5.7 三角函数的应用——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册课时分层练（含答案)

5.7 三角函数的应用
【夯实基础】
知识点 三角函数的应用
1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式，则当时，角的大小，单摆的频率分别是( )
A.， B.2， C.， D.2，
2.音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为( )
A.200 B.400 C. D.
3.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市一房地产中介对该市一楼盘在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足：，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10000 9500
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A.10000元 B.9500元 C.9000元 D.8500元
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为.若针尖的初始坐标为，当秒针从过点的位置（此时）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
5.电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则时的电流强度为( )
A.0安培 B.安培 C.安培 D.安培
6.国际油价在某一时间内呈现正弦型波动规律：（单位：美元），t为天数，,.现采集到下列信息:最高油价为80美元,当天时，油价最低,则的最小值为_________.
7.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长__________cm.
8.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y（cm）（假设向上为正）与振动时间x（s）的关系式可以是________________.
【提升能力】
9.电流强度随时间变化的函数的图像如图所示，则当时，电流强度是( )
A. B. C. D.
10.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距,低潮时水深为,高潮时水深为.每天潮涨潮落时,该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象,其中,且当时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
11.（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
12.（多选）如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A.经过10min，点P距离地面10m
B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
C.第17 min和第43 min时点P距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70 m的时间为min
13.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________________.
14.如图所示，某游乐园内摩天轮的中心点O距地面的高度为，摩天轮匀速转动.摩天轮上的一点P自最低点A起，经过后，点P的高度（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面以上的时间将持续___________min.
【综合素养】
15.下图为2021年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为____________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：当时，，由函数解析式易知单摆的周期为，故单摆的频率为.
2.答案：D
解析：由题图可得，，，即，则.故选D.
3.答案：C
解析：因为，
所以当时，；
当时，，
所以可取，可取π，
即.
当时，.
4.答案：C
解析：解法一 t时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角为，以x轴正半轴为始边，所在射线为终边，得对应的角为，
则对应的角为，
由可知在单位圆上，所以t时刻的纵坐标，故选C.
解法二 时，纵坐标，排除BD；时，观察图形，此时P不可能位于y轴正半轴，即纵坐标，排除A.选C.
5.答案：A
解析：由题图知，函数的周期，所以，则，将点代入，可得，，.又，，故函数解析式为，将代入函数解析式，得.
6.答案：
解析：由题意得，，又因为，所以时，最小.最小值为.
7.答案：
解析：由已知得，所以，所以，所以.
8.答案：（答案不唯一）
解析：不妨设（其中，）.由题知，，所以.当时，，且小球开始向上运动，所以，，不妨取，故所求关系式可以为.
9.答案：A
解析：由图像知.又点在图像上，.又.当时，，故选A.
10.答案：A
解析：由相邻两次高潮发生的时间相距，知最小正周期，得.又由高潮时水深为和低潮时水深为，得.由题意知当时，.故将点代入解析式，得，得，解得.所以该函数的解析式为，当时，.故选A.
11.答案：BC
解析：由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5 cm，B正确；由简谐运动的特点知，质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，D错误.故选BC.
12.答案：ACD
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
设是以x轴的非负半轴为始边，（表示点P的起始位置）为终边的角，
由点P的起始位置在最高点知，，
又由题知OP在t min内转过的角为，即，
所以以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角为，
即点P的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是.
当时，，A正确；当转速减半时，周期变为原来的2倍，B错误；，，C正确；由得，解得，，即，，因此一个周期内高度不低于70 m的时长为，D正确.故选ACD.
13.答案：
解析：由题意得，，，则，故所求函数的解析式为.
14.答案：4
解析：令，得，则，解得.在转动一圈的过程中，从四分钟开始高度大于，八分钟开始高度小于，故在转动一圈的过程中高度大于的时间有.
15.答案：13℃
解析：由题意得，，
，
，，
，
将，代入得，即，
，，
，.
当时，，
即该天8时的温度大约为13℃.
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