3.2 函数的基本性质——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

3.2 函数的基本性质
【夯实基础】
知识点1 单调性与最大（小）值
1.如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为( )
A. B. C. D.
2.已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
3.若函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________.
4.若函数在区间上的最大值是M，最小值是m，则( )
A.与a无关，但与b有关 B.与a无关，且与b无关
C.与a有关，但与b无关 D.与a有关，且与b有关
5.定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上有( )
A.最小值 B.最大值 C.最大值 D.最小值
知识点2 奇偶性
6.设函数为奇函数，则实数( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
7.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知为R上的奇函数，且其图象关于点对称，则_____________.
【提升能力】
9.函数满足对任意都有，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则( )
A. B. C. D.
11.（多选）下列函数在上不具有单调性的是( )
A. B. C. D.
12.（多选）已知函数满足,当且时,都有,且对任意的,不等式恒成立,则实数a的取值可以是( ).
A.-1 B.1 C.0 D.2
13.已知函数满足对任意的，，有，则满足的实数x的取值范围是_______.
14.若是R上的奇函数，且，则的值为________.
【综合素养】
15.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为在上单调递增，且在和上单调递减，且这两个区间的交集为，所以其“缓增区间”为.
2.答案：B
解析：由，且是单调函数可知必是常数，设(k为常数)，得，且，解得，所以，.
3.答案：
解析：①当时，，所以在上单调递增，满足题意；②当时，函数图象的对称轴为直线，若在上单调，则或，解得.综上所述，.
4.答案：A
解析：，令，则的最大值是M，最小值是m，而a影响图象的上下平移，此时最大值和最小值同步变大或变小，故与a无关，而b影响图象的左右平移，故与b有关.
5.答案：D
解析：设，且，令，则，.
因为当时，，所以，
所以，即.
所以函数在R上是减函数，所以在上有最小值.
6.答案：A
解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有.
7.答案：B
解析：因为为偶函数，所以关于对称，①
因为为奇函数，所以②
在②中，令，可得
因为关于对称，所以，
再在②中，令，得，故选B.
8.答案：0
解析：因为函数的图象关于点对称，所以.又因为是奇函数，所以，所以是周期为6的函数，所以.
9.答案：B
解析：因为对任意都有，
所以函数在定义域R上单调递增，
所以解得.
10.答案：D
解析：本题考查函数的奇偶性与周期性.可知，，故，，则，，得，得，由，得，故，所以.
11.答案：CD
解析：A.在上单调递增；B.在上单调递减；C.在上均单调递增，但在上不具有单调性；D.在上单调递增，在上单调递减，而在上不具有单调性.故选CD.
12.答案：AC
解析：由题意得函数为偶函数,且在上单调递增,由对任意的,不等式恒成立,得不等式,恒成立,
则,恒成立,得,即,恒成立,又当时,有,,所以且,恒成立,即当时,且,可得.故选AC.
13.答案：
解析：因为函数满足对任意的，
，有，
所以当时，，
所以函数在上单调递减.
又，所以.故实数x的取值范围是.
14.答案：-13
解析：因为是R上的奇函数，所以，且.
因为，所以，则.
15.答案：B
解析：由题可知，当时，，则当时，，且当时，.当时，，则.当时，，则.
若，则当时，，且时，.
同理，若，则当时，，且时，.
函数的大致图象如图所示.
对任意恒成立，
当时，，由图可知.故选B.
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