24.3.1 锐角三角函数（同步质训）2023－2024学年华东师大版数学九年级上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 24.3.1 锐角三角函数（同步质训）2023－2024学年华东师大版数学九年级上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 205.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-06 17:04:24 | ||
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文档简介
24.3.1 锐角三角函数（同步质训）
华东师大新版九年级上学期数学
一．选择题（共11小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A． B． C． D．3
3．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知α为锐角，下列结论：
（1）sinα+cosα＝1；
（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；
（3）如果cosα＞，则α＜60°；
（4）＝1﹣sinα．
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4）
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（ ）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
6．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，cosA＝，则tanA为（ ）
A． B． C． D．
9．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
11．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
二．填空题（共4小题）
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则cosB的值为 ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值为 ．
三．解答题（共6小题）
16．计算：
（1）tan260°+4sin30℃os45°
（2）+tan60°．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
20．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
24.3.1 锐角三角函数（同步质训）华东师大新版九年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴cosB＝＝．
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
3．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
4．已知α为锐角，下列结论：
（1）sinα+cosα＝1；
（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；
（3）如果cosα＞，则α＜60°；
（4）＝1﹣sinα．
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4）
【答案】C
【解答】解：（1）如果α＝30°，那么sinα＝，cosα＝，sinα+cosα＝≠1，错误；
（2）∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°﹣α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°﹣α），∴sinα＞cosα，正确；
（3）∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；
（4）∵sinα≤1，∴sinα﹣1≤0，∴＝|sinα﹣1|＝1﹣sinα，正确．
故正确结论的序号是（2）（3）（4）．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（ ）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
【答案】D
【解答】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα＝，cosα＝，OP＞PM，
∴sinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．
∵sinα＝，cosα＝，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故选：D．
6．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
【答案】A
【解答】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝k，则b＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，cosA＝，则tanA为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵cosA＝＝，AC＝12，
∴AB＝13，BC＝＝5，
∴tanA＝＝．
故选：B．
9．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
10．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵sinA＝cos（90°﹣C）＝，
∴∠A＝45°，90°﹣∠C＝45°，
即∠A＝45°，∠C＝45°，
∴∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
11．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【答案】D
【解答】解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
二．填空题（共4小题）
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则cosB的值为 ．
【答案】．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，
可设AC＝k，则BC＝2k，AB＝＝k，
∴cosB＝＝，
故答案为：．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵sinA＝，即＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值为 1+2 ．
【答案】1+2．
【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝BC＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
故答案为：1+2．
三．解答题（共6小题）
16．计算：
（1）tan260°+4sin30℃os45°
（2）+tan60°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝3+4××
＝3+；
（2）原式＝+
＝．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．
【答案】36，．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，
所以＝，即＝，
所以BC＝12，
又因为AC2+BC2＝AB2，
所以AC＝9，
所以△ABC的周长AC+BC+AB＝9+12+15＝36，
tanA＝＝＝．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
【答案】（1）45°；
（2）8．
【解答】解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
【答案】（1）5，30°；
（2）9+3．
【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，
∴b＝＝＝5，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°；
（2）∵tanA＝＝2，
∴a＝2b，
∵S△ABC＝9，
∴＝9，
∴＝9，
解得：b＝3（负数舍去），
即a＝6，
由勾股定理得：c＝＝＝3，
∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．
20．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴设AP＝x，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，
∴32+x2＝（4﹣x）2．
解得：．
∴AP的长是．
（2）∵PB＝PC，∠C＝α，
∴∠PBC＝∠C＝α，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，
∴∠ABP＝90°﹣2α．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP＝8﹣x，BQ＝2x﹣6，CQ＝16﹣2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A＝90°，∴QH∥AB，
∴
∴，
∴PH＝CH﹣CP＝（8﹣x），
∴tan∠QPA＝＝2．（1分）
∵tan∠QCA＝，
∴tan∠QPA+tan∠QCA＝，
tan∠QPA tan∠QCA＝，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2﹣即4y2﹣11y+6＝0．（1分）
（2）当S△PBQ＝时，设PA＝x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ＝2x，BQ＝6﹣2x．
S△PBQ＝
＝
＝，
∴，
∵Δ＝9﹣，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB＝2x﹣6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△PBQ＝
＝
＝．
∴x2﹣11x+28＝0，
解得：x1＝4，x2＝7．
∴S△PBQ＝时，PA＝4或7．（2分）
华东师大新版九年级上学期数学
一．选择题（共11小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A． B． C． D．3
3．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知α为锐角，下列结论：
（1）sinα+cosα＝1；
（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；
（3）如果cosα＞，则α＜60°；
（4）＝1﹣sinα．
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4）
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（ ）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
6．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，cosA＝，则tanA为（ ）
A． B． C． D．
9．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
11．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
二．填空题（共4小题）
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则cosB的值为 ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值为 ．
三．解答题（共6小题）
16．计算：
（1）tan260°+4sin30℃os45°
（2）+tan60°．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
20．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
24.3.1 锐角三角函数（同步质训）华东师大新版九年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴cosB＝＝．
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
3．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
4．已知α为锐角，下列结论：
（1）sinα+cosα＝1；
（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；
（3）如果cosα＞，则α＜60°；
（4）＝1﹣sinα．
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4）
【答案】C
【解答】解：（1）如果α＝30°，那么sinα＝，cosα＝，sinα+cosα＝≠1，错误；
（2）∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°﹣α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°﹣α），∴sinα＞cosα，正确；
（3）∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；
（4）∵sinα≤1，∴sinα﹣1≤0，∴＝|sinα﹣1|＝1﹣sinα，正确．
故正确结论的序号是（2）（3）（4）．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（ ）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
【答案】D
【解答】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα＝，cosα＝，OP＞PM，
∴sinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．
∵sinα＝，cosα＝，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故选：D．
6．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
【答案】A
【解答】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝k，则b＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，cosA＝，则tanA为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵cosA＝＝，AC＝12，
∴AB＝13，BC＝＝5，
∴tanA＝＝．
故选：B．
9．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
10．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵sinA＝cos（90°﹣C）＝，
∴∠A＝45°，90°﹣∠C＝45°，
即∠A＝45°，∠C＝45°，
∴∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
11．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
【答案】D
【解答】解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
二．填空题（共4小题）
12．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则cosB的值为 ．
【答案】．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，
可设AC＝k，则BC＝2k，AB＝＝k，
∴cosB＝＝，
故答案为：．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵sinA＝，即＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值为 1+2 ．
【答案】1+2．
【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝BC＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
故答案为：1+2．
三．解答题（共6小题）
16．计算：
（1）tan260°+4sin30℃os45°
（2）+tan60°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝3+4××
＝3+；
（2）原式＝+
＝．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．
【答案】36，．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，
所以＝，即＝，
所以BC＝12，
又因为AC2+BC2＝AB2，
所以AC＝9，
所以△ABC的周长AC+BC+AB＝9+12+15＝36，
tanA＝＝＝．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
【答案】（1）45°；
（2）8．
【解答】解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
【答案】（1）5，30°；
（2）9+3．
【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，
∴b＝＝＝5，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°；
（2）∵tanA＝＝2，
∴a＝2b，
∵S△ABC＝9，
∴＝9，
∴＝9，
解得：b＝3（负数舍去），
即a＝6，
由勾股定理得：c＝＝＝3，
∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．
20．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴设AP＝x，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，
∴32+x2＝（4﹣x）2．
解得：．
∴AP的长是．
（2）∵PB＝PC，∠C＝α，
∴∠PBC＝∠C＝α，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，
∴∠ABP＝90°﹣2α．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP＝8﹣x，BQ＝2x﹣6，CQ＝16﹣2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A＝90°，∴QH∥AB，
∴
∴，
∴PH＝CH﹣CP＝（8﹣x），
∴tan∠QPA＝＝2．（1分）
∵tan∠QCA＝，
∴tan∠QPA+tan∠QCA＝，
tan∠QPA tan∠QCA＝，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2﹣即4y2﹣11y+6＝0．（1分）
（2）当S△PBQ＝时，设PA＝x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ＝2x，BQ＝6﹣2x．
S△PBQ＝
＝
＝，
∴，
∵Δ＝9﹣，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB＝2x﹣6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△PBQ＝
＝
＝．
∴x2﹣11x+28＝0，
解得：x1＝4，x2＝7．
∴S△PBQ＝时，PA＝4或7．（2分）