2023年江苏省扬州市中考数学真题试卷名师详解版

2023年江苏省扬州市初中毕业、升学统一考试
数学试题（学生卷）
说明：
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．
4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 若，则括号内应填的单项式是( )
A. a B. C. D.
3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图
4. 下列图形中是棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 函数的大致图像是( )
A. B. C. D.
7. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A. 1 B. 2 C. 6 D. 8
8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为________．
10. 分解因式：__________．
11. 如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为________．
12. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
13. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
14. 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________．
15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．
16. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．
17. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．
18. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
21. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛学生成绩 85.5 85 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
22. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
23. 甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
24. 如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为4，求的面积．
25. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
26. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
27. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
28. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
参考答案及解析
1．A
【分析】根据绝对值的概念
【详解】解：的绝对值是3
故选：A．
2．A
【分析】将已知乘法运算转化为单项式除以单项式进行计算．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
3．C
【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占百分比．
【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．
故选C．
4．D
【分析】棱锥的侧面展开图的特征．
【详解】棱锥的侧面是三角形．
故选：D．
5．C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．
【详解】解：函数自变量的取值范围为．
对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意；
对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意．
故选：A．
7．C
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，

∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
8．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行分析．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
9．
【分析】科学记数法的形式，其中，．
【详解】解：2345000的绝对值大于表示成的形式，
∵，，
∴2345000表示成，
故答案为：．
10．
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】解：
故答案为：．
11．
【分析】根据题意知这个多边形每一个外角都是，因此确定这是一个正多边形，根据多边形的外角和等于，可求出多边形的边数．
【详解】因为这个多边形每一个外角都是，所以这个多边形是一个正多边形，
设正多边形的边数为，
根据正多边形外角和：，
得：
故答案为：．
12．0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
13．k＜1．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
14．
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，
得：
故答案为：
15．
【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设，
∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴时，随着的增大而减小，
当时，，
∴当时，，
即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于；
故答案为：．
16．96
【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴三角形面积为，
故答案为：96．
17．
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
【详解】过点作于点，

，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
18．
【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，
设，则，则
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴，
∴
在中，
即
解得：，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减运算；
（2）除法变乘法，再进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．，数轴表示见解析．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
21．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值；
（2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可；
（3）利用平均数和中位数作决策即可．
【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，
∴；
将八年级的10个数据进行排序：；
∴；
故答案为：；
（2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，
∵方差越小，数据越稳定，
∴；
故答案为：．
（3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用概率计算公式求解即可；
（2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可．
【详解】（1）解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，
甲选择景点的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果，
甲、乙至少有一人选择景点的概率为．
23．
【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程．
【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为，
，由题意得，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，也符合实际．
，
答：乙同学骑自行车的速度为．
24．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；
（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)直线与相切，理由见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
26．(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔单价为x元，则甲种头盔单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔单价为x元，则甲种头盔单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
27．(1)2；30或210
(2)画图见解析；
(3)
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【详解】（1）解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：

∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：

∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
（2）解：当时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
（3）解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．

28．(1)①1；②；③是，值为1
(2)或
【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；
（2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，．
【详解】（1）①解：当，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
②解：由①知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为，则，，
由菱形的性质得，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
（2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；
①当在轴右侧时，
∵，
同理（1）③，，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化简得，
∵
∴；
②当在轴左侧时，
同理可求；
③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，
同理可求，
当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，
由正方形、二次函数的性质可得，；
综上所述，或．
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