第1章 一元二次方程（单元统考测试）2023-2024学年苏科版九年级数学上册（含解析）

第1章 一元二次方程（单元统考测试）
苏科新版九年级上学期数学
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．2x2﹣y+6＝0
C．ax2+bx+c＝0 D．
2．将一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣2 B．﹣3，2 C．3，2 D．﹣3，﹣2
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11
4．一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
5．方程x（x﹣6）﹣6+x＝0的解是（　　）
A．x1＝6，x2＝﹣1 B．x1＝6，x2＝1
C．x1＝﹣6，x2＝﹣1 D．x1＝﹣6，x2＝1
6．若实数x，y满足（x+y）（x+y﹣1）＝2，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1
7．某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝21 B．x（x+1）＝21
C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（　　）
A．2013 B．2016 C．2023 D．2021
9．已知a，b，c满足a2+4b＝﹣7，b2﹣2c＝3，c2+2a＝﹣2，则a+b﹣c的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
10．一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
二．填空题（共7小题）
11．是关于x的一元二次方程，则a的值是 　 　．
12．若代数式x2﹣4x+1的值与﹣3x+2的值相等，则x的值为 　 　．
13．关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　 　；
（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　 　．
14．杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．解答这个问题可知长为　 　步．
15．已知α，β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则3α3﹣10β2＝　 　．
16．已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣3）x+4（a﹣2）＝0至少有一个整数根，则a的值为 　 　．
17．已知①x2+ax+b＝0，②x2+bx+c＝0，③x2+cx+a＝0，a≠b≠c，方程①②有公共根p，②③有公共根q，①③有公共根r，则abc＝　 　．
三．解答题（共5小题）
18．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
19．求证：当关于x的一元二次方程x2+2x＝m+9没有实数根时，关于y的一元二次方程y2+my﹣2m＝﹣5一定有两个不相等的实数根．
20．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
21．先阅读材料，然后按照要求答题．
阅读材料：为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，（x2﹣1）2＝y2，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①
解得：y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，
∴x＝±，
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，
∴x＝±，
∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决问题：若（m2+n2﹣2）（m2+n2）＝8，求m2+n2的值．
22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
第1章 一元二次方程（单元统考测试）苏科新版九年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．2x2﹣y+6＝0
C．ax2+bx+c＝0 D．
【答案】A
【解答】解：A、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是关于x，y的二元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a＝0时不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是关于x的分式方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．将一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣2 B．﹣3，2 C．3，2 D．﹣3，﹣2
【答案】A
【解答】解：∵将原方程转化成一般式为3x2﹣2x+4＝0，
∴二次项系数为3，一次项系数为﹣2．
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
故选：D．
4．一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
【答案】B
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x1+x2＝4＞0，x1 x2＝2＞0，
∴有两个正根，
故选：B．
5．方程x（x﹣6）﹣6+x＝0的解是（　　）
A．x1＝6，x2＝﹣1 B．x1＝6，x2＝1
C．x1＝﹣6，x2＝﹣1 D．x1＝﹣6，x2＝1
【答案】A
【解答】解：∵x（x﹣6）﹣6+x＝0，
∴x（x﹣6）+（x﹣6）＝0，
则（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1，
故选：A．
6．若实数x，y满足（x+y）（x+y﹣1）＝2，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1
【答案】C
【解答】解：设x+y＝a，
方程整理得：a（a﹣1）＝2，
整理得：a2﹣a﹣2＝0，即（a﹣2）（a+1）＝0，
解得：a＝2或a＝﹣1，
则x+y＝2或﹣1．
故选：C．
7．某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝21 B．x（x+1）＝21
C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21
【答案】C
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝21，
即x（x﹣1）＝21．
故选：C．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（　　）
A．2013 B．2016 C．2023 D．2021
【答案】C
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，
所以a﹣b＝﹣5，
所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．
故选：C．
9．已知a，b，c满足a2+4b＝﹣7，b2﹣2c＝3，c2+2a＝﹣2，则a+b﹣c的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
【答案】A
【解答】解：∵a2+4b＝﹣7，b2﹣2c＝3，c2+2a＝﹣2，
∴a2+4b+b2﹣2c+c2+2a＝﹣6，
∴a2+2a+1+b2+4b+4+c2﹣2c+1＝0，即（a+1）2+（b+2）2+（c﹣1）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝1，
∴a+b﹣c＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4；
故选A．
10．一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【解答】解：当a＝12时，方程为x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整数，故A选项不符合题意；
当a＝16时，方程为x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整数，故B选项不符合题意；
当a＝20时，方程为x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整数，故C选项符合题意；
当a＝24时，方程为x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整数，故D选项不符合题意；
解法二：x＝4±，
由选项可知，a＝20，符合题意．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．是关于x的一元二次方程，则a的值是 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵（a﹣2）x+3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．若代数式x2﹣4x+1的值与﹣3x+2的值相等，则x的值为 　x1＝，x2＝　．
【答案】x1＝，x2＝．
【解答】解：根据题意得x2﹣4x+1＝﹣3x+2，
整理得x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
13．关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　x1＝﹣4，x2＝﹣1　；
（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　x1＝0，x2＝﹣3　．
【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝﹣1；
（2）x1＝0，x2＝﹣3．
【解答】解：（1）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∵a（x+k+2）2+2023＝0，
∴x+2＝﹣2，x+2＝1，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
（2）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∵a（x﹣k+2）2+2023＝0，
∴x+2＝﹣1，x+2＝2，
∴x1＝0，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
14．杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．解答这个问题可知长为　36　步．
【答案】36．
【解答】解：设长为x步，则宽为（x﹣12）步，
依题意得：x（x﹣12）＝864，
整理得：x2﹣12x﹣864＝0，
解得：x1＝36，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．
故答案为：36．
15．已知α，β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则3α3﹣10β2＝　﹣109　．
【答案】﹣109．
【解答】解：∵α，β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2+3α﹣1＝0，β2+3β﹣1＝0，α+β＝﹣3，
∴α2＝﹣3a+1，β2＝﹣3β+1，
∴α3＝﹣3α2+α＝﹣3（﹣3α+1）+α＝9α﹣3+2α＝10α﹣3，
则3α3﹣10β2＝3（10α﹣3）﹣10（﹣3β+1）＝30α﹣9+30β﹣10＝30（α+β）﹣19＝﹣109，
故答案为：﹣109．
16．已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣3）x+4（a﹣2）＝0至少有一个整数根，则a的值为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：由题意知，a≠0，
Δ＝[2（2a﹣3）]2﹣4a[4（a﹣2）]＝36﹣16a≥0，
∵关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣3）x+4（a﹣2）＝0至少有一个整数根，
∴36﹣16a为完全平方数，
又∵a是正整数，
∴当a＝2时，36﹣16a＝36﹣16×2＝4＝22是完全平方数，
此时一元二次方程ax2+2（2a﹣3）x+4（a﹣2）＝0可整理为：
x2+x＝0，
解得x＝1或0，有整数根，
∴a的值为2符合题意，
故答案为：2．
17．已知①x2+ax+b＝0，②x2+bx+c＝0，③x2+cx+a＝0，a≠b≠c，方程①②有公共根p，②③有公共根q，①③有公共根r，则abc＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：由题意得：p2+ap+b＝0，p2+bp+c＝0．
∴（a﹣b）p+b﹣c＝0，
∴p＝．
同理，q＝，r＝．
∴pqr＝﹣1．
若p＝q＝r时，则有p＝q＝r＝﹣1，
将其代入方程，则有．
∴a＝b＝c，与题设矛盾．
∴p、q、r互不相等．
∵p、q、r互不相等．若p＝q，则p、q是①③公共根，于是p＝q＝r＝﹣1．代入方程①②③，得
．
三式相加，有0＝﹣3，矛盾．
∴①的两根为p、r．②的两根为p、q，③的两根为q、r．
由根与系数的关系，有a＝qr，b＝pr，c＝pq，
∴abc＝（pqr）2＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共5小题）
18．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
【答案】（1）m≠±1；（2）m＝﹣1．
【解答】解：（1）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元二次方程，
∴m2+2≠3，
解得m≠±1；
（2）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元一次方程，
∴，
解得m＝﹣1．
19．求证：当关于x的一元二次方程x2+2x＝m+9没有实数根时，关于y的一元二次方程y2+my﹣2m＝﹣5一定有两个不相等的实数根．
【答案】证明见解析．
【解答】解：一元二次方程x2+2x＝m+9化为：x2+2x﹣m﹣9＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+2x＝m+9没有实数根，
∴△1＝22﹣4（﹣m﹣9）＜0，解得：m＜﹣10，
关于y的一元二次方程y2+my﹣2m＝﹣5化为：y2+my﹣2m+5＝0，
∴△2＝m2﹣4（﹣2m+5）＝m2+8m﹣20＝（m+4）2﹣36，
∵m＜﹣10，
∴（m+4）2＞36，
∴（m+4）2﹣36＞0，即△2＞0，
∴关于y的一元二次方程y2+my﹣2m＝﹣5一定有两个不相等的实数根．
20．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m．
容积为x（x+2）×1＝x2+2x；
（2）x2+2x＝15．
21．先阅读材料，然后按照要求答题．
阅读材料：为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，（x2﹣1）2＝y2，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①
解得：y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，
∴x＝±，
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，
∴x＝±，
∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决问题：若（m2+n2﹣2）（m2+n2）＝8，求m2+n2的值．
【答案】（1）换元；
（2）4．
【解答】解：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元；
（2）（m2+n2﹣2）（m2+n2）＝8，
设m2+n2＝x，
则原方程化为：（x﹣2）x＝8，
即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或﹣2，
当x＝4时，m2+n2＝4，
当x＝﹣2时，m2+n2＝﹣1，
因为不论m、n为何值，m2+n2≥0，
所以m2+n2＝﹣2不符合，舍去，
即m2+n2＝4．
22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
【答案】（1）3；
（2）3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）5．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+12，
∴y＝（x﹣3）2+3，
∴y的最小值为3；
（2）3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）
＝3x2﹣x+2﹣2x2﹣3x+6
＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4
∵（x﹣2）2+4＞0
∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）根据题意可得：
S＝S△ABC﹣S△PQC，
S＝×4×3﹣（4﹣2t）t，
S＝6﹣2t+t2，
S＝（t﹣1）2+5，
∴S的最小值为5．