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第一章 有理数
1.1 正数和负数
【核心点拨】
1.理解正、负数及0的意义，掌握正、负数的表示方法.
2.会用正、负数表示具有相反意义的量.
【考点突破】
考点一 正、负数的概念及表示
【例1】下列各数中，是负数的是( )
A．－1 B．0 C．0.2 D．
【答案】A
【分析】根据小于0的数为负数，可作出正确的选择．
【详解】解：A、-1＜0，是负数，故选项正确；
B、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；
C、0.2＞0，是正数，故选项错误；
D、＞0，是正数，故选项错误．
故选：A．
【变式1】下列各数中，既是分数又是负数的是( )
A．–3.1 B．– C．0 D．2.4
【答案】A
【分析】 分数表示一个数是另一个数的几分之几,或一个事件与所有事件的比例.把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数,比0小的数是负数.
【详解】根据分数的定义和负数的定义可得:-既是分数又是负数,故选A.
【变式2】下列各数：-0.1， ，3.14，-8，0，100，.其中负数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负数的概念进行求解即可得．
【详解】解：在-0.1， ，3.14，-8，0，100，中负数有-0.1，-8，共3个. 故选C．
【点睛】本题主要考查正数与负数，掌握负数的概念是关键．
【变式3】下面关于“0”的叙述，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可．
【详解】①0是正数与负数的分界，正确；
②0比任何正数都小，正确；
③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故错误；
④0还常用来表示某种量的基准，正确．正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键．
考点二 相反意义的量
【例2】《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为( )
A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃
【答案】B
【分析】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为零下8℃，
故选B．
【变式1】两千多年前，中国就开始使用负数，若收入100元记作，则支出60元记作( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正数与负数的意义解答即可．
【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出60元应记作元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
【变式2】下列各组数中，不是具有相反意义的量的是( )
A．收入200元与支出20元 B．上升和下降
C．增大2岁与减少2升 D．超过与不足
【答案】C
【分析】
根据相反意义的量进行判断即可．
【详解】解：具有相反意义的量是指相同的量，故A、B、D都是正确的，只有C中岁和升是不同的量．
故选：C．
【变式3】规定：表示向右移动2，记作＋2，则表示向左移动5，记作( )
A．＋5 B．－5 C． D．－
【答案】B
【分析】根据题意，在表示相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个为负，即可得出答案．
【详解】解：因为表示向右移动2，记作＋2，则表示向左移动5，记作－5；故选B.
【点睛】本题考查正负数的概念，解题的关键在于理解相反意义的量．
【复习巩固】
1. 在下列各数中：-18，0，0.08，，-0.6，，-2；负数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据负数的定义进行选择即可；
【详解】解：负数有：-18，-0.6，，-2，共4个；故选D.
【点睛】本题考查了负数的定义，即小于0的数都是负数，主要0既不是正数，也不是负数.
2. 在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】弄清正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0．
【详解】解：根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个．故选B．
3. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】温度上升记作“”，则温度下降记作“”，由此可解．
【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作，
故选A．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，解题的关键是理解“”和“”表示一对具有相反意义的量．
4. 下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是( )
A．一天凌晨的气温是，中午比凌晨上升了，所以中午的气温是
B．盈利20元记作元，那么元表示亏本50元
C．如果收入增加110元记作元，那么元表示支出减少110元
D．如果米表示比海平面高300米，那么米表示比海平面低米
【答案】B
【分析】根据正负数表示相反意义的量解答．
【详解】解：A. 一天凌晨的气温是，中午比凌晨上升了，所以中午的气温是，故该选项错误；
B. 盈利20元记作元，那么元表示亏本50元，故该选项正确；
C. 如果收入增加110元记作元，那么元表示收入减少110元，故该说法错误；
D. 如果米表示比海平面高300米，那么米表示比海平面低200米，故该说法错误；故选：B．
5．把下列各数填到相应的集合中：1，，0，，，，1.010010001…
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
整数集合：{ }.
【答案】1，，1.010010001…；，，；1，0，，
【分析】由有理数、整数、正负数的定义进行分类，填入对应集合即可．
【详解】正数集合：{1，，1.010010001…，…}；
负数集合：{，，，…}；
整数集合：{1，0，，，…}；
【点睛】本题考查了整数、正负数的定义．
6．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量.
（1）节约20度电与浪费10度电；
（2）向南前进100米和向东后退20米；
（3）卖出20箱饮料与收入500元；
（4）盈利18万元和亏损15万元.
【答案】（1）是，+20度与-10度.（2）不是.（3）不是.（4）是，+18万元与一15万元
【分析】先判断两个量是不是相反意义的量，再由在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
【详解】解：（1）是，+20度与-10度.
（2）南、北不是意义相反的量，故不是.
（3）卖出和收入不是意义相反的量，故不是;
（4）是，+18万元与一15万元.
【综合运用】
1. 小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（ ）
A．-1.00表示收入元 B．-1.00表示支出元
C．-1.00表示支出元 D．收支总和为元
【答案】B
【分析】根据用正负数表示相反意义的量，像与-1.00这种用正负数表示具有相反意义的量，其中表示收入钱数，那么-1.00表示支出钱数即可得解．
【详解】解：∵小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，
-1.00表示支出1.00元．故选B．
2．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
【答案】B
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【详解】因为45+0.03=45.03，45-0.04=44.96，
所以零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03．
因为44.9不在该范围之内，
所以不合格的是B．故选：B．
3．小明积极配合小区进行垃圾分类，并把可回收物拿到废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．下表是他12月份的部分收支情况（单位：元）．
日期 收入或支出 结余 备注
1日 4.5 17.5 卖可回收物
5日 买书，不足部分由妈妈代付
其中表格中“”表示的意思是（ ）
A．卖可回收物换回的钱 B．买书的钱
C．买书时妈妈代付的钱 D．买书的钱与妈妈代付的钱之和
【答案】C
【分析】根据正负数的意义求解即可．
【详解】解：由题意得：“”表示的意思是买书时妈妈代付的钱，
故选C．
4．如图，一只甲虫在6×6的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上和向右走为正，向下和向左走为负，例如：从A到B记为：，表示从A点先向右走2个单位，再向上走4个单位，反之从B到A记为：，括号中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
(1)（______，_____），（______，_______），（______，______）；
(2)若这只甲虫从A处去甲虫Р处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置．
【答案】（1） +1 +1 -3 -5 -2
（2）点P的位置如图所示.
【中考再现】
1．（2023年四川省南充市中考数学真题）如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据具有相反意义的量即可得．
【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，
故选C．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．
2．（2023年广东省广州市中考数学真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【分析】根据相反意义的量可进行求解．
【详解】由收入5元记作元，可知支出5元记作元.故选A．
【点睛】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握相反意义的量是解题的关键．
3．（2023年甘肃省中考数学真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
【答案】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
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第一章 有理数
1.1 正数和负数
【核心点拨】
1.理解正、负数及0的意义，掌握正、负数的表示方法.
2.会用正、负数表示具有相反意义的量.
【考点突破】
考点一 正、负数的概念及表示
【例1】下列各数中，是负数的是( )
A．－1 B．0 C．0.2 D．
【变式1】下列各数中，既是分数又是负数的是( )
A．–3.1 B．– C．0 D．2.4
【变式2】下列各数：-0.1， ，3.14，-8，0，100，.其中负数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】下面关于“0”的叙述，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 相反意义的量
【例2】《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为( )
A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃
【变式1】两千多年前，中国就开始使用负数，若收入100元记作，则支出60元记作( )
A． B． C． D．
【变式2】下列各组数中，不是具有相反意义的量的是( )
A．收入200元与支出20元 B．上升和下降
C．增大2岁与减少2升 D．超过与不足
【变式3】规定：表示向右移动2，记作＋2，则表示向左移动5，记作( )
A．＋5 B．－5 C． D．－
【复习巩固】
1. 在下列各数中：-18，0，0.08，，-0.6，，-2；负数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A． B． C． D．
4. 下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是( )
A．一天凌晨的气温是，中午比凌晨上升了，所以中午的气温是
B．盈利20元记作元，那么元表示亏本50元
C．如果收入增加110元记作元，那么元表示支出减少110元
D．如果米表示比海平面高300米，那么米表示比海平面低米
5．把下列各数填到相应的集合中：1，，0，，，，1.010010001…
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
整数集合：{ }.
6．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量.
（1）节约20度电与浪费10度电；
（2）向南前进100米和向东后退20米；
（3）卖出20箱饮料与收入500元；
（4）盈利18万元和亏损15万元.
【综合运用】
1. 小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（ ）
A．-1.00表示收入元 B．-1.00表示支出元
C．-1.00表示支出元 D．收支总和为元
2．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
3．小明积极配合小区进行垃圾分类，并把可回收物拿到废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．下表是他12月份的部分收支情况（单位：元）．
日期 收入或支出 结余 备注
1日 4.5 17.5 卖可回收物
5日 买书，不足部分由妈妈代付
其中表格中“”表示的意思是（ ）
A．卖可回收物换回的钱 B．买书的钱
C．买书时妈妈代付的钱 D．买书的钱与妈妈代付的钱之和
4．如图，一只甲虫在6×6的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上和向右走为正，向下和向左走为负，例如：从A到B记为：，表示从A点先向右走2个单位，再向上走4个单位，反之从B到A记为：，括号中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
(1)（______，_____），（______，_______），（______，______）；
(2)若这只甲虫从A处去甲虫Р处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置．
【中考再现】
1．（2023年四川省南充市中考数学真题）如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年广东省广州市中考数学真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
3．（2023年甘肃省中考数学真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
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