2023年湖北省黄冈市中考数学真题试卷名师详解版

2023年湖北省黄冈市初中学业水平考试数学试卷
（学生卷）
（满分：120分，考试用时：120分钟）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．清在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A. 长方体 B. 图柱 C. 圆锥 D. 球
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 无解
5. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. B. C. D. 4
8. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卡相应题号的横线）
9. 计算；_____________．
10. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________．
11. 若正n边形的一个外角为，则_____________．
12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
13. 眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是_____________．
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 50
人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5
14. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，己知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号）
15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________．
16. 如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则___________．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17. 化简：．
18. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
19. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生由自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，由收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
由图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
20. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）由图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
22. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
（1）当___________时，元/；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
23. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
24. 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．
（1）直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
（2）如图1，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
参考答案及解析
1．B
【分析】只有符号不同的两个数互为相反．
【详解】的相反数是，
故选：B．
2．A
【分析】用科学记数法表示数的一般形式为，其中，为整数．
【详解】．
故选：A．
3．D
【分析】由几何体的三视图进行判断即可．
【详解】在长方体、图柱、圆锥、球四个几何体中，三视图都是圆的是球，
故选：D
4．C
【分析】先求出两个不等式的解集，再求交集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以该不等式组的解集为．
故选C．
5．C
【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余．
【详解】，
,
又
故选择：C
6．D
【分析】先由圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再由直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，由角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，由相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
8．B
【分析】将代入，可判断①；
由抛物线的对称轴及增减性可判断②；
由抛物线的顶点坐标可判断③；
由的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】将代入，可得，
故①正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点到对称轴的距离分别为：4，1，3，
，
图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
，
故②错误；
二次函数图象的对称轴为直线，
，
又，
，
，
当时，y取最大值，最大值为，
即二次函数的图象的顶点坐标为，
若m为任意实数，则
故③正确；
二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
与x轴的另一个交点坐标为，
的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，
若方程的两实数根为，且，则，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
9．2
【分析】的偶数次方为1，任何不等于0的数的零次幂都等于1，由此可解．
【详解】，
故答案为：2．
10．8
【分析】要使是整数，则要是完全平方数
【详解】∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
11．5
【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等．
【详解】由题意知，，
故答案为：5．
12．
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．4.6
【分析】数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数．
【详解】该样本中共有个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第个数据是，所以学生右眼视力的中位数为．
14．/
【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
由题意可得四边形是矩形，
∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】由题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
【详解】∵图中，，
∴
∵与的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴，
故答案为：3．
16．
【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案．
【详解】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，

∵点C的坐标为，
∴，，
在中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：
17．
【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简．
【详解】
18．(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元
(2)至少需购买A型垃圾桶125个
【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后由题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，由题意列出一元一次不等式并求解即可．
【详解】（1）设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意得：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
19．(1)18，6，
(2)480人
(3)
【分析】（1）由选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，进而利用概率公式计算．
【详解】（1）参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
（2）（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）连接，证明，在中，，求得，由得出，进而可得，由，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵以为直径的交于点，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
则，

∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将点代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将点和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再由面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2），理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
22．(1)
(2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
(3)当a为时，2025年的总种植成本为元．
【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可；
（2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案；
（3）由2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上所述，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
23．(1)
(2)成立；理由见解析
(3)或
【分析】（1）由，得出，，证明，得出，由，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，由，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，由勾股定理求出结果．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．

（2）成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）当点E在线段上时，连接，如图：

设，则，
由解析（2）可知，，
∴，
∴，
由解析（2）可知，，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图：

设，则，
由解析（2）可知，，
∴，
∴，
由解析（2）可知，，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
24．(1)，2，，
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，由正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．由证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，由求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，根据二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．

（3）①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

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