第一章 有理数
1.3 有理数的加减法（1）
【核心点拨】
1.掌握有理数的加法法则，并能准确进行有理数的加法运算.
2.灵活运用加法交换律、结合律简化运算.
【考点突破】
考点一 有理数的加法法则
【例1】计算的结果是（ ）
A．－6 B．6 C．－10 D．10
【答案】B
【分析】根据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：，故选：B．
【变式1】计算：5+(﹣7)＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【答案】B
【分析】根据异号两数相加的法则直接求解即可．
【详解】解：原式＝﹣（7﹣5）＝﹣2，故选：B．
【变式2】计算(-2)+(-3)的结果等于（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加.
【详解】(-2)+(-3)=-(2+3)=-5.故选A.
【变式3】与的和为（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】B
【分析】直接根据有理数的加法计算即可．
【详解】解：，故选B．
考点二 有理数加法的应用
【例1】已知A地的海拔高度为-36米，B地比A地高20米，则B地的海拔高度为（ ）
A．16米 B．20米 C．-16米 D．-56米
【答案】C
【分析】根据有理数的加法计算即可；
【详解】；故选C．
【变式1】某地一天上午的气温是10摄氏度，下午上升＋2摄氏度，半夜上升－5摄氏度，则半夜的气温是（ ）
A．-15摄氏度 B．7摄氏度 C．-7摄氏度 D．15摄氏度
【答案】B
【分析】本题根据有理数的加法法则，将10、+2、-5进行加法计算即可.
【详解】因为10+（+2）+（-5）=10+2-5=7，所以答案B.
【变式2】明明家为起点，向东走记为正，向西走记为负．明明从家出发，先走了+20米，又走了－30米，这时明明离家的距离是（ ）米．
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】根据正、负数的运算方法，把明明两次走的路程相加，然后根据正负数意义求出明明离家的距离即可．
【详解】因为（+20）+（-30）=-10（米），所以这时明明离家的距离是10米．故选：B．
【变式3】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式．
【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，所以图2表示的过程应是在计算5＋（ 2），故选：D．
考点三 有理数的加法运算律
【例1】计算6＋(－3.5)＋(＋2.5)时，较好的方法是( )
A．按顺序进行计算 B．同号的数先相加
C．后面的两个数先相加 D．以上的方法都不对
【答案】C
【分析】根据加法的结合律把后面的两个数先相加计算更简便.
【详解】计算6＋(－3.5)＋(＋2.5)时，较好的方法是后面的两个数先相加.故选C.
【变式1】已知a，b，c是三个有理数，则下列各式中与式子－a＋b－c相等的是( )
A．－b＋a－c B．b－a－c C．－a＋c－b D．－b＋a＋c
【答案】B
【分析】原式利用加法运算律变形即可得到结果．
【详解】－a＋b－c＝(－a)＋b＋(－c)＝b＋(－a)＋(－c)＝b－a－c.
故选B.
【变式2】下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得．
【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意；B．，则此项正确，符合题意；
C．，则此项错误，不符合题意；
D．，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式3】运用加法的运算律计算(＋6)＋(－18)＋(＋4)＋(－6.8)＋18＋(－3.2)最适当的是( )
A．[ (＋6)＋ (＋4)＋18]+[ (－18)＋(－6.8)＋(－3.2)]
B．[ (＋6)＋ (-6.8)＋(＋4)]＋[(－18)＋18＋(－3.2)]
C．[ (＋6)＋ (-18)]+[ (＋4)＋(－6.8)]＋[18＋(－3.2)]
D．[ (＋6)＋ (＋4)]＋[(－18)＋18]＋[(－3.2)＋(－6.8)]
【答案】D
【分析】根据互为相反数的两数的两数之和为0以及同分母的分数相加的原则进行计算即可．
【详解】（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）=[（+6）+（+4）]+[（-18）+18]+[（-3.2）+（-6.8）]；故选D．
【复习巩固】
1.比大1的数是（ ）
A．1 B． C． D．1
【答案】B
【分析】直接根据有理数加法运算即可．
【详解】解：.故选：B．
2．下列算式中，运算结果符号为正的是（ ）
A．5+（﹣6） B．（﹣7）﹣（﹣8）
C．﹣1.3+（﹣1.7） D．（﹣11）﹣7
【答案】B
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】A、原式＝﹣1，不合题意；B、原式＝﹣7+8＝1，符合题意；
C、原式＝﹣3，不合题意；D、原式＝﹣18，不合题意，故选B．
3．计算：|–5+3|的结果是（ ）
A．–8 B．8 C．–2 D．2
【答案】D
【分析】原式绝对值里边利用异号两数相加的法则计算，再利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【详解】原式=|-2|=2，故选D．
点睛：此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法计算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，此选项不符合题意；B、，此选项不符合题意；C、，此选项不符合题意；D、，此选项符合题意；故选D．
5．在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，在向东行驶lm，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是（ ）
A．（﹣3）﹣（+1）=﹣4 B．（﹣3）+（+1）=﹣2
C．（+3）+（﹣1）=+2 D．（+3）+（+1）=+4
【答案】B
【分析】规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，记作-3m，在向东行驶lm，记作+1m，所以（﹣3）+（+1）=﹣2，即车模再初始位置西边2m处．
【详解】由题意可得：（﹣3）+（+1）=﹣2．故选B．
点睛：本题主要考查了有理数的加法的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键.
6．小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（ ）
A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律
C．加法的结合律 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据有理数混合运算律求解即可．
【详解】解：将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，小红运用了加法的交换律和结合律，
故选：B．
7．筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】参考算式一可得算式二表示的是，由此即可得．
【详解】解：由题意可知，图中算式二表示的是，所以算式二为 所以算式二被盖住的部分是选项A，故选：A．
8．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-19；（2）
【分析】（1）根据有理数的加法法则计算；
（2）根据有理数的加法法则计算；
【详解】解：（1）
=-6-13
=-19；
（2）
=
=
=
【综合运用】
1．如果两个数的和为正数，那么（ ）
A．这两个加数都是正数 B．一个数为正，另一个为0
C．两个数一正一负，且正数绝对值大 D．必属于上面三种之一
【答案】D
2．在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【答案】D
【分析】找出值最小的两个数相加即可．
【详解】解：（ 1）＋（ 3）＝ 4，故选：D．
3．如图，在数轴上，点表示的数是，将点沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】数轴上的点向右移动则表示的数变大．
【详解】解：∵将点A向右移动4个单位长度得到点P，∴P表示的数比A表示的数大4，∵点A表示的数是 2，∴点P表示的数是-2+4=2，故选：C．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则a与b的和是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】C
【分析】根据图1可知，斜对角的两个数之和相等，继而即可求解．
【详解】解：根据图1可知，斜对角的两个数之和相等，，
故选：C．
5．将、1、2、3、4这五个数填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，则其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出选项中的行的和，再算出选项中的列的和，然后进行判断，即可得．
【详解】解：A、行的和：，列的和：，3=3，选项说法正确，符合题意；B、行的和：，列的和： ，，选项说法错误，不符合题意；C、行的和：，列的和： ，，选项说法错误，不符合题意；D、行的和：，列的和：，，选项说法错误，不符合题意；故选A．
6．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2，当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少？
【答案】盈利37元．
【分析】所得的正负数相加，再加上预计销售的总价，减去总进价，结果为正数说明盈利了，结果是负数说明亏损了．
【详解】解：由题意，得55×8＋2＋(－3)＋2＋1＋(－2)＋(－1)＋0＋(－2)－400＝37(元)，所以他卖完这8套儿童服装后是盈利，盈利37元．
点睛：本题主要考查有理数的混合运算的实际应用，利用正数跟负数的性质来解决实际生活问题是比较常见的题型，我们应区分现实生活中正数与负数的意义，根据实际情况来解决问题．
7．下表记录的是今年镇宁白马湖水库某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位6米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化（米）
（1）本周哪一天镇宁白马湖水库的水位最高？最高水位是多少？
（2）与上周周末相比，本周周末镇宁白马湖水库的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【答案】（1）本周五水位最高，最高为6.4米；（2）上升了，理由见解析
【分析】（1）分别求出每天的水位，然后进行比较，即可得到答案；
（2）先求出周末的水位，然后进行比较，即可得到答案．
【详解】解：（1）星期一：，星期二：，星期三：，星期四：，星期五：，星期六：，本周五水位最高；最高水位为：．
（2）上升了；周末的水位为：米，因为，所以水位上升了．
8．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
【答案】
【分析】先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分数的和，再利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可.
【详解】解：
9．小明和小梅做摸球游戏，每人摸5个球，摸到红球记为，摸到白球记为0，摸到黄球记为2．摸完球后，他们将摸到的5个球所代表的数相加，和较大的获胜．
小明摸到的球分别为：红球、黄球、红球、白球、红球．
小梅摸到的球分别为：黄球、黄球、白球、红球、红球．
（1）小明和小梅谁获胜？
（2）若将题干中“和较大的获胜”改为“和的绝对值较大的获胜”，求小明和小梅谁获胜？
【答案】（1）小梅获胜；（2）小明获胜．
【分析】（1）摸到红球记为 3，摸到白球记为0，摸到黄球记为2，利用有理数的加法算出各自的得分，然后比较即可；
（2）根据（1）得计算结果，求出两人分数的绝对值，再进行比较即可．
【详解】（1）小明摸到的5个球代表的数分别为，所以它们的和为，小梅摸到的5个球代表的数分别为，所以它们的和为，因为，所以小梅获胜；
（2）由（1）知，小明摸到的球所代表的数的和为，小梅摸到的球所代表的数的和为，因为，所以小明获胜．
【中考再现】
1．（浙江省温州市2022年中考数学真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解： =6 故选：A．
2．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】A
【分析】根据相反数相加为0判断即可．
【详解】解：∵，∴“□”内应填入的运算符号为＋，故选：A．
【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
3．（山东省滨州市2021年中考数学真题）在数轴上，点A表示-2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-4 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据数轴的特点，可知从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为-2+4，然后计算即可．
【详解】解：由题意可得，点B表示的数为-2+4=2，故选：C．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 有理数
1.3 有理数的加减法（1）
【核心点拨】
1.掌握有理数的加法法则，并能准确进行有理数的加法运算.
2.灵活运用加法交换律、结合律简化运算.
【考点突破】
考点一 有理数的加法法则
【例1】计算的结果是（ ）
A．－6 B．6 C．－10 D．10
【变式1】计算：5+(﹣7)＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【变式2】计算(-2)+(-3)的结果等于（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【变式3】与的和为（ ）
A． B． C．8 D．2
考点二 有理数加法的应用
【例1】已知A地的海拔高度为-36米，B地比A地高20米，则B地的海拔高度为（ ）
A．16米 B．20米 C．-16米 D．-56米
【变式1】某地一天上午的气温是10摄氏度，下午上升＋2摄氏度，半夜上升－5摄氏度，则半夜的气温是（ ）
A．-15摄氏度 B．7摄氏度 C．-7摄氏度 D．15摄氏度
【变式2】明明家为起点，向东走记为正，向西走记为负．明明从家出发，先走了+20米，又走了－30米，这时明明离家的距离是（ ）米．
A．20 B．10 C． D．
【变式3】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A． B． C． D．
考点三 有理数的加法运算律
【例1】计算6＋(－3.5)＋(＋2.5)时，较好的方法是( )
A．按顺序进行计算 B．同号的数先相加
C．后面的两个数先相加 D．以上的方法都不对
【变式1】已知a，b，c是三个有理数，则下列各式中与式子－a＋b－c相等的是( )
A．－b＋a－c B．b－a－c C．－a＋c－b D．－b＋a＋c
【变式2】下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】运用加法的运算律计算(＋6)＋(－18)＋(＋4)＋(－6.8)＋18＋(－3.2)最适当的是( )
A．[ (＋6)＋ (＋4)＋18]+[ (－18)＋(－6.8)＋(－3.2)]
B．[ (＋6)＋ (-6.8)＋(＋4)]＋[(－18)＋18＋(－3.2)]
C．[ (＋6)＋ (-18)]+[ (＋4)＋(－6.8)]＋[18＋(－3.2)]
D．[ (＋6)＋ (＋4)]＋[(－18)＋18]＋[(－3.2)＋(－6.8)]
【复习巩固】
1.比大1的数是（ ）
A．1 B． C． D．1
2．下列算式中，运算结果符号为正的是（ ）
A．5+（﹣6） B．（﹣7）﹣（﹣8）
C．﹣1.3+（﹣1.7） D．（﹣11）﹣7
3．计算：|–5+3|的结果是（ ）
A．–8 B．8 C．–2 D．2
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，在向东行驶lm，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是（ ）
A．（﹣3）﹣（+1）=﹣4 B．（﹣3）+（+1）=﹣2
C．（+3）+（﹣1）=+2 D．（+3）+（+1）=+4
6．小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（ ）
A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律
C．加法的结合律 D．无法判断
7．筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算：
（1）；（2）
【综合运用】
1．如果两个数的和为正数，那么（ ）
A．这两个加数都是正数 B．一个数为正，另一个为0
C．两个数一正一负，且正数绝对值大 D．必属于上面三种之一
2．在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
3．如图，在数轴上，点表示的数是，将点沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则a与b的和是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
5．将、1、2、3、4这五个数填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，则其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2，当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少？
7．下表记录的是今年镇宁白马湖水库某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位6米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化（米）
（1）本周哪一天镇宁白马湖水库的水位最高？最高水位是多少？
（2）与上周周末相比，本周周末镇宁白马湖水库的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
8．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
9．小明和小梅做摸球游戏，每人摸5个球，摸到红球记为，摸到白球记为0，摸到黄球记为2．摸完球后，他们将摸到的5个球所代表的数相加，和较大的获胜．
小明摸到的球分别为：红球、黄球、红球、白球、红球．
小梅摸到的球分别为：黄球、黄球、白球、红球、红球．
（1）小明和小梅谁获胜？
（2）若将题干中“和较大的获胜”改为“和的绝对值较大的获胜”，求小明和小梅谁获胜？
【中考再现】
1．（浙江省温州市2022年中考数学真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
3．（山东省滨州市2021年中考数学真题）在数轴上，点A表示-2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-4 C．2 D．4
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