC, 则O为△ABC的垂心。直线的方程
知识要点：
直线是平面解析几何研究的第一种几何图形，其几何性质是：直而广。很明显直线的这种性质很难用平面几何的方法体现，可用代数方法通过倾斜角、斜率来表示它的“直”，用直线方程中x、y的取值范围来说明它的“广”。
一次函数的图像是一条直线，但并不是所有的直线都是一次函数。如，等直线就不是一次函数。
直线是一种几何图形，方程是一种代数方法。用方程表示直线，用直线展示方程都是数形结合的体现。无论“直线的方程”还是“方程的直线”都应同时满足以下两点：①以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；②这条直线上点的坐标都是这个方程的解。如ABC中，，其中线AO的方程是而不是直线。再如：到两坐标轴距离相等的点组成的图形是和，而不是直线。若说方程是某一直线的方程必须保证方程的解为坐标的点都在直线上，且直线上点的坐标都是方程的解；若讲直线是某一方程的直线必须保证直线上的点的坐标都是方程的解，且方程的解为坐标的点都在直线上。两条缺一不可。
1、直线方程的基本量：倾斜角、斜率及截距。
（1）倾斜角：是个方向角，是运动变化观点下定义的角。如右图，倾斜角是直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角。这个角的顶点是任意的，是运动变化的。直线倾斜角的范围。
（2）斜率：倾斜角的正切叫直线的斜率。并不是所有的直线都有斜率，倾斜角不是的直线才有斜率。斜率是揭示直线倾斜程度的代数量，依正切函数的图象知,当倾斜角时,,且倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角时，并且倾斜角越大，斜率也越大。
直线的“直”这个性质可以在直线上任取三点A、B、C,通过AB的倾斜角等于BC的倾斜角验证;也可通过来说明。
倾斜角不为的直线的斜率公式是：。（，是直线上两点。）
（3）截距：截距不是距离，是坐标。横截距a是指直线与x轴交点的横坐标；纵截距b是指直线与y轴交点的纵坐标。
并不是所有的直线都有截距。倾斜角的直线横截距a不存在，倾斜角的直线纵截距b不存在。倾斜角∪的大量的直线有截距，，；横、纵截距都不存在的直线没有。
2、直线方程的几种形式：
（1）点斜式：，并不是所有的直线都能用点斜式表示。倾斜角的直线可用点斜式。对于任意一条直线的方程应设为或。
（2）斜截式：，它是点斜式的特殊形式。此时直线过点，斜率为k。同样，也并不是所有的直线都能用斜截式表示。倾斜角的直线k，b同时存在，可用斜截式表示。（k不存在，则b一定不存在；b不存在，则k一定不存在）对于任意一条直线l的方程应设为或。由此可见一次函数中k，b的几何意义。
（3）两点式：，它不能表示倾斜角及的直线。对于任意一条直线l的方程应设为或或。如果把两点式进行一下同解变形为就可以表示为任意的直线了。
（4）截距式：，它是两点式的特殊形式，其中的两点为和。它不能表示a，b不存在或为零的直线，即表示不了倾斜角及和过原点的直线。对于a、b来说，可能有一者不存在但不可能都不存在，可能都存在且时同时成立。对于任意一条直线l的方程应设为或或或。
（5）一般式：，其中A、B不能同时为零。它可以表示任意一条直线。在平面直角坐标系下，，等方程可是关于x、y的二元一次方程。对于来说x为a，对于来说y为b，。所有的关于x、y的二元一次方程都是关于某条直线的方程；所有的直线方程都是关于x、y的二元一次方程。
3、直线方程的求法：直线l的方程通常有两种求法：（1）设模型——一般式、点斜式、斜截式、截距式、两点式等；（2）求轨迹——通过设所求直线上任意一点的坐标，根据已知条件确定关于x、y的二元一次方程即可。高三数学总复习
幂函数、指数函数、对数函数
知识要点：
在高中数学课程学完之后, 进行函数的总复习时, 不应局限于高一代数学习函数时的内容, 而应从数学是一个有机的整体角度去进行复习, 关于函数的总复习注意以下几点:
1、要意识到函数在中学数学中的地位和作用。
函数是高中数学的重要内容, 函数的思想和方法贯穿于高中数学, 它好象一条纽带, 把高中数学的各个分支紧密地联系在一起, 在解决各种数学问题和实际应用问题时具有重要作用, 因此要注意从数学是有机的整体, 从知识的系统、知识的结构和知识的内在联系上去认识函数。
2、深刻理解函数的有关概念, 灵活运用基本知识和方法
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、反函数、函数的图象等概念是重点内容, 只有对概念做到准确、深刻的理解, 才能正确、灵活地运用。
3、用函数的思想去揭示函数和其它数学知识之间的联系
函数是变量数学的基础, 在研究变量之间的相互关系时, 经常涉及函数、方程, 不等式之间的必然联系, 同时注意建立数形结合的思想和观点, 利用函数的图象和性质去处理和解决有关数学问题。
4、通过函数方面的证明题, 提高逻辑思维能力和书面表达能力。
最近几年高考时, 强调通过代数证明题, 加强对思维能力和书面表达能力的考查。代数证明题也是学生的薄弱环节, 因此在函数的复习过程中, 要有意识地进行代数证明题方面的训练。
5、通过函数方面的应用问题, 培养应用数学的意识, 提高分析和解决问题的能力。
对应用题的解决不能突击, 要渗透到高三复习的全过程, 联系复习内容都要涉及有关应用题, 培养学生运用数学的意识。
由于本章内容较多, 将辅导内容分为两个专题: (一)集合与函数; (二)几类特殊函数。
(1)集合与函数
本专题主要涉及集合与映射, 函数与反函数, 函数的定义域和值域, 函数的图象, 函数的性质, 函数的最值等方面知识。
1、集合与映射
(1)集合的表示法
主要有列举法、描述法和图示法三种。要注意下列字母所示的集合: N、Z、Q、R、C、Q－、R+、, 及区间[a, b)表示等
(2)集合与集合之间的关系
①子集 若, 称A是B的子集, 记作。
②真子集 若。称A是B的真子集, 记作。
③集合的相等 若, 则A = B。
(3)集合的运算
①交集
②并集
③补集 若I是全集, 。
在集合的运算时, 有时还有到以下性质:
交换律: 。
结合律:
。
分配律:
反演律:
2、函数与反函数的概念
函数的概念主要涉及函数的定义, 函数的表示方法。求函数的定义域, 反函数的概念, 以及复合函数的概念。
对于复合函数的概念可以这样理解:
如果y是u的函数, 而u又是x的函数, 即y = f(u), u = g(x), 那么y关于x的函数叫做y关于x的复合函数, u叫做中间变量。
如, 可视为, u是中间变量, y是x的复合函数。
在中学数学中, 遇到的大量的是复合函数。
3、函数的图象
函数的图象是函数的一种表示形式, 它反映了从“图形”方面来刻划函数的变化规律, 通过观察函数的图象, 可以形象地揭示函数的有关性质, 加深对函数性质的理解, 同时也可用数形结合的方法去解决某些问题。
在高考试题中, 有关函数图象主要考查:
(1)基本初等函数图象的特征
主要指一次函数, 二次函数, 正比例函数, 反比例函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数等。
(2)能用描点法作出函数的图象, 并能分析它的有关性质特征。
如定义域(注意间断点)、值域、在x轴、y轴上的截距, 对称性, 延伸趋势等。
(3)函数的图象变换
①平移变换的图象之间的关系。
②对称变换 函数y = f(x)与y = －f(x)的图象关于x轴对称; 函数y = f(x)与y = f(－x)的图象关于y轴对称; 函数y = f(x)与y = －f(－x)的图象关于原点对称; 函数y = f(x)与
y = f－1(x)的图象关于直线y = x对称。
③翻折变换 注意分清函数的关系, 的关系。
④伸缩变换 函数的图象关系; 函数的图象关系。
4、函数的性质
函数的性质主要指函数的单调性, 奇偶性和周期性
(1)单调性
由定义判断函数f(x)在(定义域)上的增减性的步骤:
①设任意, 且x1 < x2;
②作差f(x2)－f(x1), 并将其变形;
③判断f(x2)－f(x1)的正负号
(2)奇偶性
①要正确理解奇函数和偶函数的定义, 函数f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是函数的定义域在数轴上所对应的点集关于原点对称。
②定义和下面叙述的等价形式是判断函数奇偶性的依据:
。
③用图象判断函数的奇偶性
函数f(x)的图象关于y轴对称是偶函数;
函数f(x)的图象关于原点对称是奇函数。
(3)周期性
函数的周期性, 是在高一三角函数中学的, 但是代数函数也经常涉及到周期性, 也是高考涉及到的问题, 要加以重视。数学归纳法
知识要点：
这是一种证题术, 是解决与自然段有关的命题时, 使用的一种证明方法。
如在推导等比数列的通项公式中
这样, 可以归纳出等比数列的通项公式是:
这个推理方法是由一系列有限的特殊事例归纳出一般的结论, 通常称为归纳法。
由归纳法得出的结论有时是不正确的。只有完全归纳, 即时命题所涉及到的所有情况一一进行证明后, 结论才是正确的、准确的。但对于与自然段有关的命题, 因自然效果是无限集, 不可能对每个自然数命题均成立进行完全归纳的证明。而只使用归纳法证明得到的结论又不一定准确, 故而用数学归纳法对与自然数有关的命题进行证明。第一步, 先证明当n取第一个值n时命题成立; 第二步, 假设当n = k时命题成立, 证明当n = k + 1时命题也成立, 这种证明方法叫数学归纳法。这里运用的是自然段的“后续性”通过第一步及第二步证明就断定命题对于n取第一值后面的所有自然数都成立。实际上起到了完全归纳的作用。
主要步骤
1、证明当n取第一个值n0（例如n0 = 1或2等）时结论正确;
2、假设当时结论正确（归纳假设）证明当n = k+1时结论也正确。
综合1、2对任何命题均正确。
主要应用与自然数有关的命题用数学归纳法证明:
1、等式证明
2、不等式的证明（代数不等式、三角不等式）
3、整除问题
4、平面几何的有关命题
5、数列中观察—归纳—猜想—证明的问题
有关平面图形解的证明:
在平面图形的一类解中与自然数有关的命题一般使用数学归纳法来证比较简捷如:
1、平面内有几条直线, 其中任何两条不平行, 任何三条不过同一点, 证明交点的个数是
2、凸n边形的内角和
3、凸n边形的对角线条数等等
这些命题用数学归纳法证明时, 难点在假设n = k时命题成立推出n = k + 1时命题也成立中必须分析凸多边形（或图形）的形状变化规律, 推理严谨, 表达要清楚。现在给出下个题目的证明。
应用
这里主要指在观察—归纳—猜想—证明中的应用, 就是由题设条件求出数列的前几项, 然后归纳出一般表达式, 形成猜想, 最后再用数学归纳法加以证明, 得出正确的结论。圆及期末复习
一、圆：
知识要点：
圆：平面内到定点距离为定长的点的轨迹。
1、圆的方程：
标准方程：，其中圆心为点，半径为r。
一般方程：，其中圆心为，半径为。
半径是r且与x轴相切于点的圆的方程是。
半径是r且与y轴相切于点的圆的方程是。
半径是r且与x轴、y轴都相切的圆的方程是。
2、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
若设圆心到直线l的距离为d，则可据点到直线的距离来判定直线与圆的位置关系：
另外，还可通过解直线和圆所组成的方程组，得到关于x或y的一元二次方程，通过计算判别式，由方程解的情况来判别：
过圆上任意一点，圆的切线方程为：。
过圆：上任意一点圆的切线方程为：
。
过圆：上任意一点，圆的切线方程为：
。
由直线和圆位置关系的判定方法，易得出直线和圆相切的充要条件是的结论。
3、两圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。
若设两圆半径分别为R和r，圆心距为d则有：
二、期末复习
知识要点：
1、不等式：
不等式是解决方程与函数问题、解析几何问题、实际应用问题的工具，体现了数形结合思想、方程与函数思想、分类与归纳思想、等价转化思想等数学思想，通过不等式的学习可以培养逻辑思维能力、运算能力和分析问题、解决问题能力。
不等式内容可分（1）不等式的性质；（2）不等式的证明；（3）不等式的解法；（4）不等式的应用四个部分。
（1）不等式的性质
公理：
基本性质：对称性、传递性、移动法则——、化系数为1——
运算性质：加（减）法、乘（除）法、乘方、开方、函数的单调性。
基本不等式： （，当且仅当时，取“”）
（，当且仅当时，取“”）
（，当且仅当a = b = c时，取“”）
（，当且仅当a = b = c时，取“”）
（，当且仅当
时，取“”；当且仅当且时，取“”）
（2）不等式的证明
不等式的证明有如下常用的方法：
比较法、分析综合法、基本不等式法以及反证法。
（3）不等式的解法
充分运用数轴与图象的直观，把解不等式问题转化为解不等式组问题，找全辅助不等式是解不等式的基本原则。
解不等式的方法通常有：图象法、变换法两种。其中图象法除用来解最基本的一元一次不等式，一元二次不等式外，还可用来解高次不等式，三角（反三角）不等式，变换法的宗旨是将复杂不等式转化成一元一次不等式和一元二次不等式（组）求解。其中换元法是常用的变换方法，除此之外，常用的方法还有：
移项通分法——分式不等式，
平方讨论法——根式不等式，
函数单调性——指数、对数不等式，
零点分区间法——绝对值不等式。
（4）不等式的应用
均值定理求最值是不等式的最重要应用，其中
，当
Ⅰ、
Ⅱ、不等式的一边为常数
Ⅲ、等号可取
时，这引些基本不等式可以用来求最值。
2、直线：
直线是解析几何研究的最基本的曲线。通过平面直角坐标系的引入，可以根据两点间的距离公式、线段定比分点坐标公式等代数方法解决几何问题。
（1）直线方程的基本量：倾斜角、斜率与截距a、b。
直线几何性质——直线可以由倾斜角、斜率来描述，通过二元一次方程中，可以说明其无限延展性。直线的倾斜角是x轴到直线的角，不是x轴与直线的夹角。直线的截距a，b体现了直线与x轴的交点 (a,0)及与y轴的交点(0,b)。
（2）直线方程的求法：直线方程有两种求法——求轨迹和设模型法。
点斜式等基本模式是根据求轨迹方程的方法求出的，这种方法可以用来解一些特殊情况下求直线方程的问题。
设模型——、及，用待定系数法同时注意直线方程各种形式的局限性是最常用的求直线方程的方法。
（3）两条直线的位置关系：相交、平行、重合
两条直线的位置关系可以通过斜率及在y轴上的截距用几何方法判断，也可以通过二元一次方程对应系数的比用代数方法判断。
从定量的角度研究两条直线的交点、夹角、到角、距离，可以用解方程组
求两条直线的交点，用tg、tg求夹角、到角，用求点到直线的距离和两条平行线的距离。
3、数列：数列、无究数列的极限及数学归纳法
数列是函数值列，“会数项”、“能通过数列的片断归纳得出通项的规律”是数列中两上基本问题。等差数列、等比数列是两种基本数列，要注意将其他数列转化为等差数列、等比数列解决。是一般数列的通项与前n项和应遵循的规律。将等差数列问题通过，转化为解关于，d的方程组求解；将等比数列问题通过转化为解关于，q的方程组求解。
数列的通项公式求法中常见的有：前n项和公式法、归纳猜想证明法和等差等比数列转化法；数列的前n项和公式求法中常见的有：错位相减法、归纳猜想证明法。
无穷数列的两上基本极限：四则运算法则，成立的条件：各项均有极限，对有限次四则运算成立。
通过“除的方法”及用求极限是常用的方法。
数学归纳法是用来证明同自然数有关的命题的，对于求数列的通项公式、前n项和公式数学归纳法是最常用的重要方法。
用数学归纳法证题要恰当运用分析法，主要有如下三个步骤：
①归纳基础：证n取第一个值时命题成立。
②证传递性：由成立证明时命题成立。
③得出结论：综合，时命题成立。
4、曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解之间建立了如下的关系。
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
在曲线中，令x = 0，得出y的值就是曲线在y轴上的截距；令y = 0，得出的x值就是曲线在x轴上的截距。
在曲线的方程中，以－x代x方程不变，即，则曲线关于y轴对称；以代y，方程不变，即，则曲线关于x轴对称；以、代x、y方程不变，即，则曲线关于原点对称。
确定曲线范围的方法有两种：一是将方程变形为的形式，求定义域，即可得到自变量x的取值范围，同时可求y的取值范围；二是将曲线方程变为关于x或y的一元二次方程，令判别式，则可确定y或x的取值范围。
两条曲线的交点问题可分如下两种情况解决：
一是直线与二次曲线的位置关系可以通过判别式确定方程组的解来判断；
二是两条二次曲线的位置关系不能单凭判别式还必须结合图形考虑来判断。
充要条件问题可以分：充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件四种，在解决充要条件问题时要注意大前提和倒装句：“两条有斜率且不重合的直线平行的充要条件是斜率相等”——“两条有斜率且不重合”就是考虑由及由的公共前提；“甲的充分不必要条件是乙”这就是一个倒装句，其意义为：乙是甲的充分不必要条件，即乙甲且甲乙。
充要条件在解析几何、方程与不等式中都有着非常重要的作用，学习过这部分内容后解决问题就应逐步具备充要条件的思想。两条直线的位置关系及曲线和方程
知识要点：
1、两条直线的位置关系: 平行、相交、重合有两种判断方法。一是几何方法——l1、l2的倾斜角, 即K1 = K2且纵截距时l1∥l2; l1、l2的倾斜角且横截距时l1∥l2 。l1、l2的倾斜角, 即或K1, K2中一个存在一个不存在时, l 1与l2相交。l1、l2的倾斜角, 即K1 = K2且纵截距b1 = b2时, l1与l2重合; l1、l2的倾斜角且横截距a1 = a2时, l1与l2重合。另一种是代数方法, 通过方程组解的情况判断两条直线的位置关系, 即: A2、B2、C2均不为零时: 有l1∥l2; 有l1与l2相交; 有l1与l2重合。若A2、B2、C2有为零时, 可以更容易判断。另外, 将上述分式变形一下便可得出更普通的结论。
A1B2 = A2B1且时l1∥l2;
时l1与l2重合;
时l1与l2相交。
2、两条直线的平行与垂直:
①斜率互为负倒数两条直线互相垂直;
②两条直线互相垂直斜率互为负倒数;
③两条有斜率的直线互相垂直斜率互为负倒数;
④两条直线A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0互直垂直。
⑤斜率相等两条直线平行;
⑥两条直线平行斜率相等;
⑦两条有斜率且不重合的直线平行它们的斜率相等。
3、两条直线的数量关系:
①两条直线的交点——通过方程组求解:
,
两条直线交点为P(x0, y0)。
②两条直线所成的角:
Ⅰ、直线l1: A1x + B1y + C1 = 0的倾斜角为, l2: A2x + B2y + C2 = 0的倾斜角为, l1到l2的角有, 其中均不为直角, 。
Ⅱ、直线l1: A1x + B1y + C1 = 0的倾斜角为, l2: A2x + B2y + C2 = 0的倾斜角为, l1与l2的夹角有: , 其中均不为直角, 。
③点到直线的距离:
Ⅰ、点P(x0, y0)到直线l: Ax + By + C = 0的距离。
证明: 设直线l上任意一点为Q(x, y), 则,
若直线l中B = 0, 则
此时,
公式成立。
若直线l中
∴
当时
分子继续
∴,
因此, 成立。
Ⅱ、两条平行线l1: Ax + By + C1 = 0, l2: Ax + By + C2 = 0的距离
证明: 设l 1: Ax + By + C1 = 0上任意一点为P(x0, y0)
则P点到l2: Ax + By + C2 = 0的距离为:
∵P(x0, y0)在l1: Ax + By + C1 = 0上,
∴Ax0 + By0 + C1 = 0故Ax0 + By0 = －C1
代入
4、曲线和方程:
(1)曲线的方程、方程的曲线的概念:
曲线: 符合某一特定条件的点的集合, 也可以定义为平面内按某一特定条件运动的动点的轨迹; 平面直角坐标系下的二元方程的一般形式为F(x1y) = 0。
如果曲线上的点的坐标都是方程的解, 并且以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。那么这条曲线叫这个方程的曲线, 这个方程叫这条曲线的方程。
(2)求曲线方程的步骤:
Ⅰ、恰当建立平面直角坐标系, 设定点、动点坐标——使图形上的点尽可能多地落在坐标轴上, 尽量考虑图形的对称性。
Ⅱ、依题意, 列方程或方程组——方程的个数 = 未知数的个数－1。
Ⅲ、化简方程, 得F(x1y) = 0 。
Ⅳ、考虑曲线与方程的一致性。
(3)充要条件问题:
Ⅰ、四种命题: 原命题
逆命题
否命题
逆否命题
其中, 原命题与逆否命题等价; 逆命题与否命题互为逆否命题亦等价。另外, AB并不是的否命题, 而是一对矛盾不相容命题, 确切地讲, AB并不是的否命题, 而是另一个新的命题。
Ⅱ、充要条件问题:
对于命题, 在初中我们通常把A叫条件, B叫结论。在充要条件问题中, 把A、B均称为条件。
若且BA, 则称A为B的充分非必要条件;
若AB且, 则称A为B的必要非充分条件;
若且, 则称A为B的充要条件;
若AB且BA, 则称A为B的既不充分也不必要条件;
若, 则称A为B的充分条件;
若, 则称A为B的必要条件。
(4)曲线的交点
Ⅰ、两条曲线的交点: 解二元一次方程组
Ⅱ、直线与曲线的交点: 解方程组, 判别式法
Ⅲ、两条非直线的曲线的交点: 通过方程组, 用判别式, 并结合图形考虑。