人教版七年级数学上册4.2直线、射线、线段 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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人教版七年级数学上册 4.2 直线、射线、线段 导学案
【知识清单】
1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。
射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系：点p在直线a上(或说直线a经过点p)；
点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。
过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。
3、线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。
两点间的距离：连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法
判断：① 两点间的距离是指两点间的线段。 ( )
② 两点间连线的长度叫这两点间的距离。 ( )。
【典型例题】
考点1：直线、身线、线段的联系与区别
例1．乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】根据题意确定出数学模型，五点确定出线段的条数，计算即可得出答案．
【详解】根据题意得：从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有：种
故选C．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键．
考点2：线段
例2．下列说法错误的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．若点C在线段上，则
C．若，则点C一定在线段外
D．若，则点P是线段的中点
【答案】D
【分析】根据线段的性质、线段的和差、线段中点的定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】解：A，两点之间，线段最短．该说法正确，不合题意；
B，若点C在线段上，则．该说法正确，不合题意；
C，若，则点C一定在线段外．该说法正确，不合题意；
D，若，点P不一定是线段的中点，也可能是线段外的点．该选项说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了线段中点、线段和差、线段的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键 ．
考点3：两点间的距离
例3．位于直线上的线段，cm，cm，则A，C两点间的距离是（ ）
A．4cm B．16cm C．4cm或16cm D．不能确定
【答案】C
【分析】分类讨论：点C在线段上和点C在射线上两种情况解答．
【详解】解：分两种情况：
①点C在线段上，则；

②点C在线段的延长线上，．

故选C．
【点睛】本题考查了两点间的距离．需要分类讨论，以防漏解．
【巩固提升】
1．下列说法中正确的个数为（ ）
（1）不一定是偶数；（2）单项式的系数是，次数是3；（3）小数都是有理数；（4）多项式是五次三项式；（5）连接两点的线段叫做这两点的距离；（6）射线比直线小一半．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．根据语句“直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P．”画出的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，请用直尺判断在线段延长线上的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
4．在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成（ ）部分.
A．4 B．5 C．6 D．7
5．有10条不同的直线，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，则这10条直线的交点个数最多是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
6．从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　）
A．12种 B．10种 C．6种 D．4种
7．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A． B． C． D．
8．下面的长度最接近你手中笔的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，线段，点C是的中点，点D在上且，则线段CD的长（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点在线段的延长线上，且，是的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（　　）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
12．工程队在修建高速公路时，需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样做用到的原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
13．如图，，C为的中点，点D在线段上，且则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
14．图中有几条 条直线．
15．从哈尔滨开北京的复兴号途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么应发行 种不同的车票．
16．2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
17．如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．
18．如图，点在线段上，点为的中点，点为的中点，若，则线段 ．
19．如图，为线段上一点，，，点从点出发沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，当运动时间为 秒时，．
20．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
三、解答题
21．如图，四个点、、、，根据下列要求画图：
(1)画直线；
(2)做射线；
(3)画线段；
(4)连接，并将其反向延长至，使．
22．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
(1)这n条直线共有多少个交点？
(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？
23．如图，，点C在线段上，，点B是的中点，求线段的长．
24．如图，已知线段．
(1)尺规作图：反向 延长到点，使；
(2)若点是的中点，点是的中点，，求的长．
25．观察图形，并回答下列问题：
(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；
(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？
参考答案
1．A
【分析】根据两点间的距离的定义以及直线和线段的性质、利用有理数的定义、单项式的次数与项数的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：（1）不一定是偶数，原说法错误；
（2）单项式的系数是，次数是3，原说法错误；
（3）有限小数或无限循环小数都是有理数．原说法错误；
（4）多项式是三次三项式．原说法错误；
（5）连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，原说法错误；
（6）射线与直线都是无限长的，原说法错误．
说法中正确的有0个．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离的定义，直线、射线、线段，直线和线段的性质及单项式的定义，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．
2．D
【分析】利用几何语言对各选项进行判断即可．
【详解】解：直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P，
点P不是两直线的交点，
图形如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，熟记作图方法及准确读懂几何语言的是解题的关键．
3．D
【分析】让直尺一端与重合即可求解．
【详解】解：让直尺一端与 重合
可知点在的延长线上
故选：D
【点睛】本题考查线段的延长线．需注意点是在线段的反向延长线上．
4．A
【分析】根据平面内互不重合的三条直线的位置分析判断即可．
【详解】解：在同一平面内，当三条互不重合的直线相互平行时，把平面分成4部分，分成的部分最少．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面内直线位置关系，充分考虑平面内三条直线不同的位置关系并分类讨论是解题关键．
5．C
【分析】根据，，可知：直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点，由此即可求解此题．
【详解】解：由直线且，可得：
直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点，
则直线1，2，3，4，5，7，8，10的交点数量为：，
再加上2，3两条直线增加的交点数量为：，
所以得出交点最多就是条，
故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键在于分析得出三条平行三条相交．
6．A
【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数．
【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，
∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种），
故选：A．
【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票．
7．C
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析求解即可．
【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
综上可得：可以用“两点确定一条直线”来解释，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
8．C
【分析】首先要对常见物体的长度有个初步了解，再根据对长度单位的认识，可解答．
【详解】解：根据生活经验，在四个长度值中，笔的长度最接近．
故选：C．
【点睛】此题考查对生活中常见物体长度的估测，结合对生活的了解和对物理单位的认识，可解答此题．
9．A
【分析】根据中点的定义得出，再根据，即可求解．
【详解】解：∵，点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的计算，以及根据图形得出线段之间的和差关系．
10．C
【分析】根据条件求得和的长度，再利用中点的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
是的中点，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的和差关系、中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
11．C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，
图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．
12．A
【分析】根据线段的性质——两点之间，线段最短，可直接得出答案．
【详解】解：根据“两点之间，线段最短”可知将弯曲的道路改直可以缩短路程，
故选A．
【点睛】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握“两点之间，线段最短” ．
13．C
【分析】直接利用，C为的中点的长，得到的长，求得的长度．
【详解】，C为的中点，
，
，
，
求得，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查两点之间的距离，正确得出的长是解题的关键．
14．2
【分析】根据直线的定义作答即可．
【详解】解：根据直线的含义可得图中有2条直线．
故答案为2．
【点睛】本题考查的是直线的定义，掌握“直线的定义”是解本题的关键．
15．10
【分析】由题意可知：从哈尔滨开北京的复兴号途中要停靠于3个站点，则在哈尔滨车票的票价有4种．依此类推，在第一个站点的票价有3种．在第二个站点的票价有2种，在第三个站点的票价有1种，从而求得总结果数．
【详解】解：根据分析，得
共有票价（种）．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力．
16．20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．
17．或
【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到．
【详解】解：如图，当点在点的左侧，
；

当点在点的右侧，
；

综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键．
18．
【分析】根据点是的中点，点是的中点，分别求出与的和与的关系，进而求出线段的长即可．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段中点的特征和应用，要熟练掌握．
19．11
【分析】根据题意求得，设运动的时间为，则，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设运动的时间为，则，
∵，
∵，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段上动点问题，线段的和与差，熟练掌握线段的和与差是解题的关键．
20．5
【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则．
【详解】解： 是的中点，是的中点，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据直线的画法作图；
（2）根据射线的画法作图；
（3）连接即可；
（4）根据作一条线段等于已知线段的作法画图即可．
【详解】（1）直线如图所示：

（2）射线如图所示：
（3）线段如图所示：
（4）线段如图所示．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的作图以及作一条线段等于已知线段，属于基础知识，熟练掌握直线、射线与线段的相关知识是关键．
22．(1)n条直线，共有个交点
(2)n条直线，将平面分成个区域
【分析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，个交点，故n条直线，个交点；
（2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成个区域，3条直线，将平面分成个区域，4条直线，将平面分成个区域，故n条直线，将平面分成个区域．
【详解】（1）解：1条直线，0个交点
2条直线，1个交点
3条直线，个交点
4条直线，个交点
5条直线，个交点
故n条直线，个交点
∴n条直线，共有个交点；
（2）解：1条直线，将平面分成2个区域
2条直线，将平面分成个区域
3条直线，将平面分成个区域
4条直线，将平面分成个区域
5条直线，将平面分成个区域
故n条直线，将平面分成个区域
∴n条直线，将平面分成个区域．
【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是找出规律．
23．2
【分析】由可得，从而，由此可求得，根据点B为中点求得．
【详解】∵，
∴，
∴
∴
∵点B为中点
∴
∴线段的长度是2．
【点睛】本题考查选段的和与差，线段的中点，熟练掌握线段的和与差，线段的中点是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据几何语言及基本作图——作一条线段等于已知线段作出相应的几何图形即可；
（2）先求出，根据点是的中点，点是的中点，先求得长，进而求出的长．
【详解】（1）解：如图：

反向延长线段，再以为圆心，为半径作弧交延长线于点，
，
线段即为所求；
（2）解：如图：

，，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
．
【点睛】本题考查了基本作图——作线段以及线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义，正确作出图形，然后进行计算．
25．(1)10条，见解析；
(2)共握了105次；
(3)共送了210张．
【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案；
（2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案；
（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下：
以为端点的线段有：、、、，共4条；
以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条；
以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条；
以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条；
答：图中共有条线段；
（2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知，
握手的次数为：，
答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次；
（3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，
，
答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张．
【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别．
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