广东省深圳市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月开学摸底试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·深圳月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·深圳月考）已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·深圳月考）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高三上·深圳月考）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·深圳月考）为丰富同学们的暑假生活，暑假期间学校给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．144种 B．96种 C．56种 D．34种
6．（2023高三上·深圳月考）现随机安排甲 乙等4位同学参加校运会跳高 跳远 投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件
C． D．
7．（2023高三上·深圳月考）分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023高三上·深圳月考）符号表示不超过实数的最大整数，如.已知数列满足，.若为数列的前项和，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·深圳月考）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高三上·深圳月考）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
11．（2023高三上·深圳月考）如图，在正方体中，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．
12．（2023高三上·深圳月考）已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上有极小值
C．的最小值为 D．的最小值为0
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.
13．（2023高三上·深圳月考）的展开式中，项的系数为 .
14．（2023高三上·深圳月考）如果平面向量，那么向量在上的投影向量为 .
15．（2023高三上·深圳月考）已知正数满足，则函数的定义域为 .
16．（2023高三上·深圳月考）如图，直三棱柱中，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·深圳月考）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
（1）求的值；
（2）求的面积；
18．（2023高三上·深圳月考）已知数列各项都不为0，前项和为，且，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
19．（2023高三上·深圳月考）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
参考数据：若，则①；②；③.
20．（2023高二下·江宁期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
21．（2023高三上·深圳月考）已知函数，实数为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在上的零点个数.
22．（2023高三上·深圳月考）已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.
（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；
（2）求的值，使得抛物线的焦点在直线上.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】先求出，再利用补集定义求.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得 ，.
故答案为：B.
【分析】先利用复数除法求，进而写出得到答案.
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 曲线 的导数为，令，则，，解得 .
故答案为：C.
【分析】求导得，导函数经过点，切线方程经过点 代入求解 .
4．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设 ，，又 关于原点对称，
为奇函数，排除选项D，，，排除选项A，，，排除选项B，
故答案为：C.
【分析】先判断函数奇偶性，再取特值，判断选项.
5．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：第一步安排讲座A在第一或最后一场有种方法，第二步讲座B和C进行捆绑排列有种方法，第三步分步计数原理知共有种方法安排方法 .
故答案为：B.
【分析】第一步安排讲座A在第一或最后一场，第二步讲座B和C进行捆绑，第三步排列计数原理计算求解.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、每项比赛至少一位同学参加共有种方案，
事件“甲参加跳高比赛”，跳高比赛可安排2人或安排1人，有种方案，，同理
事件“甲参加跳高比赛，乙参加跳高比赛 ”，有种方案，，事件与不相互独立 ，A错误；
B、事件与可以同时发生， 事件与不是互斥事件，B错误；
C、 ， C错误；
D、事件“甲参加跳高比赛，乙参加跳远比赛 ”，有种方案，，
，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意求出，，，，再根据相互独立事件的判定、互斥事件的定义和条件概率公式逐一判断选项.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】由题可得与渐近线平行，所以，，进而化简得.
8．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；分析法和综合法
【解析】【解答】解：由 得，令，则，数列是首项为公比为的等比数列，，
，，，，全部相加化简得，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：B.
【分析】由推得等比数列，进而数列的通项，求得，利用裂项相消法求出，结合题中定义可求的值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： ，，，，，即，，，， ， ， ，故ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对平方得，根据求得，所以，进而逐一判断选项.
10．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当，有 ，A错误；
B、 若，即 ，B正确；
C、 若且，，，即 ，C错误；
D、 ， ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】ABC根据不等式性质逐一判断，D作差判断.
11．【答案】A,B,C
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图，
不妨设正方体 边长为2，则，，，，，，，，，，，，，
A、 ，， ， ，A正确；
B、 ，，
设平面 的一个法向量为，则，
令得，，又 平面， 平面，B正确；
C、 ，，，，，，又平面，平面，，平面平面 ，C正确；
D、由AB知不存在使得，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一分析选项.
12．【答案】A,B
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数及其导函数满足 ，，，又 ，，
AB、，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
， 在上单调递增，在上有极小值 ，AB正确；
C、令 ，则，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
，C错误；
D、由A知 ，D错误.
故答案为：AB.
【分析】由变形可得结合 求得，利用函数的单调性和导数的关系逐一判断选项.
13．【答案】252
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解： 的展开式通项为，令，解得，
展开式中项为.
故答案为：252.
【分析】根据二项式展开式通项求 项的系数 .
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ， ，，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先求出，，再利用投影向量公式向量在上的投影向量为代入计算.
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解： 由 得求得，，定义域为 解得.
故答案为：.
【分析】由题意先求出的值，在由求出 函数的定义域.
16．【答案】
【知识点】基本不等式；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设，，
由题意知，，，
又 ，，，化简得，
的面积，
当且仅当，即，，的面积取得最小值，
三棱锥 可补形为长方体，其外接球的直径即为长方体体对角线，
外接球的半径，外接球的表面积.
故答案为：.
【分析】设，，利用得，利用基本不等式得，，的面积取得最小值，进而分析求三棱锥的外接球的表面积.
17．【答案】（1）解：.
.
（2）解：由正弦定理可得.
，
所以的面积.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求解；
(2)先求出，再利用三角形的面积公式求解.
18．【答案】（1）解：由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为0，所以数列是以为公比的等比数列.
令，则，解得，故.
由题知，所以
（2）解：由（1）得，
所以，
，
两式相减得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)利用求数列通项 ，利用累加法求数列通项；
(2) 由（1）得利用错位相减法求数列的前项和为 .
19．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，即，
所以.
（3）解：由题意可知和的频率之比为：，
故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，
，故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图利用平均数的计算公式求解；
(2)根据，利用正态分布的对称性计算；
(3)由题意得到随机变量的取值并求相应的概率，列出分布列求期望.
20．【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
21．【答案】（1）解：，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，令，解得，故时，单调递减，时，单调递增.
综上，当时，则在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增
（2）解：由已知得，则.
①当时，因为，
所以在上单调递减.所以.
所以在上无零点.
②当时，因为单调递增，且，
所以存在，使.当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以.设，则.
令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.所以.所以.
所以.所以在上存在一个零点.所以在有2个零点.
③当时，，
所以在上单调递增.因为，所以在上无零点.
综上所述，在上的零点个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)对 求导得，再对分类讨论，求函数的单调区间；
(2)对 求导得，根据导函数的性质分别对，，讨论求解零点个数.
22．【答案】（1）解：当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为：
，从而点的坐标为或.因为点在抛物线上，所以，即.此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上.
（2）解：解法一：由（1）知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为.
由消去得①
设的坐标分别为，
则是方程①的两根，.
由消去得.②
因为的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.③
由于也是方程③的两根，所以.
从而.解得④
又过的焦点，
所以，
则.⑤
由④⑤式得，即.解得.
于是.因为的焦点在直线上，
所以，即或.
由上知：或.
解法二：设的坐标分别为.因为既过的右焦点，又过的焦点，所以.
即.①
由（1）知，于是直线的斜率，②
且直线的方程是，所以.③
又因为，所以.④
将①②③代入④得.⑤
因为，所以.
将②③代入⑥得.⑦
由⑤⑦得.即，
解得或（舍去）.将代入⑤得或.
由上知：或.
【知识点】椭圆的定义；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)当轴时，点关于轴对称，所以，求出直线的方程，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，进而判断抛物线的焦点是否在直线上；
(2)设直线的方程为，点，将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立利用韦达定理求得，再结合抛物线、椭圆的焦半径公式可求出的值，进而求的值.
1 / 1广东省深圳市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月开学摸底试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·深圳月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】先求出，再利用补集定义求.
2．（2023高三上·深圳月考）已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得 ，.
故答案为：B.
【分析】先利用复数除法求，进而写出得到答案.
3．（2023高三上·深圳月考）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 曲线 的导数为，令，则，，解得 .
故答案为：C.
【分析】求导得，导函数经过点，切线方程经过点 代入求解 .
4．（2023高三上·深圳月考）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设 ，，又 关于原点对称，
为奇函数，排除选项D，，，排除选项A，，，排除选项B，
故答案为：C.
【分析】先判断函数奇偶性，再取特值，判断选项.
5．（2023高三上·深圳月考）为丰富同学们的暑假生活，暑假期间学校给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．144种 B．96种 C．56种 D．34种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：第一步安排讲座A在第一或最后一场有种方法，第二步讲座B和C进行捆绑排列有种方法，第三步分步计数原理知共有种方法安排方法 .
故答案为：B.
【分析】第一步安排讲座A在第一或最后一场，第二步讲座B和C进行捆绑，第三步排列计数原理计算求解.
6．（2023高三上·深圳月考）现随机安排甲 乙等4位同学参加校运会跳高 跳远 投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、每项比赛至少一位同学参加共有种方案，
事件“甲参加跳高比赛”，跳高比赛可安排2人或安排1人，有种方案，，同理
事件“甲参加跳高比赛，乙参加跳高比赛 ”，有种方案，，事件与不相互独立 ，A错误；
B、事件与可以同时发生， 事件与不是互斥事件，B错误；
C、 ， C错误；
D、事件“甲参加跳高比赛，乙参加跳远比赛 ”，有种方案，，
，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意求出，，，，再根据相互独立事件的判定、互斥事件的定义和条件概率公式逐一判断选项.
7．（2023高三上·深圳月考）分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】由题可得与渐近线平行，所以，，进而化简得.
8．（2023高三上·深圳月考）符号表示不超过实数的最大整数，如.已知数列满足，.若为数列的前项和，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；分析法和综合法
【解析】【解答】解：由 得，令，则，数列是首项为公比为的等比数列，，
，，，，全部相加化简得，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：B.
【分析】由推得等比数列，进而数列的通项，求得，利用裂项相消法求出，结合题中定义可求的值.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·深圳月考）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： ，，，，，即，，，， ， ， ，故ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对平方得，根据求得，所以，进而逐一判断选项.
10．（2023高三上·深圳月考）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、当，有 ，A错误；
B、 若，即 ，B正确；
C、 若且，，，即 ，C错误；
D、 ， ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】ABC根据不等式性质逐一判断，D作差判断.
11．（2023高三上·深圳月考）如图，在正方体中，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．
【答案】A,B,C
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图，
不妨设正方体 边长为2，则，，，，，，，，，，，，，
A、 ，， ， ，A正确；
B、 ，，
设平面 的一个法向量为，则，
令得，，又 平面， 平面，B正确；
C、 ，，，，，，又平面，平面，，平面平面 ，C正确；
D、由AB知不存在使得，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一分析选项.
12．（2023高三上·深圳月考）已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上有极小值
C．的最小值为 D．的最小值为0
【答案】A,B
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数及其导函数满足 ，，，又 ，，
AB、，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
， 在上单调递增，在上有极小值 ，AB正确；
C、令 ，则，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
，C错误；
D、由A知 ，D错误.
故答案为：AB.
【分析】由变形可得结合 求得，利用函数的单调性和导数的关系逐一判断选项.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.
13．（2023高三上·深圳月考）的展开式中，项的系数为 .
【答案】252
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解： 的展开式通项为，令，解得，
展开式中项为.
故答案为：252.
【分析】根据二项式展开式通项求 项的系数 .
14．（2023高三上·深圳月考）如果平面向量，那么向量在上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ， ，，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先求出，，再利用投影向量公式向量在上的投影向量为代入计算.
15．（2023高三上·深圳月考）已知正数满足，则函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解： 由 得求得，，定义域为 解得.
故答案为：.
【分析】由题意先求出的值，在由求出 函数的定义域.
16．（2023高三上·深圳月考）如图，直三棱柱中，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设，，
由题意知，，，
又 ，，，化简得，
的面积，
当且仅当，即，，的面积取得最小值，
三棱锥 可补形为长方体，其外接球的直径即为长方体体对角线，
外接球的半径，外接球的表面积.
故答案为：.
【分析】设，，利用得，利用基本不等式得，，的面积取得最小值，进而分析求三棱锥的外接球的表面积.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·深圳月考）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
（1）求的值；
（2）求的面积；
【答案】（1）解：.
.
（2）解：由正弦定理可得.
，
所以的面积.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求解；
(2)先求出，再利用三角形的面积公式求解.
18．（2023高三上·深圳月考）已知数列各项都不为0，前项和为，且，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
【答案】（1）解：由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为0，所以数列是以为公比的等比数列.
令，则，解得，故.
由题知，所以
（2）解：由（1）得，
所以，
，
两式相减得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)利用求数列通项 ，利用累加法求数列通项；
(2) 由（1）得利用错位相减法求数列的前项和为 .
19．（2023高三上·深圳月考）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
参考数据：若，则①；②；③.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，即，
所以.
（3）解：由题意可知和的频率之比为：，
故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，
，故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图利用平均数的计算公式求解；
(2)根据，利用正态分布的对称性计算；
(3)由题意得到随机变量的取值并求相应的概率，列出分布列求期望.
20．（2023高二下·江宁期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
21．（2023高三上·深圳月考）已知函数，实数为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在上的零点个数.
【答案】（1）解：，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，令，解得，故时，单调递减，时，单调递增.
综上，当时，则在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增
（2）解：由已知得，则.
①当时，因为，
所以在上单调递减.所以.
所以在上无零点.
②当时，因为单调递增，且，
所以存在，使.当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以.设，则.
令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.所以.所以.
所以.所以在上存在一个零点.所以在有2个零点.
③当时，，
所以在上单调递增.因为，所以在上无零点.
综上所述，在上的零点个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)对 求导得，再对分类讨论，求函数的单调区间；
(2)对 求导得，根据导函数的性质分别对，，讨论求解零点个数.
22．（2023高三上·深圳月考）已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.
（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；
（2）求的值，使得抛物线的焦点在直线上.
【答案】（1）解：当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为：
，从而点的坐标为或.因为点在抛物线上，所以，即.此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上.
（2）解：解法一：由（1）知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为.
由消去得①
设的坐标分别为，
则是方程①的两根，.
由消去得.②
因为的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.③
由于也是方程③的两根，所以.
从而.解得④
又过的焦点，
所以，
则.⑤
由④⑤式得，即.解得.
于是.因为的焦点在直线上，
所以，即或.
由上知：或.
解法二：设的坐标分别为.因为既过的右焦点，又过的焦点，所以.
即.①
由（1）知，于是直线的斜率，②
且直线的方程是，所以.③
又因为，所以.④
将①②③代入④得.⑤
因为，所以.
将②③代入⑥得.⑦
由⑤⑦得.即，
解得或（舍去）.将代入⑤得或.
由上知：或.
【知识点】椭圆的定义；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)当轴时，点关于轴对称，所以，求出直线的方程，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，进而判断抛物线的焦点是否在直线上；
(2)设直线的方程为，点，将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立利用韦达定理求得，再结合抛物线、椭圆的焦半径公式可求出的值，进而求的值.
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