24.3.1 锐角三角函数 同步质量检测与训练 2022-2023学年华东师大版九年级上册数学（含解析）
文档属性
| 名称 | 24.3.1 锐角三角函数 同步质量检测与训练 2022-2023学年华东师大版九年级上册数学（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 149.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-06 19:08:08 | ||
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文档简介
24.3.1 锐角三角函数（同步质量检测与训练）
华师大新版九年级上学期数学
一．选择题（共9小题）
1．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
5．若cosα＝，则锐角α满足（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
6．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A．（sinα+cosα）2 B．sinα2+cosα2
C．sinα2+cotα2 D．sin2α+cos2α
7．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
8．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共4小题）
10．计算：6tan30°﹣2cos30°＝ ．
11．如图，在△ABC中，若sinA＝，则tanA的值是 ．
12．已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
15．计算下列各式：
（1）cos245°+sin245°
（2）cos260°+sin260°．
你发现了什么？对任意锐角α．是否都有cos2α+sin2α＝1？请说明理由．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
17．如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
19．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
20．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
24.3.1 锐角三角函数（同步质量检测与训练）
华师大新版九年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，
∴sinB＝＝＝，
故选：C．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴＝，
∴设BC＝2k，AB＝3k，
∴AC＝＝＝k，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
4．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：由∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，得
∠A＝30°，∠B＝45°．
由三角形的内角和，得
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：B．
5．若cosα＝，则锐角α满足（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
6．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A．（sinα+cosα）2 B．sinα2+cosα2
C．sinα2+cotα2 D．sin2α+cos2α
【答案】D
【解答】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cos2α．
故选：D．
7．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵＜0.75＜，cos30°＝，cos45°＝，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
8．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，
∴sinα﹣＝0，﹣tan β＝0，
∴sinα＝，tanβ＝，
又∵α，β都是锐角，
∴α＝60°，β＝60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
10．计算：6tan30°﹣2cos30°＝ ．
【答案】．
【解答】解：6tan30°﹣2cos30°
＝6×﹣2×
＝2﹣
＝，
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，若sinA＝，则tanA的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：cosA＝，
tanA＝＝，
故答案为：
12．已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 60°＜α＜90° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵cos90°＝0，cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴当0＜cosα＜0.5时，
则α的取值范围是60°＜α＜90°．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
tanα＝＝
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝+
＝2﹣+
＝2；
（2）原式＝ ++
＝1+1
＝2；
（3）原式＝2××﹣1×
＝﹣
＝1．
15．计算下列各式：
（1）cos245°+sin245°
（2）cos260°+sin260°．
你发现了什么？对任意锐角α．是否都有cos2α+sin2α＝1？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝＝+＝1；
（2）原式＝+（）2＝+＝1；
发现对任意锐角α．都有cos2α+sin2α＝1，
如图，在Rt△ABC中，
∵sinα＝，cosα＝，
∴cos2α+sin2α
＝+
＝+
＝
＝
＝1，
即cos2α+sin2α＝1．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】4，．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
sinA＝＝．
答：AC的长为4，sinA的值为．
17．如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AC＝b，BC＝a．分别过E、F作EM⊥BC，FN⊥AC，垂足为M，N．
∵BE＝EF＝FA，
则EM＝b，FN＝a，CM＝a，CN＝b，
在Rt△CEM中，
（a）2+（b）2＝sin2α，
在Rt△CFN中，
（a）2+（b）2＝cos2α，
∴a2+b2＝1，a2+b2＝，
故AB＝＝．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH＝AC sinA＝9sin48°≈6.69；
（2）∵在Rt△ACH中，，
∴AH＝AC cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH中，，
∴∠B≈73°32′．
19．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵sinα＝，cosα＝，tanα＝，
∴＝＝，则tanα＝；
（2）∵tanα＝，
∴＝，
∴2sinα＝cosα，
∴＝＝﹣．
20．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
华师大新版九年级上学期数学
一．选择题（共9小题）
1．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
5．若cosα＝，则锐角α满足（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
6．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A．（sinα+cosα）2 B．sinα2+cosα2
C．sinα2+cotα2 D．sin2α+cos2α
7．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
8．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共4小题）
10．计算：6tan30°﹣2cos30°＝ ．
11．如图，在△ABC中，若sinA＝，则tanA的值是 ．
12．已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
15．计算下列各式：
（1）cos245°+sin245°
（2）cos260°+sin260°．
你发现了什么？对任意锐角α．是否都有cos2α+sin2α＝1？请说明理由．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
17．如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
19．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
20．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
24.3.1 锐角三角函数（同步质量检测与训练）
华师大新版九年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，
∴sinB＝＝＝，
故选：C．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴＝，
∴设BC＝2k，AB＝3k，
∴AC＝＝＝k，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
4．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，则∠C的度数为（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：由∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝1，得
∠A＝30°，∠B＝45°．
由三角形的内角和，得
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：B．
5．若cosα＝，则锐角α满足（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
6．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A．（sinα+cosα）2 B．sinα2+cosα2
C．sinα2+cotα2 D．sin2α+cos2α
【答案】D
【解答】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cos2α．
故选：D．
7．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】B
【解答】解：∵＜0.75＜，cos30°＝，cos45°＝，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
8．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，
∴sinα﹣＝0，﹣tan β＝0，
∴sinα＝，tanβ＝，
又∵α，β都是锐角，
∴α＝60°，β＝60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
10．计算：6tan30°﹣2cos30°＝ ．
【答案】．
【解答】解：6tan30°﹣2cos30°
＝6×﹣2×
＝2﹣
＝，
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，若sinA＝，则tanA的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：cosA＝，
tanA＝＝，
故答案为：
12．已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 60°＜α＜90° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵cos90°＝0，cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴当0＜cosα＜0.5时，
则α的取值范围是60°＜α＜90°．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
tanα＝＝
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝+
＝2﹣+
＝2；
（2）原式＝ ++
＝1+1
＝2；
（3）原式＝2××﹣1×
＝﹣
＝1．
15．计算下列各式：
（1）cos245°+sin245°
（2）cos260°+sin260°．
你发现了什么？对任意锐角α．是否都有cos2α+sin2α＝1？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝＝+＝1；
（2）原式＝+（）2＝+＝1；
发现对任意锐角α．都有cos2α+sin2α＝1，
如图，在Rt△ABC中，
∵sinα＝，cosα＝，
∴cos2α+sin2α
＝+
＝+
＝
＝
＝1，
即cos2α+sin2α＝1．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】4，．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
sinA＝＝．
答：AC的长为4，sinA的值为．
17．如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AC＝b，BC＝a．分别过E、F作EM⊥BC，FN⊥AC，垂足为M，N．
∵BE＝EF＝FA，
则EM＝b，FN＝a，CM＝a，CN＝b，
在Rt△CEM中，
（a）2+（b）2＝sin2α，
在Rt△CFN中，
（a）2+（b）2＝cos2α，
∴a2+b2＝1，a2+b2＝，
故AB＝＝．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH＝AC sinA＝9sin48°≈6.69；
（2）∵在Rt△ACH中，，
∴AH＝AC cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH中，，
∴∠B≈73°32′．
19．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵sinα＝，cosα＝，tanα＝，
∴＝＝，则tanα＝；
（2）∵tanα＝，
∴＝，
∴2sinα＝cosα，
∴＝＝﹣．
20．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．