4.5 函数的应用（二）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

4.5 函数的应用（二）
【夯实基础】
知识点1 函数的零点与方程的解
1.设函数有5个零点，，，，，且对一切实数x均满足，则( )
A.8 B.10 C.16 D.20
2.方程的实数根所在的区间为( ).
A. B. C. D.
3.表示不超过x的最大整数，例如，.已知是方程的根，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点2 用二分法求方程的近似解
4.某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分( )
A.8次 B.9次 C.10次 D.11次
知识点3 函数模型的应用
6.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
7.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过___________时间.(参考数据：，)( )
A.4年 B.5年 C.6年 D.7年
8.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边(单位：cm)和厚度x(单位:)满足.根据以上信息，当某张纸对折完4次时，的最小值为_________.现有一张长边为30 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸，该矩形纸最多能对折_________次.(参考数值：)
【提升能力】
9.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6900万元人民币的年份是( ).(参考数据:，，)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
10.已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
11.（多选）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值可以为( )
A.0 B. C.3 D.4
12.（多选）已知定义域为R的偶函数有4个零点，，，，并且当时，，则下列说法中正确的是( )
A.实数a的取值范围是
B.当时，
C.
D.的取值范围是
13.已知函数，则函数的零点为________.
14.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.
【综合素养】
15.已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.
16.“半斤不脸红，一斤不心跳，二斤倒不了！”酒驾者都有超乎寻常的“自信”，显然他们已经忘记了酒精会使人神经麻痹、迟钝的真理.世界卫生组织的事故调查显示，在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起，而造成死亡的事故中50%以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶红酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且该图表示的函数模型为.
（1）求a的值；
（2）当酒精含量大于20 mg/100mL是酒后驾车，则喝完一瓶红酒最少要经过多长时间才可以安全驾车？（时间以整小时计算）
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于任意，函数满足，函数的图像关于点对称，函数的零点关于直线对称，函数的5个零点中有2对关于直线对称，中间的零点是2，.故选B.
2.答案：A
解析：设，则，，因为，所以是方程的实数根所在的一个区间.又在R上单调递增，故方程有唯一的实数根.故选A.
3.答案：C
解析：令，
当时，，
当时，，
即，又单调递增，其图象是连续不断的，所以的零点所在区间为，所以，故选C.
4.答案：C
解析：,,,在区间（1,1.5）内函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值为.故选C.
5.答案：D
解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，，，所以.
6.答案：A
解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.
7.答案：B
解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，.
因为，所以，即.故选B.
8.答案：64，7
解析：由，得，郎，
，即的最小值为64.
由题意知，
故该矩形纸最多能对折7次.
9.答案：B
解析：当年份为n时，短视频制作的资金为(万元)，，，由，两边同时取对数并整理得，
解得，从而得，
所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.
10.答案：A
解析：因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，
令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，如图所示.
由图知与的图象在区间上共有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选A.
11.答案：CD
解析：当时，恒成立，即在区间上无零点，所以当时，有三个正根，解得或.当时，单调递增，且，则方程有一个根，则方程要有两个根，即有两个正数解，则，解得，故C、D项正确.
12.答案：BC
解析：对于A选项，因为为偶函数且有4个零点，所以当时有2个零点，故，故A错误；对于B选项，当时，，故，故B正确；对于C选项，由函数是偶函数，可知，且，，故，故C正确；对于D选项，，由，可知，函数在上单调递增，故，故D错误.故选BC.
13.答案：-8和2
解析：令，得.
当时，令，得；当时，，易知在区间上单调递增，又，所以.
故函数的零点为-8和2.
14.答案：5
解析：干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.
15.答案：7
解析：由知是奇函数，又当时，，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.
16.（1）答案：
解析：当时，，解得.
（2）答案：最少经过6小时才可以驾车
解析：由题意得，即，从而，解得，
所以最少经过6小时才可以驾车.
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