数学人教A版（2019）必修第一册1.5全称量词与存在量词（共28张ppt）

(共28张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
新课导入1
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定.
不是
不是
是
是
语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
新课讲解1
一、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
例1 判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2)；
(3)对任意一个无理数，也是无理数.
解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)，总有，因而.所以，全称量词命题“”是真命题.
(3)是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题.
如果一个大于1 的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.
假
真
假
不是
不是
是
是
容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句，因此语句(3)(4)是命题.
二、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.
常见的全称量词还有“有些”“有一个”“有的”等.
存在量词命题“存在中任意一个，成立”可用符号简记为
例2 判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数，使；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
假
假
真
解：(1)由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数，使”是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
练习（P28）
假
真
假
真
假
真
新课导入2
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”.下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
上面三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的”，也就是说，.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”.
新课讲解2
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论：
全称量词命题：，
它的否定：.
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
三、全称量词命题的否定
例3 写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意，的个位数字不等于3.
解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：，的个位数字等于3.
这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在，”，也就是说，，，
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在使成立”，也就是“不成立”.
对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论：
存在量词命题：，
它的否定：.
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
四、存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定：
(1)；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
解：(1)该命题的否定：.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例5 写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2).
解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定：.
因为对任意，所以这是一个真命题.
练习（P31）
存在一个奇数的平方不是奇数
有一个平行四边形不是中心对称图形
所有三角形都不是直角三角形
所有梯形都不是等腰三角形
所有实数的绝对值都是正数
常见题型分类
题型一：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
D
变1 （多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．.
A BCD
题型二：全称量词命题与存在量词命题的真假
例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)是偶数；
(2)存在一个使；
(3)对任意实数；
(4)有一个角，使.
解：(1)全称量词命题,假命题；
(2)存在量词命题，假命题；
(3)全称量词命题,真命题；
(4)存在量词命题，真命题.
题型二：全称量词命题与存在量词命题的真假
变2 判断下列命题的真假.
(1)任意两个面积相等的三角形一定全等；
(2)为正实数，使；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；
(4).
解：(1)假命题；
(2)假命题；
(3)真命题；
(4)假命题.
题型三：含有一个量词的命题的否定
例3 命题“”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
B
变3 已知命题， 则为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
B
题型四：由全称量词命题的真假求参数
例4 已知集合且.若命题：“”是真命题，求m的取值范围.
变4 已知命题：“”.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：由全称量词命题的真假求参数
C
题型五：由存在量词命题的真假求参数
例5 已知集合且.若命题：“”是真命题，求m的取值范围.
题型五：由存在量词命题的真假求参数
变5-1 (多选)已知命题：+1若命题是真命题，则实数的值可以是（ ）
A． B． 0 C． D．
ABC
题型五：由存在量词命题的真假求参数
变5-2 已知命题：+ +1若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
B
课堂小结
一、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
二、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中任意一个，成立”可用符号简记为
三、全称量词命题的否定
全称量词命题：，它的否定：.
四、存在量词命题的否定
存在量词命题：，它的否定：.