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第一章 有理数
1.5 有理数的乘方（1）
【核心点拨】
1.理解并掌握有理数乘方的概念及意义.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.熟练按有理数运算顺序进行混合运算.
【考点突破】
考点一 有理数乘方的概念及意义
【例1】可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】表示的意义是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】对于与，下列说法正确的是( ).
A．底数不同，结果不同 B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同 D．底数相同，结果相同
【变式3】是一个正整数，则表示的是（ ）
A．个相乘所得的结果 B．个相乘所得的结果
C．n个10相加所得的结果 D．是一个位整数
考点二 有理数的乘方运算
【例1】计算的结果等于（ ）
A．5 B． C．9 D．
【变式1】﹣32的结果等于（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6
【变式2】下列各组数中，相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式3】下列计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
考点三 有理数乘方的应用
【例1】13世纪数学家斐波那契的《计划书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C． D．
【变式1】某种细菌每过30min便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（ ）
A．8 个 B．16 个 C．32 个 D．64 个
【变式2】蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．
根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（ ）
A． B． C． D．
考点四 有理数乘方中的新定义
【例1】定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
【变式1】规定一种新运算“△”：；则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】定义a※b＝a3÷（b﹣1），例如3※4＝32÷（4﹣1）＝27÷3＝9，则（﹣4）※5的结果为（ ）
A．9 B．5 C．﹣12 D．﹣16
【变式3】规定一种新运算：，如．则的值是（ ）
A． B． C．6 D．8
考点五 有理数乘方中的数字规律探究
【例1】观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1】算式值的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式2】计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
【变式3】利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
【复习巩固】
一、选择题
1.下列算式表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．的底数是-2 B．的底数是
C．的底数是-3，指数是4 D．的幂是-12
3.下面各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．下列各式成立的是（ ）
A．－2＜(－0.6)2＜(－1)3 B．－2＜(－1)3＜(－0.6)2
C．(－0.6)2＜－2＜(－1)3 D．(－1)3＜－2＜(－0.6)2
5．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
6．如果规定符号“△”的意义是a△b=，则（－2）△3的值为 （ ）
A．1 B．7 C．－7 D．以上答案都不对
7.《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
8．计算：
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
（7）． （8）． （9）．
9.计算：
(1)； (2).
10．在计算[]▲时，误将“”看成“”，从而算得的结果是．
(1)请你求出▲的值；
(2)请你求出正确的结果．
11．学习了有理数的混合运算后，小华同学做家庭作业时，遇到一道题目：“计算：．”，他是这么做的：
解：原式＝．
同学们，你认为小华同学的解法正确吗？如果不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
12．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
（1）阴影部分的面积是多少？
（2）受此启发，你能求出的值吗？
【综合运用】
一、选择题
1．计算（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2022 D．
3．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
4．已知表示正整数，则的值是（ ）
A．0 B．2
C．2或0 D．以上答案都不对
5.一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
6.计算的结果的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
7．若x，y为有理数，且，则的值为 ．
8．若，，，则的值为 ．
9．定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则___________．
10．如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输出的结果为 ．
11．对于正整数a、b，定义一种新运算，则 ．
三、解答题
12．淇淇在计算时，步骤如下：
解：原式=……①
=-6+2022+24-36……②
=2004……③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的是步骤 ；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
13．老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
14．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）
（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？
（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？
（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？
【中考再现】
1．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
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第一章 有理数
1.5 有理数的乘方（1）
【核心点拨】
1.理解并掌握有理数乘方的概念及意义.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.熟练按有理数运算顺序进行混合运算.
【考点突破】
考点一 有理数乘方的概念及意义
【例1】可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据乘方的意义解答.
【详解】，故选：B.
【变式1】表示的意义是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根据乘方的意义解答即可．
【详解】解：表示的意义是，故选A．
【变式2】对于与，下列说法正确的是( ).
A．底数不同，结果不同 B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同 D．底数相同，结果相同
【答案】A
【分析】n个相同的因数a相乘，记作，其中底数是a，
【详解】解：的底数为3，的底数为－3，，，
故与底数不同，结果不同.故选A.
【变式3】是一个正整数，则表示的是（ ）
A．个相乘所得的结果 B．个相乘所得的结果
C．n个10相加所得的结果 D．是一个位整数
【答案】B
【分析】根据乘方的含义，求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．在中，a叫做底数，n叫做指数．
【详解】解：n是一个正整数，则表示的是n个10相乘所得的结果．故选：B．
考点二 有理数的乘方运算
【例1】计算的结果等于（ ）
A．5 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方运算进行计算．
【详解】（-3）2=9，故选C．
点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．
【变式1】﹣32的结果等于（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6
【答案】B
【分析】根据乘方的定义计算可得．
【详解】解：-32=-3×3=-9，故选B．
【变式2】下列各组数中，相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义逐一计算并判断即可．
【详解】解：A． ，=-4，所以≠，故本选项不符合题意；B． ，=-4，所以≠，故本选项不符合题意；C． ，，所以=，故本选项符合题意；D． ，，所以≠，故本选项不符合题意．故选C．
【变式3】下列计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的运算法则即求解．
【详解】A、-（-2） 3=-（-8）=8，结果为正数，A不符合题意；
B、-24=-16，结果为负数，B符合题意；C、（-1）×（-3）5=243，结果为正数，C不符合题意；D、23×（-2）6=8×64=512，结果为正数，D不符合题意；故答案为：B．
考点三 有理数乘方的应用
【例1】13世纪数学家斐波那契的《计划书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C． D．
【答案】C
【分析】按照有理数乘方的法则计算即可．
【详解】根据题意，得刀鞘数为，故选：C．
【变式1】某种细菌每过30min便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（ ）
A．8 个 B．16 个 C．32 个 D．64 个
【答案】D
【分析】根据3小时中有6个30min，得到细菌分裂了6次，求解26即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：3÷0.5＝6（次），则经过3小时后这种细菌由1个分裂成26＝64（个）．故选：D．
【变式2】蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可；
【详解】∵第一代有11只，则下一代就会有121只，以此类推，可知蟑螂第10代的只数是；故选B．
【变式3】国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．
根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算，然后结合题意，根据图示表示出625即可求解．
【详解】解：，根据题意，6、2、5，表示如下：
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．
考点四 有理数乘方中的新定义
【例1】定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
【答案】A
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】解：∵53=125，34=81，∴log5125=3，log381=4，∴log5125﹣log381，＝3﹣4，＝﹣1，故选：A．
【变式1】规定一种新运算“△”：；则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，则，再进行计算即可得到答案.
【详解】由题意，则=，故选择C.
【变式2】定义a※b＝a3÷（b﹣1），例如3※4＝32÷（4﹣1）＝27÷3＝9，则（﹣4）※5的结果为（ ）
A．9 B．5 C．﹣12 D．﹣16
【答案】D
【分析】根据定义代入即可求解.
【详解】解：根据定义可得:（﹣4）※5=(-4)3÷(5-1)=-16.故选：D.
【变式3】规定一种新运算：，如．则的值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．
【详解】解：∵，∴．故选C．
考点五 有理数乘方中的数字规律探究
【例1】观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】由题可以看出，末尾数字是2、4、8、6的循环，因为20是4的倍数，所以末尾数字应为6，故本题应选C.
【变式1】算式值的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】观察可知，这些加数的规律是后一个数是前一个数的2倍，所以可以乘2后相减抵消大部分的加数，于是可求出和，然后利用2的乘方的个位数字特征求解即可．
【详解】解：设m=，则2m=，
∴2m-m=-∴m=-=-1
∵21=2，22=4，23=8，24=16， 25=32，26=64，27=128，28=256…，
根据上述算式发现规律：每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，∵2022÷4=505…2，∴22022的个位数字是4．∴-1的个位数字是3．故选：B．
【变式2】计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
【答案】A
【分析】找到和的个位数字的规律，再进行计算即可．
【详解】解：，
∴的个位数分别为：，每四个循环一次，∵
∴的个位数字为：7；，∴的个位数分别为：，每四个循环一次，∵，∴的个位数字为：8；又∵为负数，∴，∴的结果的个位数字是：；故选A．
【点睛】本题考查数字规律探究．解题的关键是：抽象概括出相应的数字规律．
【变式3】利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可.
【详解】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生.B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生.C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生.D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生.故选B.
【复习巩固】
一、选择题
1.下列算式表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】解：表示4个相乘，即，
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．的底数是-2 B．的底数是
C．的底数是-3，指数是4 D．的幂是-12
【答案】C
【分析】利用有理数乘方底数、指数的概念以及幂的运算依次判断即可．
【详解】解：A、-23的底数是2，故此选项错误；B、2×32中，32的底数是3，故此选项错误；C、（-3）4的底数是-3，指数是4，正确；
D、-34的幂是-81，故此选项错误；故选：C．
3.下面各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】逐项计算并判定相等否，排除错误选项，选出正确选项．
【详解】对于A：、，结果不相等．
对于B：、，结果不相等．对于C：、，结果不相等．对于D： 、，结果相等．故选：D.
4．下列各式成立的是（ ）
A．－2＜(－0.6)2＜(－1)3 B．－2＜(－1)3＜(－0.6)2
C．(－0.6)2＜－2＜(－1)3 D．(－1)3＜－2＜(－0.6)2
【答案】B
【分析】根据有理数的大小比较方法即可求解．
【详解】(－0.6)2=-0.36,∴－2＜(－1)3＜(－0.6)2故选B．
5．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
【详解】解：绳结表示的数为
故选B．
6．如果规定符号“△”的意义是a△b=，则（－2）△3的值为 （ ）
A．1 B．7 C．－7 D．以上答案都不对
【答案】A
【详解】解：根据规定的意义可知（－2）△3=（－2）2-3=1，
故选A.
7.《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．
【详解】由题意，第一天截取后木棍剩余的长度为；
第二天截取后木棍剩余的长度为
第三天截取后木棍剩余的长度为
……第天截取后木棍剩余的长度为第5天截取后木棍剩余的长度是 故选C．
二、解答题
8．计算：
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
（7）． （8）． （9）．
【详解】解：（1）==64
（2）==
（3）==
（4）==
（5）==32
（6）==
（7）= =
（8）= =
（9）===
9.计算：
(1)； (2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先算乘方和绝对值，再算乘法最后计算加减；
（2）先算乘方和括号内的，再算乘法和除法，最后计算加减．
【详解】（1）．
（2）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和绝对值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序
10．在计算[]▲时，误将“”看成“”，从而算得的结果是．
(1)请你求出▲的值；
(2)请你求出正确的结果．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将错就错，因为误将“”看成“”，所以把▲看作了除数，根据除数等于被除数除以商计算▲ []()，注意运算法则和顺序；
（2）根据求得的，代入原式计算，注意运算法则和顺序．
【详解】（1）解：根据已知得；▲ []()
()(）()()；
（2）解：正确结果为：[]()()．
11．学习了有理数的混合运算后，小华同学做家庭作业时，遇到一道题目：“计算：．”，他是这么做的：
解：原式＝．
同学们，你认为小华同学的解法正确吗？如果不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
【答案】不正确，原因见解析，﹣
【分析】根据有理数混合运算顺序可判断正误，正确过程应先将除法转化为乘法，再计算乘法即可．
【详解】解：小华同学的解法错误，因为运算顺序不正确，有理数除法没有结合律，正确解法为：原式＝＝﹣．
12．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
（1）阴影部分的面积是多少？
（2）受此启发，你能求出的值吗？
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果．
【详解】解：（1）由题意可知，部分①面积是，部分②面积是（）2，
部分③面积是（）3，…，则阴影部分的面积是（）6=，
阴影部分的面积是；
（2）原式=+．
【综合运用】
一、选择题
1．计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数乘法的运算和有理数的乘方运算法则即可得出结论．
【详解】解：，，
故选：B．
2.已知 ，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2022 D．
【答案】B
【详解】解：∵ ∴x+1=0，y-2022=0，即x=-1，y=2022
∴．故选B．
3．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即，当时，；当时，；综上，的值等于或，故选：A．
4．已知表示正整数，则的值是（ ）
A．0 B．2
C．2或0 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】由-1的偶次方是1，-1的奇次方是-1，分n是偶数和n是奇数两种情况求解即可．
【详解】解：当n是偶数时，=，当n是奇数时，=，故选：C．
5.一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得每次减绳子后的长度都是上次剩下长度的，根据乘方的定义我们可以得出关于x的关系式，代入求解即可．
【详解】∵第一次剪去绳子的 ，还剩 原长,第二次剪去剩下绳子的 ，还剩 上次剩下的长度,因此每次减绳子后的长度都是上次剩下长度的 根据乘方的定义，我们得出第n次剪去绳子的 ，还剩
第100次剪去绳子的 ，还剩. 故答案为：C．
6.计算的结果的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先求出，，，，的末位数字，由此得到规律的结果的末位数字是8，4，2，6，四个一循环，据此求解即可．
【详解】解：的结果的末位数字是8，的结果的末位数字是4，
的结果的末位数字是2，的结果的末位数字是6，的结果的末位数字是8，…可知的结果的末位数字是8，4，2，6，四个一循环，
∵，故的结果的末位数字是4．故选：B．
二、填空题
7．若x，y为有理数，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：1
8．若，，，则的值为 ．
【答案】-8
【分析】先求出b的值，再根据求出a的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，
故答案为：-8．
9．定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则___________．
【答案】3
【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：
，故答案为：3．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是弄清题中的新定义运算．
10．如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输出的结果为 ．
【答案】1.5
【详解】根据题意可得[5-（-1）2]÷（-2）=-2<0，
继续输入得[（-2）-（-1）2]÷（-2）=>0，所以输出的结果为．
11．对于正整数a、b，定义一种新运算，则 ．
【答案】0或2或
【分析】根据题意分三种情况讨论，分别计算求解即可．
【详解】①当a和b都为偶数时，，
②当a和b都为奇数时，，
③当a和b一个为奇数，一个为偶数时，，
综上所述，的值为0或2或．
故答案为：0或2或．
三、解答题
12．淇淇在计算时，步骤如下：
解：原式=……①
=-6+2022+24-36……②
=2004……③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的是步骤 ；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)①
(2)正确的解题过程见解析
【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断即可；
（2）根据有理数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴淇淇的计算过程中开始出现错误的是步骤①，故答案为：①．
（2）解：．
13．老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
【答案】(1)佳佳，昊昊
(2)见解析
【分析】（1）根据，的运算，即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数的运算即可求解．
【详解】（1）解：根据，可知佳佳算错了，根据，可知昊昊算错了，故答案为：佳佳，昊昊．
（2）解：．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的运算，掌握乘方的奇负偶正的运算方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
14．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）
（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？
（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？
（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？
【答案】（1）﹣2×（﹣3﹣3﹣6）＝24；（2）[1﹣（﹣2）]×23＝24；（3）（1÷5﹣5）×（﹣5）＝24
【分析】（1）由题意可知所给的数字为：﹣2、3、﹣3、6，进而选用运算符号解决问题即可；
（2）由题意可知所给的数字为：1、﹣2、2、3，进而选用运算符号解决问题即可；
（3）由题意可知所给的数字为：5、1、5、﹣5，进而选用运算符号解决问题即可.
【详解】解：（1）﹣2×（﹣3﹣3﹣6）＝24；
（2）[1﹣（﹣2）]×23＝24；
（3）（1÷5﹣5）×（﹣5）＝24．
【中考再现】
1．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①；故①错误；
②；故②错误；
③；故③正确；
④；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．
2．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，∴，故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
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