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菱形的性质
知识回顾
知识点一、菱形的概念和性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
知识点二 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
边：菱形的四条边都相等；
角：对角相等，邻角互补
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
2.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
注：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分
成完全全等的两部分.
菱形的面积由两种计算方法:
一、是平行四边形的面积公式：底×高；
二、两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
运用：菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
典例精练
1.如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质得OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，再证EF是△AOD的中位线，得OA＝2EF＝8，然后由勾股定理求出OD＝6，即可求解．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，
∵FE⊥BD，
∴FE∥AC，
∵F为AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OA＝2EF＝8，
∴OD6，
∴BD＝2OD＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
2.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
【解答】解：如图：
∵ABCD是菱形
∴AD＝AB，BO＝OD，
∴∠BAD＝2∠CAD＝50°
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65°
∵DH⊥AB，BO＝DO
∴HO＝DO
∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OBBD＝3，OAAC＝4，AC⊥BD，
∴AB5，
∵S菱形ABCDAC BD＝AB EF，
即6×8＝5EF，
∴EF．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
4.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，交y轴于点D，连接，交于点E．已知点，，求点B的坐标．
【答案】
【分析】先求出，再由菱形的性质得到，进而得到，求出，进而求出，由此即可得到答案．
解：∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
5.如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
【答案】120°
【分析】根据DE垂直平分BC，可得，根据菱形的性质可得，即为等边三角形，则，则问题得解．
解：在菱形ABCD中，有，且，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠ABC的度数为120°．
【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质等知识，证明是等边三角形是解答本题的关键．
6.如图，四边形是菱形，，点是边上一动点，在边上，恰好使成为等边三角形，连接．
求证：；
当菱形的面积为时，求的周长最小值．
【答案】(1)见解析； (2) 9
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）求出菱形的边长，当时，最小，的周长最小，求出最小值即可解答．
解：（1）证明：∵四边形是菱形且，
∴，，
为等边三角形，
∴，，，
∵成为等边三角形
∴，，
∴
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：为等边三角形，
要使得的周长最小时，最小，此时，
设为x，
，为等腰三角形，
，
，
∵菱形的面积为，
，
解得，
，
，
的最小周长为．
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练相关性质是解题的关键．
同步练习
菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【分析】由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故选项不符合题意；
、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故选项不符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意；
、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故选项不符合题意；
故选：．
2.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（ ）
A．10 B．20 C．24 D．48
【答案】C
【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：×6×8＝24．
故选：C．
【知识点】菱形的性质
3.如图，菱形的对角线相交于点，若，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质是即可得出结论．
【解答】解：四边形是菱形，
，
，
故选：．
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】连接交于，由菱形的性质得，，再由点的坐标得，，则，即可得出结论．
【解答】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，顶点在轴正半轴上，
，，
点的坐标为，
，，
，
点的坐标为，
故选：．
5..如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×6＝24．
故选：D．
【知识点】三角形中位线定理、菱形的性质
6..如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当AB＝2，∠B＝60°时，AC的长是（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【分析】由题意可证△ABC是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
故选：D．
【知识点】等边三角形的判定与性质、菱形的性质
7.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，从而求出AB＝AE，设∠BAE＝x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补列出方程求解即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，
∵AE＝AD，
∴AB＝AE，
设∠BAE＝x，
则∠EAD＝2x，∠ABE＝（180°﹣x），
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABE＝180°，
∴x+2x+（180°﹣x）＝180°，
解得x＝36°，
即∠BAE＝36°．
【知识点】菱形的性质
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于E．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求DE的长．
【分析】（1）由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可；
（3）根据S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DE，计算即可；
【解答】解：（1）解：∵菱形ABCD中，BD＝10，AC＝24，
∴OB＝5，OA＝12，
在Rt△ABO中，AB＝＝13，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝52．
（2）S菱形ABCD＝ AC BD＝×24×10＝120．
（3）∵S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DE，
∴DE＝．
【知识点】菱形的性质
中考真题
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
【答案】A
【分析】根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
【解答】解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：A．
【知识点】菱形的性质、平行四边形的性质
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．
3．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度．
【详解】解：连接与交于O．
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
（2）解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．
针对练习
1.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【分析】由折叠性质得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA＝EC，于是得到结论．
【解答】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故选：A．
【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、菱形的性质
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴COAC＝3，BOBD＝4，AO⊥BO，
∴BC5，
∵S菱形ABCDAC BD＝BC×AE，
∴AE．
在Rt△ABE中，BE，
∴CE＝BC﹣BE＝5，
∴的值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
3.如图，在平行四边形中，，，对角线平分，点E为的中点，点P为上的任意一点，连接，，则的最小值为 ________________．
【答案】
【分析】找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是最小值，求出即可．
解：∵四边形是平行四边形，，对角线平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
连接交于P，连接，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
∴，
即就是的最小值，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
4.已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2＝AB2，已知AB＝5，BO＝4，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
【解答】解：BD＝8，则BO＝DO＝4，
菱形周长为20，则AB＝5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2＝AB2，
AO＝3，AC＝6，
故菱形的面积S＝×6×8＝24．
故答案为 24．
【知识点】勾股定理、菱形的性质
5.菱形ABCD的一条对角线长为4cm，另一条对角线长为6cm，则菱形ABCD的面积为 cm2．
【答案】12
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的一条对角线长为4cm，另一条对角线长为6cm，
∴菱形ABCD的面积为6×4＝12（cm2）．
故答案为：12．
【知识点】菱形的性质
6.如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 10 cm．
【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12cm，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
∵OB＝OD5（cm），
∴BD＝2OD＝10（cm），
∴EG＝BD＝10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
7.如图，在中，是对角线的垂直平分线，分别与，交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出，进而解答即可．
【解答】证明：（1）对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形为菱形；
（2）四边形是菱形，
，，，
，，
，
由勾股定理可得：，
，
菱形的面积．
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菱形的性质
知识回顾
知识点一、菱形的概念和性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
知识点二 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
边：菱形的四条边都相等；
角：对角相等，邻角互补
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
2.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
注：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分
成完全全等的两部分.
菱形的面积由两种计算方法:
一、是平行四边形的面积公式：底×高；
二、两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
运用：菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
典例精练
1.如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
2.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（ ）
A．5 B． C． D．
4.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，交y轴于点D，连接，交于点E．已知点，，求点B的坐标．
5.如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
6.如图，四边形是菱形，，点是边上一动点，在边上，恰好使成为等边三角形，连接．
求证：；
当菱形的面积为时，求的周长最小值．
同步练习
菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
2.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（ ）
A．10 B．20 C．24 D．48
3.如图，菱形的对角线相交于点，若，则的度数是
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为
A． B． C． D．
5..如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6..如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当AB＝2，∠B＝60°时，AC的长是（ ）
A． B． C．2 D．2
7.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于E．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求DE的长．
中考真题
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
、
针对练习
1.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在平行四边形中，，，对角线平分，点E为的中点，点P为上的任意一点，连接，，则的最小值为 ________________．
已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
菱形ABCD的一条对角线长为4cm，另一条对角线长为6cm，则菱形ABCD的面积为 cm2．
6.如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm．
7.如图，在中，是对角线的垂直平分线，分别与，交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
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