2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题试卷名师详解版

2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题（学生卷）
卷I（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选，错选，均不得分）
1. ﹣8的立方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 不存在
2. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
3. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A. 了解一批节能灯管的使用寿命 B. 了解某校803班学生的视力情况
C. 了解某省初中生每周上网时长情况 D. 了解京杭大运河中鱼的种类
4. 美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）
A. B. C. D.
6. 下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　）
A. B. C. D.
8. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A. B. C. D.
9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）
A. 12 B. 14 C. 18 D. 24
10. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A. B.
C. D.
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. ___________．
12. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________．
13. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．
14. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．
15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________．
16. 一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．
三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. （1）解不等式：．
（2）已知，求的值．
18. 小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19. 如图，在菱形中，于点，于点，连接
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20. 观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
21. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
22. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
23. 在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
24. 已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．
（1）在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
（3）如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．
参考答案及解析
1．C
【分析】由立方根的定义解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选C．
2．C
【分析】找到从上面所看到的图形．
【详解】解：从上面看从下往上数，左边有1个正方形，右边有1个正方形，
∴俯视图是：
．
故选：C．
3．B
【分析】由全面调查与抽样调查的特点判断．
【详解】A、了解一批节能灯管的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查；
B、了解某校803班学生的视力情况，适合采用普查；
C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查；
D、了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查．
故选：B．
4．D
【分析】由轴对称图形的定义判断．
【详解】A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
5．C
【分析】直接由位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
6．A
【分析】正数负数．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
7．D
【分析】由折叠的性质得，，等面积法求，由，可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
8．B
【分析】反比例函数的图象与性质．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再由四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．
【详解】解：如图所示，连接，
，
点是的重心，点是边的中点，
点在一条直线上，且，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】由蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解．
【详解】由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
11．2023
【分析】负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：的相反数是2023，故，
故答案为：2023．
12．（答案不唯一）
【分析】由平方差公式或完全平方公式等知识解答．
【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为，
∴这个多项式可以是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】概率公式．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
14．/度
【分析】连接，由切线的性质得出，由四边形内角和得出，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，

∵，分别与相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】由“现花钱买了只鸡”，列出方．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
16．
【分析】如图1，过点G作于H，由含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后由线段扫过的面积列式计算即可．
【详解】解：如图1，过点G作于H，

∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，
∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，
∵，
∴，
∴，
作于N，则，
∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积，
，
，
，
故答案为：，．

17．（1）；（2）5
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1求解即可；
（2）先将展开化简，然后将整体代入求解即可．
【详解】（1）解：移项，得，
解得，；
（2）解：∵，
∴原式，
，
．
18．都错误，见解析
【分析】由解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）由菱形的性质和已知条件可推出度数，再由第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
（2）解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
20．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题干的规律求解；
（2）由题干的规律求解；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
．
21．(1)①3015辆，②68.3分
(2)选B款，理由见解析
【分析】（1）①由中位数的概念求解即可；
②由加权平均数的计算方法求解即可；
（2）由加权平均数的意义求解即可．
【详解】（1）①由中位数的概念可得，
B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆；
②分．
∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为分；
（2）给出的权重时，
（分），
（分），
（分），
结合2023年3月的销售量，
∴可以选B款．
22．(1)
(2)能，见解析
【分析】（1）由正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）由正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）解：能，理由如下：
过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．
小若垫起脚尖后能被识别．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或．
24．(1)作图见解析
(2)线段是定长，长度不发生变化，值为
(3)证明见解析
【分析】（1）以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，与交点为，则，分别以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，与交点为，即、点即为所求；
（2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，；
（3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证．
【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；

（2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变；
如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，

∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴线段是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长、，交点为，

∵，
∴点H为的中点，
又∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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