2.2 基本不等式——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案）

2.2 基本不等式
【夯实基础】
知识点1 基本不等式
1.已知正数a，b满足，则有( )
A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值
2.已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.7
3.已知，则的最小值是_________.
4.若，，则的最小值为__________.
知识点2 基本不等式的应用
5.如果，，，，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A. B. C. D.
6.在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界，若，，且，则的上确界为( )
A.-3 B.-4 C. D.
7.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买( )
A.20 B.30 C.40 D.60
8.若正数a，b满足，则的取值范围是_________.
【提升能力】
9.已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.9
10.已知正数x，y满足，则的最小值为( )
A.2 B. C. D.5
11.（多选）已知，，，则( )
A. B. C. D.
12.（多选）下列结论正确的是( )
A.若a，b为正实数，且，则
B.若a，b，m为正实数，且，则
C.若，则
D.当时，的最小值为2
13.已知，，，则的最小值为__________.
14.已知，，且，则的最小值为_________.
【综合素养】
15.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是___________.
16.如图，长方形ABCD表示一张(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板.木板上一瑕 (记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米、2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上.设AM，AN的长分别为m分米、n分米.
（1）求的值；
（2）为使剩下木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值；
（3）求剩下木板MBCDN的外边框长度(MB，BC，CD，DN的长度之和)的最大值及取得最大值时m，n的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：正数a，b满足，，当且仅当时取等号，即有最大值，故选C.
2.答案：C
解析：因为，所以.又因为，，所以，当且仅当时取等号.由题意可得，即，则m的最大值为3.故选C.
3.答案：5
解析：由题意可得，当且仅当，即时，等号成立.
4.答案：
解析：因为，，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.
5.答案：B
解析：依题意，根据基本不等式可知.因为，，所以，，所以，即.故选B.
6.答案：D
解析：根据题意，由，得.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，所以根据定义知，的上确界为，故选D.
7.答案：B
解析：某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即吨时，等号成立，所以每次购买30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故选B.
8.答案：
解析：解：，
因为正数a，b满足，所以，所以.
9.答案：A
解析：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3.选A.
10.答案：B
解析：因为，所以，
所以，
所以，
当且仅当即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选B.
11.答案：ACD
解析：因为，，，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；，因为，所以，故C正确；，因为，所以，故D正确.故选ACD.
12.答案：AC
解析：若a，b为正实数，且，则，即，故A正确；若a，b，m为正实数，且，则，即，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；当时，，当且仅当时取等号，故D错误.选AC.
13.答案：
解析：因为，，，所以，当且仅当，即或时取等号，所以的最小值为.
14.答案：4
解析：，，.，，当且仅当时取等号，即，或，时，等号成立.
15.答案：或
解析：由，得.因为，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故.因为恒成立，所以，解得或.故t的取值范围是或.
16、（1）答案：
解析：如图，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，
则可得，所以，
即，整理可得.
（2）答案：当，时，剩下木板的面积最大
解析：要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积最小.
因为，，
所以，可得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以当，时，剩下木板的面积最大.
（3）答案：剩下木板的外边框长度的最大值为分米；分米，分米
解析：要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小.
，
当且仅当，即，时等号成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为(分米)，
此时分米，分米.
2