3.4 函数的应用（一）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

3.4 函数的应用（一）
【夯实基础】
知识点 函数模型解决实际问题
1.某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是( )
A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％
2.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（a，c为常数）.已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，则c和a的值分别是( )
A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16
3.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.x的大小由第一年产量确定
4.网上购鞋时常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.
中国鞋码实际标准 （mm） 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
中国鞋码习惯叫法 （号） 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
从上述表格可以推算出，“30号”的童鞋对应的脚的长度是( )
A.150 mm B.200 mm C.180 mm D.210 mm
5.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A.15 B.40 C.25 D.130
6.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日销售量的关系如下表：
单价/元 16 17 18 19 20 21 22
日销售量/盒 480 440 400 360 320 280 240
根据以上数据，当这个餐厅日销售利润（利润=总收入-总成本）最大时，每盒盒饭定价为____________元.
7.某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，若日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为，则该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为_____________元.
8.发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成，某农村电商结合自己出售的商品，要购买3000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研.此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格y（单位：元）与订购数量x（单位：个）之间有如下关系：
则该电商购入3000个包装盒至少需要__________元.（说明：商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和）
【提升能力】
9.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为定价为多少时才能获得最大利润？( )
A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元
10.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日( )
A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00
11.（多选）当某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.若要该杂志销售收入不少于22.4万元，则每册杂志可以定价为( ).
A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元
12.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米（不超过3千米按起步价付费）；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费.另外每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶2千米，乘客需付费8元
B.出租车行驶4千米，乘客需付费9.6元
C.出租车行驶10千米，乘客需付费25.45元
D.某人两次乘出租车均行驶5千米的费用之和超过他一次乘出租车行驶10千米的费用
13.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_________.
14.为引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过400千瓦时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元，则此户居民10月份的用电量为_________千瓦时.
【综合素养】
15.春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
16.某大型企业原来每天成本(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量时，总成本.
（1）求k的值；
（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量)
答案以及解析
1.答案：D
解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.
2.答案：C
解析：显然，则由题意可得解得故选C.
3.答案：B
解析：由题意设第一年的产量为a，则第三年的产量为，解得.故选B.
4.答案：B
解析：设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码，由题中表格可得，.当时，.故选B.
5.答案：C
解析：若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意.故该公司拟录用25人.
6.答案：21.5
解析：由题表信息可知，销售单价为16元时，日销售量为480盒，销售单价每增加1元，日销售量减少40盒，设销售单价为x元，则日销售量为盒，设这个餐厅的日销售利润为y元，则，
所以当时，y取得最大值，最大值为1490，
即每盒盒饭定价为21.5元时，日销售利润最大.
7.答案：10
解析：设该桶装水经营部的利润为元，则，所以当时，取得最大值330，即该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为10元.
8.答案：1260
解析：设长方体包装盒的长为分米，则宽为分米，
其表面积.
，
当且仅当，即时取等号，
.
当时，，
总费用最少为（元）.
9.答案：D
解析：通过题中表格可知销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为元，日利润为y元，则，
，当时y有最大值，
每桶水的价格为11.5元时，日利润最大，故选D.
10.答案：C
解析：当时，设，把代入，得，所以.
同理可得，当时，.
所以
要使，
则有或
解得或，所以.
故第二次服药最迟的时间应为当日下午4：00.故选C.
11.答案：BC
解析：依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为元，则发行量为万册，则该杂志销售收入为万元，所以，化简得，解得，故选BC.
12.答案：CD
解析：在A中，出租车行驶2千米，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；在B中，出租车行驶4千米，乘客需付费（元），B错误；在C中，出租车行驶10千米，乘客需付费（元），C正确；在D中，乘出租车行驶5千米，乘客需付费（元），乘坐两次需付费26.6元，，D正确.故选CD.
13.答案：20
解析：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为万元，，当，即当时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
14.答案：580
解析：设某户居民一个月的用电量为x千瓦时，电费为元，则当时，；当时，；当时，.
故
根据10月份此户居民交纳的电费可知，此户居民用到了第三阶梯电量，
令，得.
所以此户居民10月份的用电量为580千瓦时.
15.答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人
（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少
解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
16.（1）答案：
解析：由题意，尾气净化装置安装后总成本，
当日产量时，总成本，代入计算得.
（2）答案：尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.
解析：由(1)可得，
总利润，
日平均利润，
当且仅当，即时取等号.
尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.
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