2023年河北省中考数学真题试卷名师详解版

2023年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷（学生卷）
一、选择题
1. 代数式的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A. 南偏西方向 B. 南偏东方向
C. 北偏西方向 D. 北偏东方向
3. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A. B. C. D.
5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
7. 若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
9. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A. B. C. D. a，b大小无法比较
10. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A. B.
C. 是一个12位数 D. 是一个13位数
11. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A. B. C. 12 D. 16
12. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
13. 在和中，．已知，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
14. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
15. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）
A. B. C. D.
16. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
二、填空题
17. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
18. 由于下表中的数据，写出a的值为_______．b的值为_______．
x 结果 代数式 2 n
7 b
a 1
19. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1）______度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为______（结果保留根号）．
三、解答题
20. 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
21. 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
（1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是由于这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
25. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
（1）设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
26. 如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值；
②若点到的距离为，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）．
参考答案及解析
1．C
【分析】代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】的意义可以是与x的积．
故选C．
2．D
【分析】方向角的定义．
【详解】如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．

故选D．
3．A
【分析】由分式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】，
故选：A．
4．B
【分析】概率计算公式．
【详解】∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃．
故选B．
5．B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形．
故选：B．
6．B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
7．A
【分析】把代入计算．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】作图可知，对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】由图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
9．A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，由的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
10．D
【分析】由科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析．
【详解】A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
11．B
【分析】由正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，由三角形的面积公式即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12．B
【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案．
【详解】由题意画出草图，如图，

平台上至还需再放这样的正方体2个，
故选：B．
13．C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
14．D
【分析】设圆的半径为R，由于机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
15．C
【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，由平行性质，得，进而求得．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．

16．A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解．
【详解】令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，

∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
17．4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
18． ；
【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可．
【详解】当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
19．（1）（2）
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法求解；
（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再由正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解．
【详解】（1）作图如下：

由中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得，
，
故答案为：；
（2）取中间正六边形的中心为，作如下图形，

由题意得：，,，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
由图1知，
由正六边形的结构特征知：，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
20．(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2)．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）由题意得，
解得：．
21．(1)，，当时，
(2)，理由见解析
【分析】（1）由题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）由题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2），理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
22．(1)中位数为分，平均数为分，不需要整改
(2)监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分
【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再由中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）由“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列不等式，进而出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
【详解】（1）由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
23．(1)的最高点坐标为，，；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）顶点式可得到最高点坐标；点在抛物线上，由待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
24．（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）连接，利用垂径定理；
（2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减；
（3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较．
【详解】（1）连接，
∵为圆心，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．

（2）∵与半圆的切点为，
∴
∵
∴于点，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）∵于点，
∴，
∵半圆的中点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
25．(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求出的解析式，然后由直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；
（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先由于题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：

（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
26．(1)见解析
(2)①，；②或
(3)
【分析】（1）由旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到；
（2）①首先由勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先画出图形，然后证明，利用相似三角形的性质求，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可；
②当点在上时，，，分别求得，由正切的定义即可求解；②当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得出，，进而求得，证明，即可求解；
（3）如图，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵将线段绕点顺时针旋转到，
∴
∵的平分线所在直线交折线于点，
∴
又∵
∴
∴；
（2）①∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
如图，当时，

∵平分
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
∴解得
∴．
②如图所示，当点在上时，，

∵，
∴，，
∴，
∴
∴；
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，

∵，
∴，
∴
∴
即
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
解得
∴，
综上所述，的值为或；
（3）∵当时，
∴在上，
如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，

∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，设，
即
∴，
∴
整理得
即点到直线的距离为．
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