《第2章一元二次方程》单元达标测试题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．
3．将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
5．设，是一元二次方程的两根，则等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
6．已知，是方程的两个根，则的值为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．15
7．等腰三角形的三边长分别为，，1，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．1且2
8．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( )
A． B．
C． D．
二、填空题（满分32分）
9．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是 ．
10．已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为 ．
11．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是： ．
12．若，则 ．
13．如图，点在线段上，在线段上，且，，，若则的长为 ．
14．根据表格对应值：
0 1 2
0.84 2.29 3.76
判断关于x的方程的一个解x的范围是 ．
15．已知a、b为非零常数，，满足，则 ．
16．如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当秒时，线段 ．
（2）当 秒时，的面积是24．
三、解答题（满分56分）
17．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
18．关于的一元二次方程．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的值．
19．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
20．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
21．某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；
(2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
22．如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，的长度等于？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
参考答案
1．解：、，是分式方程，故此选项不符合题意；
、，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
、，是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：．
2．解：，
，
，
，
解得：，，
故选：B．
3．解：，
，
，
．
故选．
4．解：设、是的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：，
∵方程的两根互为倒数，
∴可得，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
∴符合题意，
当时，，
∴不符合题意．
∴，
故选：B．
5．解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴
；
故选A．
6．解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故选：B
7．解：当1为底边长时，则，，
．
，2，2能围成三角形，
，
解得：；
当1为腰长时，、中有一个为1，则另一个为3，
，1，3不能围成三角形，
此种情况不存在．
故选：C．
8．解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴，
即．
故选：C．
9．解：设该方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即该方程的另一个根为1．
故答案为：1．
10．解：∵，分别为一元二次方程的两个实数解，
∴
∴
故答案为：．
11．解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
12．解：设，则，
∴原方程可以化为，
解得：或（舍去）
即
故答案为：．
13．解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
故答案为：．
14．解：由表格可知：
当时，；
当时，；
∴方程的一个解x的范围为：．
故答案为：．
15．解：∵，
∴，
∵，
∴是方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为3．
16． 解：（1）∵当秒时，，
根据勾股定理得．
故答案为：20．
（2）设运动时间为秒，
此时，，，
∵的面积是24，
∴，
整理得，，
解得：，
∴当秒或3秒时，的面积是24．
故答案为：2或3．
17．解：（1）
∴
（2）
18．（1）解：根据题意得：
Δ= ＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0；
（2）解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值是-2．
19．（1）证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵、是这个方程的两个实根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．
20．（1）解：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），
米，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴矩形的面积不能为．
21．解：（1）当单价降了15元时，盈利为(元)，
答：这批衬衫每天盈利1250元．
（2）设衬衫的单价降了x元．由题意得：
，
解得：，，
要尽快减少库存，
，
答：衬衫的单价降了20元．
22．解：（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
， ，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，的长等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2．