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第一章 有理数
1.2 有理数
【核心点拨】
1.掌握有理数的概念.
2.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.
3. 会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.
4. 借助数轴理解相反数的意义，了解数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
5. 会求有理数的相反数.
6. 理解绝对值的概念及性质，会求有理数的绝对值.
7. 掌握有理数大小的比较方法，并能利用数轴和绝对值的知识进行比较.
【考点突破】
考点一 有理数的概念及分类
【例1】-5不是（ ）
A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数
【变式1】下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.21 B． C． D．
【变式2】下列各数：，，，，，，．其中有理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列说法正确的是（ ）
A．有理数分为正数、负数和零 B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数 D．整数包括正整数和负整数
考点二 数轴的概念及画法
【例1】 下列选项中不是数轴的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
【变式2】黑板上，甲、乙、丙三位同学画出了三条数轴，其中画法不正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙. C．甲和丙 D．甲、乙、丙
【变式3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）
（2）
（3）
（4）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点三 数轴上的点与有理数的关系
【例1】如图，数轴上表示数a的点可能是（ ）
A．3 B．0 C． D．1
【变式1】关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（ ）
A．在的左边 B．在3的右边 C．在原点与之间 D．在的左边
【变式2】如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（ ）
A．﹣1.3 B．1.3 C．3.1 D．2.3
【变式3】如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
考点四 相反数的意义及多重符号的化简
【例1】下列各对数中，互为相反数的（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1】下面两个数互为相反数的是（ ）
A．+30和﹣（﹣30） B．﹣0.2和﹣（+0.2）
C．2.5和﹣[+（﹣）] D．+（﹣0.1）和﹣（﹣）
【变式2】下列式子化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列各对数中，是互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与0.3
考点五 绝对值的意义及性质
【例1】的绝对值是（ ）
A． B．2023 C． D．
【变式1】的绝对值是（ ）
A． B．5 C． D．
【变式2】数轴上，到原点距离是8的点表示的数是( )
A．8和﹣8 B．0和﹣8 C．0和8 D．﹣4和4
【变式3】下列各数绝对值最小的是（ ）
A． B． C．0 D．1
考点六 绝对值的应用
【例1】如果，那么a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式1】下列一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【变式3】如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点
考点七 有理数的大小比较
【例1】下列四个数中，比小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式1】 下列比较大小，正确的是( )
A．－3＜－4 B．－(－3)＜|－3| C．－＞－ D． >－
【变式2】下列四个数中，在和之间的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下表是我国几个城市某年月份的平均气温（单位：℃），其中平均气温最低的城市是（ ）
城市 北京 武汉 阜新 哈尔滨
平均气温
A．北京 B．武汉 C．阜新 D．哈尔滨
【复习巩固】
一、选择题
1．在，8，，，，中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．5
3．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
4．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
5．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+5）和﹣5 B．+（﹣5）和﹣5
C．﹣和﹣（+） D．+|+8|和﹣（+8）
7．下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数
B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数
D．在有理数中，零的意义表示没有
8．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点.其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
二、填空题
9．有理数1.7，-17，0，，-0.001，，2003和-1中，负数有 个，其中负整数有 个，负分数有 个．
10．比较大小： ．
11．写出一个比大的负整数 ．
12．已知有理数满足等式，则 ， ， ．
三、解答题
13．把下列各数分别填入相应的集合里：+（﹣2），0，﹣0.314，﹣（﹣11），，﹣4，0.，|-2|
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
自然数集合：{ …}，
分数集合：{ …}.
14．画出数轴，并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0．
15．点A、B在数轴上的位置如图所示：
点A表示的数是 ,点B表示的数是 ；
在原图中分别标出表示的点C、表示的点D；
【综合运用】
一、选择题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最小的正有理数 D．有绝对值最小的有理数
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
3．小明说:﹣(﹣6)的相反数是+(﹣6)，而小亮说: ﹣(﹣6)的相反数是﹣(+6)，对于这两个人的说法，其中正确的是（ ）
A．小明对 B．小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
4．下面说法正确的有( )
①的相反数是－3.14；②符号相反的数互为相反数；③ －（－3.8）的相反数是-3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，表示互为相反数的两个点是（ ）
A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q
6．如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )
A．+a和一(-a)互为相反数 B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数 D．-(+a)和+(-a)一定相等
7．如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
二、填空题
8．已知与互为相反数，则的值为 ．
9．在CCTV“开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，请问：a，b，c三数之和是 ．”
10．如图，数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，且，则点表示的数是______．
11．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，所有满足条件的的值之和是 ．
12．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
13．如图，直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'对应的数是 ．
三、解答题
14．已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示：
（1）说出数a，b的正负性；
（2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置；
（3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？
【中考再现】
1．（2023年江西省中考数学真题）下列各数中，正整数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）有理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
4．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2023年四川省成都市数学中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．
6．（2023年浙江省金华市中考数学真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
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第一章 有理数
1.2 有理数
【核心点拨】
1.掌握有理数的概念.
2.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.
3. 会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.
4. 借助数轴理解相反数的意义，了解数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
5. 会求有理数的相反数.
6. 理解绝对值的概念及性质，会求有理数的绝对值.
7. 掌握有理数大小的比较方法，并能利用数轴和绝对值的知识进行比较.
【考点突破】
考点一 有理数的概念及分类
【例1】-5不是（ ）
A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数
【答案】B
【详解】解：因为-5是有理数、是负整数，所以A、C、D正确，因为自然数是指大于等于0的整数，所以-5不是自然数．故选B．
【变式1】下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.21 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整数和分数统称为有理数，判断即可．
【详解】解：A、1.21是有理数，故此选项不符合题意；B、是有理数，故此选项不符合题意；C、不是有理数，故此选项符合题意；D、是有理数，故此选项不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握整数和分数统称为有理数，注意有限小数或无限循环小数是有理数．
【变式2】下列各数：，，，，，，．其中有理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：有理数有：，，，，，，共个，
故选：．
【变式3】下列说法正确的是（ ）
A．有理数分为正数、负数和零 B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数 D．整数包括正整数和负整数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类选出正确选项．
【详解】A选项错误，有理数分为正有理数、负有理数和零；B选项错误，零不是分数；C选项正确；D选项错误，整数包括正整数、负整数和零．
故选：C．
考点二 数轴的概念及画法
【例1】 下列选项中不是数轴的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义要素，数轴是一种特定几何图形，原点，正方向，长度单位三要素，这三者缺一不可，根据这三要素找出答案．
【详解】数轴的三要素有原点，正方向，长度单位，三者缺一不可，
C选项中没有原点，故选C．
【变式1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．
【详解】解：A、没有原点，错误；B、单位长度不统一，错误；C、没有正方向，错误；D、正确．故选：D．
【变式2】黑板上，甲、乙、丙三位同学画出了三条数轴，其中画法不正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙. C．甲和丙 D．甲、乙、丙
【答案】D
【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：甲：单位长度不一致，故画法不正确；乙：单位长度不一致，故画法不正确；丙：没有原点，故画法不正确；故三人画法都不正确，
故选：D．
【变式3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）
（2）
（3）
（4）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据数轴的三要素，对照四个图形，逐个分析即可．
【详解】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度.图（1）有单位长度和正方向，没有原点，故不正确；图（2）有原点和单位长度，没有正方向，故不正确；图（3）有原点和正方向，单位长度不一致，故不正确；图（4）有原点和正方向，单位长度不一致，故不正确；综上，四个选项均不正确．故选：A．
考点三 数轴上的点与有理数的关系
【例1】如图，数轴上表示数a的点可能是（ ）
A．3 B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】根据数轴的特点可得答案．
【详解】解：因为数轴上表示数a的点在－2和－1之间，所以数轴上表示数a的点可能是，故选：C．
【变式1】关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（ ）
A．在的左边 B．在3的右边 C．在原点与之间 D．在的左边
【答案】D
【分析】根据数轴的特征：左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，据此进行判断即可得到答案．
【详解】解：，在的左边，故选D．
【变式2】如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（ ）
A．﹣1.3 B．1.3 C．3.1 D．2.3
【答案】D
【分析】根据数轴的特点判断被叶子盖住的点表示的数应该在2与3之间即可得出答案．
【详解】解：若设被叶子盖住的点表示的数为x，观察图形可知2＜x＜3
故选D．
【变式3】如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】把每段的整数写出来即可得到答案．
【详解】解：由数轴每段的端点可以得到：段①的整数为-2，段②的整数为-1，0，段③的整数为1，段④的整数为2，故选B．
【点睛】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键．
考点四 相反数的意义及多重符号的化简
【例1】下列各对数中，互为相反数的（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据相反数的概念逐一判断即可．
【详解】A，，故该选项错误；B，，故该选项正确；C，互为倒数，故该选项错误；D，，故该选项错误；
故选：B．
【变式1】下面两个数互为相反数的是（ ）
A．+30和﹣（﹣30） B．﹣0.2和﹣（+0.2）
C．2.5和﹣[+（﹣）] D．+（﹣0.1）和﹣（﹣）
【答案】D
【分析】计算出每个选项中的数，然后根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．﹣（﹣30）＝30，所以两数相等，不合题意；B．﹣（+0.2）＝﹣0.2，所以两数相等，不合题意；C．﹣[+（﹣）]＝2.5，所以两数相等，不合题意；D．+（﹣0.1）＝﹣0.1，﹣（﹣）＝0.1，所以互为相反数，符合题意．故选：D．
【变式2】下列式子化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义逐项判断即可；
【详解】解：A、 ；选项错误，不符合题意；B、；选项正确，符合题意；C、 ；选项错误，不符合题意；D、 ；选项错误，不符合题意；故选：B．
【变式3】下列各对数中，是互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与0.3
【答案】A
【分析】有多重符号的先化简多重符号，再根据相反数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A，，与绝对值相同，符号相反，因此与互为相反数，符合题意；B，，因此与相等，不是互为相反数，不符合题意；C，，因此与相等，不是互为相反数，不符合题意；D，，因此与0.3不是互为相反数，不符合题意；故选A.
考点五 绝对值的意义及性质
【例1】的绝对值是（ ）
A． B．2023 C． D．
【答案】C
【分析】根据正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，故选C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的意义是解题的关键．
【变式1】的绝对值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义求解即可.
【详解】解：；故选：B.
【点睛】本题考查了有理数的绝对值，熟知绝对值的概念是关键.
【变式2】数轴上，到原点距离是8的点表示的数是( )
A．8和﹣8 B．0和﹣8 C．0和8 D．﹣4和4
【答案】A
【分析】根据数轴上的点到原点的距离的意义解答．数a到原点的距离为．
【详解】解：数轴上距离原点是8的点有两个，表示﹣8的点和表示+8的点．故选：A．
【变式3】下列各数绝对值最小的是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】求出各选项数的绝对值，再比较，即可求解．
【详解】解：，，，，因为，所以绝对值最小的数是0，故选：C．
【点睛】本题主要考查了求绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
考点六 绝对值的应用
【例1】如果，那么a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，据此判断即可．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，，
所以a一定是负数和0，即a一定是非正数，故选：C.
【变式1】下列一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正数大于零，以及绝对值的非负性，逐一进行判断即可．
【详解】A、可能小于0，可能等于0，也可能大于0，不一定是正数，不符合题意；B、因为，所以，可能小于0，可能等于0，也可能大于0，不一定是正数，不符合题意；C、，不一定是正数，也可能是0，不符合题意；D、因为，所以，一定是正数，符合题意；故选D．
【变式2】若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可．
【详解】解：, ，，故选：B．
【变式3】如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】
根据数轴上点对应的数，计算绝对值判断即可．
【详解】
因为点A表示的数是-2，且|-2|=2，所以A不符合题意；
因为点C表示的数是2，且|2|=2，所以C不符合题意；
因为点D表示的数是3，且|3|=3＞2，所以D不符合题意；
因为点B表示的数在-2和-1之间，且数的绝对值小于2，所以B符合题意；
故选B．
考点七 有理数的大小比较
【例1】下列四个数中，比小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得-2＜-1，0＞-1，＞-1，1＞-1，所以四个数中，比-1小的数是-2．故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【变式1】 下列比较大小，正确的是( )
A．－3＜－4 B．－(－3)＜|－3| C．－＞－ D． >－
【答案】D
【分析】根据有理数大小的比较方法进行分析判断即可.
【详解】A选项中，因为，所以A中式子不成立；B选项中，因为，所以B中式子不成立；C选项中，因为，所以C中式子不成立；D选项中，因为，所以D中式子成立.故选D.
【点睛】熟知“有理数大小的比较方法：（1）正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；（2）两个负数比较大小,绝对值大的反而小”是解答本题的关键.
【变式2】下列四个数中，在和之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数比较大小的法则求解即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得＜－2＜＜－1＜－＜－，所以四个数中，在－2和－1之间的是－．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数比较大小的方法，解题的关键是用到的知识点为：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
【变式3】下表是我国几个城市某年月份的平均气温（单位：℃），其中平均气温最低的城市是（ ）
城市 北京 武汉 阜新 哈尔滨
平均气温
A．北京 B．武汉 C．阜新 D．哈尔滨
【答案】D
【分析】四个城市中，求气温最低的城市，即求这四个数中的最小数．根据有理数大小比较的方法可知结果．
【详解】解：因为，所以气温最低的城市是哈尔滨．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，体现了数学的应用价值．将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
【复习巩固】
一、选择题
1．在，8，，，，中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】有理数指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数，根据两个定义判断即可．
【详解】解：3.14159是有限小数，属于有理数；8是整数，属于有理数；
4.21是有限小数，属于有理数；π是无理数；是分数，属于有理数，
所以有理数有3.14159，8，4.21，共4个．故选：D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】明确的意义是化简的基础，表示的相反数．
【详解】解：，故选D．
【点睛】本题考查的是相反数的含义，理解在一个数的前面放上“”号，就是该数的相反数，即有理数a的相反数是．
3．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】，故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
4．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
【答案】A
【详解】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
解：因为正数和0大于负数，所以排除2和3．因为|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，所以4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，所以﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选A．
5．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】因为|-3.5|=3.5，|+2.5|=2.5，|-0.6|=0.6，|+0.7|=0.7，
0.6＜0.7＜2.5＜3.5，所以从轻重的角度看，最接近标准的是-0.6．
故选C．
6．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+5）和﹣5 B．+（﹣5）和﹣5
C．﹣和﹣（+） D．+|+8|和﹣（+8）
【答案】D
【分析】根据相反数，绝对值的定义.逐项判断即可.
【详解】A.－(+5)=－5，则两数相等，不符合题意；B.+(－5)=－5，则两数相等，不符合题意；C.－=－，－(+)=－，则两数相等，不符合题意；D.+=8，－(+8)=－8，则两数互为相反数，符合题意.故选D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数
B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数
D．在有理数中，零的意义表示没有
【答案】B
【分析】根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物的温度为，故此项不符合题意．故选：B．
8．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点.其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④
【详解】解：①规定了原点、单位长度、正方向的直线是数轴，故①错误；
②数轴上的每一个点表示一个有理数，故②错误；③有理数可以在数轴上表示出来，故③错误；④有理数都可以用数轴上的点表示，故④正确；
故选D．
二、填空题
9．有理数1.7，-17，0，，-0.001，，2003和-1中，负数有 个，其中负整数有 个，负分数有 个．
【答案】 5 2 3
【分析】根据负数的定义（以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数）以及负整数、负分数的定义，求解即可求得答案．
【详解】解：负数为：-17，，-0.001，，-1共5个；负整数有：-17，-1，共2个；负分数有：，-0.001，，共3个．故答案为：5，2，3．
【点睛】此题考查了有理数的分类，注意掌握负数，负整数，负分数的定义．
10．比较大小： ．
【答案】
【分析】先求解两个负数的绝对值，再利用两个负数，绝对值大的反而小可得答案．
【详解】解：，而，所以，
故答案为：．
11．写出一个比大的负整数 ．
【答案】-2（答案不唯一）
【分析】根据题意即可写出符合题意的负整数．
【详解】比大的负整数有-2或-1 故答案为-2或-1．
12．已知有理数满足等式，则 ， ， ．
【答案】2；0；3
【分析】根据非负数之和为零，则每个非负数都为零求出a、b、c的值.
【详解】根据绝对值的非负性得，，解得．
故答案为：①2；②0；③3.
三、解答题
13．把下列各数分别填入相应的集合里：+（﹣2），0，﹣0.314，﹣（﹣11），，﹣4，0.，|-2|
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
自然数集合：{ …}，
分数集合：{ …}.
【答案】答案见解析
【详解】试题分析：根据有理数的分类，直接根据要求填空即可.
试题解析：正有理数集合：（﹣（﹣11），，0.，）；
负有理数集合：（+（﹣2），﹣0.314，﹣4）；整数集合：（+（﹣2），0，﹣（﹣11））；
自然数集合：（0，﹣（﹣11））；分数集合：（﹣0.314，，﹣4，0.，）.
14．画出数轴，并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0．
【答案】见解析
【分析】直接在数轴上表示出相关有理数即可即可．
【详解】解：以0为原点，作一条以右方向为正方向的数轴，各点的位置如图：
15．点A、B在数轴上的位置如图所示：
点A表示的数是 ,点B表示的数是 ；
在原图中分别标出表示的点C、表示的点D；
【答案】（1）-4,1；（2）如图所示见解析；（3）2，7
【分析】（1）按照数轴上点对应的数写出A、B表示的数即可；（2）在数轴上3的位置标C、的位置标D；（3）根据两点间的距离公式计算即可.
【详解】（1）A表示-4，B表示1；
（2）如图所示
【综合运用】
一、选择题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最小的正有理数 D．有绝对值最小的有理数
【答案】C
【分析】利用有理数的概念对各选项进行逐一判断即可得出答案．
【详解】A、没有最大的有理数，故A说法正确，不符合题意B、没有最小的有理数，故B说法正确，不符合题意C、没有最小的正有理数，故C原来的说法错误，符合题意D、绝对值最小的有理数是0，故D说法正确，不符合题意．故选C．
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得到点A表示的数为，再求的相反数即可．
【详解】解：点A表示的数为，的相反数为2，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
3．小明说:﹣(﹣6)的相反数是+(﹣6)，而小亮说: ﹣(﹣6)的相反数是﹣(+6)，对于这两个人的说法，其中正确的是（ ）
A．小明对 B．小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】C
【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数逐一分析即可．
【详解】解：因为，，所以的相反数是，因为，，所以的相反数是，所以两人的说法都对，
故选：C．
4．下面说法正确的有( )
①的相反数是－3.14；②符号相反的数互为相反数；③ －（－3.8）的相反数是-3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可．
【详解】解：①根据π的相反数是-π；故①错误；②符号相反的数不一定互为相反数；故②错误；③-（-3.8）=3.8，3.8的相反数是-3.8；故③正确；④一个数和它的相反数有可能相等；如0的相反数等于0，故④错误；⑤正数与负数不一定互为相反数，如2与-1，故⑤错误；故正确的有1个，故选：B．
5．如图，表示互为相反数的两个点是（ ）
A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q
【答案】C
【分析】据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【详解】解：2和﹣2互为相反数，此时对应字母为M与P．故选C．
6．如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )
A．+a和一(-a)互为相反数 B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数 D．-(+a)和+(-a)一定相等
【答案】D
【详解】A．，两个数相等，故错误，不符合题意．B．当时，与相等，故错误，不符合题意．C．可以是正数，也可以是负数，还可以是故错误，不符合题意．D．正确，符合题意．故选D．
7．如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；因为数轴上点A表示的数是2023，，所以，
所以点B表示的数是，故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
二、填空题
8．已知与互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，列式计算即可；
【详解】解：因为与互为相反数，所以，所以；
故答案为：．
9．在CCTV“开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，请问：a，b，c三数之和是 ．”
【答案】0
【分析】先求出a，b，c的值，再把它们相加即可．
【详解】解：由题意，得：a=1，b=-1，c=0，故a+b+c=1-1+0=0．故答案为：0．
10．如图，数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，且，则点表示的数是______．
【答案】8
【分析】由于A、B两点表示的数互为相反数，因此A、B一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为2个单位长度，即可得出C点表示的数．
【详解】解：由于点A，B表示的数互为相反数，且，所以原点O与各点的位置如图所示：
因此B表示4，则C所表示的数为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口．
11．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，所有满足条件的的值之和是 ．
【答案】0
【分析】根据题意可知，即得出所有满足条件的的值之和为到之间的所有理数的和，且为0．
【详解】由数轴可知．因为，所以．即所有满足条件的的值之和为到之间的有理数的和为0．故答案为：0．
12．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【答案】3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
13．如图，直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'对应的数是 ．
【答案】2+π
【分析】点O′对应的数为该半圆的周长．
【详解】解：半圆周长为直径+半圆弧周长即2+π，故答案为2+π．
【点睛】本题考查数轴上的点与对应数字的关系．解题的关键是得出点O′对应的数为该半圆的周长，计算半圆周长．
三、解答题
14．已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示：
（1）说出数a，b的正负性；
（2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置；
（3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？
【答案】（1）a为负数，b为正数；（2）见解析；（3）－1 010
【分析】（1）由数轴的定义，即可得到答案；
（2）由相反数的定义，即可在数轴上标出相反数；
（3）由相反数的定义，即可求出答案．
【详解】解：（1）因为以向右为正方向，a在原点的左侧，b在原点的右侧，所以a为负数，b为正数．
（2）－a，－b的位置如图所示．
（3）因为a与－a相隔2 020个单位长度，
所以a与－a都距离原点1 010个单位长度．又因为a在原点的左侧，
所以a＝－1 010．
【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握数轴和相反数的定义进行解题．
【中考再现】
1．（2023年江西省中考数学真题）下列各数中，正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）有理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互为相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：有理数的相反数是， 故选A
【点睛】本题考查的是相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记定义是解本题的关键．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【分析】表示的相反数，据此解答即可．
【详解】解：，故选：B
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
4．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解．
【详解】在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
5．（2023年四川省成都市数学中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得，所以最大的数是：3；故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握．
6．（2023年浙江省金华市中考数学真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，故温度最低的城市是哈尔滨，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．
7．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键
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