第二十一章 一元二次方程测试题-2023-2024学年 数学人教版九年级上册（含答案）

第二十一章 一元二次方程
1．按要求解方程：
(1)直接开平方法：；
(2)配方法：；
(3)公式法：；
(4)因式分解法：；
2．已知关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．
(1)求的取值范围；
(2)若．求的值．
3．关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最小整数时，求的值．
4．已知关于x的二次方程x2-（2k+1）x+k-2＝0．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根满足，求k的值．
5．已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若x=2是方程的一个根，求a的值及该方程的另一根．
6．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围．
7．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
8．已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求的值；
(2)求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．
9．实数k使关于x的方程有两个实数根,．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值；
10．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)取一个合适的的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
11．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
12．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
13．实数，满足.
(1)验证，是否满足上述等式；
(2)若，，佳佳认为一定存在两个不同的的值使得成立，你认为佳佳的说法正确吗？请说明理由.
14．已知，关于的一元二次方程，
(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．
15．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．
16．已知关于的一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
(1)你选取的的值是　；
(2)解这个方程．
17．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的三边a，b，c中a=3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．
18．为庆祝我校建校60周年，学校计划用25000元为从世界各地归来参加校庆的校友在某商场订购A、B两种纪念品．已知A纪念品的订购单价是B纪念品订购单价的，用于购买A纪念品的资金与购买B纪念品的资金之比为，且订购的A纪念品比B纪念品多50件．
(1)求A、B两种纪念品的订购单价各是多少？
(2)商场按订购单价计算，A纪念品的利润率为，B纪念品的利润率．但在实际购买时，由于学校需求量增加，且无法追加资金，商场考虑到A、B两种纪念品的库存足够多，为尽快减少库存，于是同意将A、B两种纪念品在原订购单价的基础上，分别每件都降价a元出售，学校也在原计划订购量的基础上各追加购买件．这样，商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订购数量售出所获得的总利润少元，求a的值．
19．某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
(2)如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值．
21．2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．
(1)求平均每天植树的增长率？
(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？
22．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
（1），
，
即或，
所以；
（2），
，
，
，
，
解得；
（3），
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4），
，
，
或，
∴．
2．(1)
(2)
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，
∴，
∵，
∴
解得：
3．(1)且
(2)，
（1）解：由题意得：，
解得：且；
（2）由（1）知，最小整数为，
此时方程为：，
解得：，．
4．(1)证明见解析
(2)
（1）解：∵
又∵
∴
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，
∴
∵
∴
解得：
5．（1）详见解析；（2）a=1，方程的另一根为﹣1．
（1）△=
=．
∵≥0，
∴＞0，即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程，解得：a=1．
原方程为，解得：x1=﹣1，
∴方程的另一根为﹣1．
6．(1)见解析
(2)
（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一个根小于2，
∴，
解得．
7．(1)且
(2)，
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
∴m的取值范围为且；
（2）∵且，且m为正整数，
∴，
∴原方程为，
即，
解得：，．
8．(1)
(2)证明见解析
（1）解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴；
（2）证明：由题意得，，
∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．
9．(1)k的取值范围为
(2)k的值为0或
（1）解：方程化为一般式为，
根据题意得，解得，
即k的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得，，
∵，
∴k的值为0或．
10．(1)
(2)，，
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：可取或，
若时，方程为，解得，．
若时，方程为，解得．
（或写一种情况即可）
11．(1)等腰三角形，见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)x1=0，x2=-1
（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵当时，由方程的解得意义可得：，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∴原方程可化为：，即：，
∴，
∴，
∴这个一元二次方程的根为．
12．(1)见解析
(2)14
（1）证明：
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若为底边，则为腰长，，，
∴，
解得：，
此时原方程化为，
∴，即，
此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则中一边为腰，
把代入方程，，
∴，
则原方程化为，
，
∴，，
此时三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：三边为6，6，2，
∴周长为．
13．(1)满足
(2)佳佳的说法正确，理由见解析
（1）解：当，时，
∵，，
∴；
即，满足上述等式；
（2）当，时，
原式即为：，
整理得：，
∵，
∴上述关于a的方程有两个不相等的实数根，
即一定存在两个不同的的值使得成立，
∴佳佳的说法正确.
14．(1)见解析
(2)
（1）证明：对关于的一元二次方程，
其中，，，
则，
当时，，
该方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）得，
方程有两个整数根，
，．
为平方数．
，
．
为整数，
为奇数．
是大于小于的能被开方的奇数，
即，
解得．
15．(1)见解析
(2)当时，或，当时，或
（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是上述方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，即，解得或，
当时，方程为，解得或，
当时，方程为，解得或．
16．(1)12（答案不唯一）
(2)
（1）解：，
，
若关于的一元二次方程能用直接开平方法求解，
，解得，
可令，答案不唯一，
故答案为：12（答案不唯一）；
（2）解：若，则，
，即，
直接开平方得，
∴．
17．(1)见解析
(2)3或4
（1）解：∵
=
=
=≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：分几种情况讨论：
当b=c时，由（1）可得=0，即k=3；
当b=a或c=a时，可知原方程有一个根为3，所以有：
，
解之可得：k=4；
∴k=3或4 ．
18．(1)纪念品的订购价为每件150元，则A纪念品的订购价为每件200元
(2)5
（1）解：设纪念品的订购价为每件元，则A纪念品的订购价为元．
订购纪念品的资金为元，
订购纪念品的资金为元，
由题意列方程得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
则，
答：A纪念品的订购价为每件元，则B纪念品的订购价为每件200元．
（2）A纪念品的成本价为每件元，
每件利润为（元），订购数量为（件），
纪念品成本价为每件元，
每件利润为（元），订购数量为(件)．
整理得，
解得（舍）
∴．
19．(1)57
(2)该校购进古典诗词类图书50本
（1）解：由题意知， 购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是：（元），
故答案为：57；
（2）解：该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书本．
若，则，
化简得，
解得或（舍去）；
若，则，
解得（舍去）；
综上可知，该校购进古典诗词类图书50本．
20．的值为
解：∵栅栏总长度为，的长为，
∴的长为．
根据题意得：，整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
∴此时的值为．
21．(1)
(2)棵
（1）解：设平均每天植树的增长率为x，
根据题意得：，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：平均每天植树的增长率为；
（2）解：根据题意得：
(棵)．
答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为棵．
22．(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为或
（1）解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3），
，
∴或，
∴或．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．