2.3 二次函数与一元二次方程、不等式——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【夯实基础】
知识点1 一元二次不等式
1.下列不等式：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
其中一定是一元二次不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.一元二次不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是( )
A.或 B.
C. D.
4.已知，，其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.
5.已知，，若它们同时满足条件：①，或；②，.则m的取值范围是__________.
6.解关于x的不等式.
知识点2 一元二次不等式的实际应用
7.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元/件)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元.若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数.
(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少
(2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元
【提升能力】
9.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
10.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.或
11.（多选）下列关于不等式的解集，说法正确的是( )
A.当时，的解集为
B.当时，的解集为
C.当时，的解集为或
D.无论a取何值时，的解集均不为空集
12.（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则( )
A.
B.关于x的不等式的解集是
C.
D.关于x的不等式的解集是或
13.在R上定义运算，则不等式的解集为_________.
14.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________.
【综合素养】
15.命题p：“方程有两个正根”，命题q：“方程无实根”.这两个命题有且只有一个成立，试求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据一元二次不等式的定义，可知①和②是一元二次不等式.其中当时，③和⑥不是一元二次不等式.④是一元三次不等式.当时，⑤为一元一次不等式；当时，⑤为二元二次不等式.因此，一定是一元二次不等式的有2个.故选D.
2.答案：D
解析：即，解得.因此，不等式的解集是.故选D.
3.答案：C
解析：因为关于x的不等式的解集为，所以关于x的不等式的解集为R.当，即时，，解集为R成立；当，即时，，解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选C.
4.答案：
解析：p：即，解得，即不等式的解集为.，其中，解得，即不等式的解集为.因为q是p的必要不充分条件，所以p能推出q，但q推不出p，所以，即且等号不同时成立，解得.
5.答案：
解析：由可得.①因为，或，所以当时，，所以，此时的根为，，要求解得.又因为，所以.
②因为，，所以当时，，所以此时要求.又因为，所以，所以，.综上所述，m的取值范围是.
6.答案：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
解析：不等式，变形为.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为或.
当时，若，则，不等式的解集为；
若，则，不等式的解集为；
若，则，不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
7.答案：B
解析：设该厂每天获得的利润为y元，则(，).根据题意可得，解得.故当，且时，每天获得的利润不低于1300元.故选B.
8.答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元
(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元
解析：(1)设平均每件所需的成本费用为y元，
则有
，
当且仅当，即时，等号成立，此时y的最小值是300.
因此用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元.
(2)设月利润为P(元)，
则有，
整理得，
解得(舍去)或.
因此该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元.
9.答案：D
解析：由解得，所以.因为，所以.故选D.
10.答案：B
解析：由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.故选B.
11.答案：CD
解析：当时，原不等式为，解得，故A错误；当时，原不等式为，解得或，故B错误；当时，原不等式为，解得或，故C正确；因为二次函数的图像开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确.选CD.
12.答案：ABD
解析：已知关于x的不等式的解集为或，则函数的图像开口向上，，故A正确.又因为-2和3是关于x的方程的两根，所以，，所以，，所以关于x的不等式等价于.又因为，所以，故B正确.因为关于x的不等式的解集为或，所以当时，，故C错误.关于x的不等式等价于，即，解得或，故D正确.选ABD.
13.答案：或
解析：解：不等式可化为，解得或.
14.答案：
解析：当时，不等式可化为，无解，满足题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则，解得.综上，实数a的取值范围是.
15.答案：实数m的取值范围为或
解析：命题p为真时，解得.
命题q为真时，，解得.
当p真q假时，故有.
当p假q真时，故有.
综上所述，实数m的取值范围为或.
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