3.3 幂函数——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

3.3 幂函数
【夯实基础】
知识点1 幂函数的概念
1.若函数是幂函数，则( )
A.1 B.-3 C.-3或1 D.2
2.已知幂函数的图象过点，则__________，__________.
知识点2 幂函数的图象与性质
3.下列函数中，定义域是R的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有的值为( )
A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3
5.已知幂函数的图象不过原点，则实数( )
A.1 B.-1 C.4 D.-4
6.已知幂函数的图象过点,则下列结论正确的是( )
A.的定义域为
B.在其定义域上为减函数
C.是偶函数
D.是奇函数
7.已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则________.
8.已知幂函数在上为减函数.
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【提升能力】
9.设，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知幂函数，其中，若函数在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若a，，且的值为负值，则下列结论可能成立的是( )
A.， B.，
C.， D.以上都可能
12.（多选）已知函数，则( ).
A.函数过点
B.若函数过点，则函数为偶函数
C.若函数过点，则函数为奇函数
D.当时，存在函数，使得
13.已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
14.已知函数，若对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_________.
【综合素养】
15.如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①，②，③ B.①，②，③
C.①，②，③ D.①，②，③
16.已知幂函数在上是单调递减函数.
（1）求m的值；
（2）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为函数是幂函数，所以且，解得.
2.答案：，4
解析：由题意知，所以，则，所以.
3.答案：C
解析：函数，的定义域为，函数的定义域为，函数的定义域为R.故选C.
4.答案：A
解析：当时，的值域不是R，当时，是偶函数，当，3时，的值域为R，且为奇函数，因此选项A正确，故选A.
5.答案：B
解析：本题考查幂函数性质.幂函数不过原点，则，解得.
6.答案：B
解析：设幂函数.
幂函数的图象过点，，，
，
的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确.
函数的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C,D错误.故选B.
7.答案：-1
解析：幂函数为奇函数，可取-1，1，3，
又在上递减，，故.
故答案为：.
8.答案：（1）
（2）该幂函数为奇函数，其单调减区间为，
解析：（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，故其单调减区间为，.
9.答案：B
解析：本题考查幂函数的大小比较.构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故.
10.答案：A
解析：因为函数为幂函数，所以，所以.
因为函数在上是单调递增的，
所以，
所以.
又因为，所以，1，2.
当或时，函数为奇函数，不合题意，舍去；
当时，，为偶函数，符合题意.
故.
所以.故选A.
11.答案：BC
解析：由函数为幂函数可知，解得或.当时，；当时，.由题意得函数在上为增函数，因此，在R上单调递增，且为奇函数.结合以及可知，所以，即，所以.当时，，；当时，，；当时，，，均有可能成立.故选BC.
12.答案：BC
解析：，则，故A错误；
若函数过点，则，，即函数为偶函数，故B正确；
若函数过点，则，，即函数为奇函数，故C正确；
当时，在上单调递增，则，故D错误.故选BC.
13.答案：
解析：本题考查幂函数的性质应用.是定义域为的递减函数，，则，解得.
14.答案：
解析：由题意可知，，为奇函数，
由解析式易知，在定义域上为增函数，
由，可得，在上恒成立，
当时，恒成立，可得；
当时，恒成立，符合题意；
当时，恒成立，可得.
综上，实数m的取值范围是.
15.答案：A
解析：本题考查幂函数的图象.是反比例函数，其对应图象为①；的定义域为，应为图②；的定义域为R且为奇函数，故应为图③.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）在区间上是单调递减函数，则，
解得，又，所以.
（2），则在上恒成立，
则，可知当时，，
所以实数a的取值范围是.
2