河北省衡水市部分中学2024届高三上学期开学考试数学试题(无答案)

2023—2024学年第一学期高三年级开学考试
数学试题
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．下图是函数（，）的部分图象，则（ ）
A．，是奇数 B．，是奇数
C．，是偶数 D．，是偶数
4．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
5．（假期作业三6）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计），假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是（ ）
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒
6．（假期作业六8）函数、均为偶函数，且当时，是减函数；设，，，则、、的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（假期作业十5）如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（假期作业七10）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（ ）
A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点
C． D．
11．已知为定义在上的偶函数，设，已知函数是奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．
C．是奇函数 D．与关于原点对称
12．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为（，单位：），物体的温度冷却到（，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为，为正常数．现有一壶开水放在室温为的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据：）
A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B．当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟
C．若，则
D．这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（假期作业十六13）已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为__________．
14．函数的最大值为__________．
15．已知函数，求的值域__________．
16．已知函数恰有三个正整数，使得，，，3，则实数的取值范围为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数（，且）是奇函数，且．
（1）求，的值；
（2）若对于，不等式成立，求的取值范围．
18．（假期作业十18）（本小题满分12分）
已知四边形是边长为2的正方形，为等边三角形（如图1所示），沿着折起到的位置，且使平面平面，是棱的中点（如图2所示）．
图1 图2
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表．
上市时间/天 2 6 32
市场价/元 148 60 73
（1）根据上表数据，从①，②（，，且），③（，）中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价与上市时间的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价．
20．（假期作业四21）（本小题满分12分）
当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入（单位：万元）的情况，如表所示．
月份 5 6 7 8 9
时间代号 1 2 3 4 5
家乡特产收入 3 2.4 2.2 2 1.8
（1）根据5月至9月的数据，求与之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性；
（2）求出关于的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由．
附：样本相关系数（若，则线性相关程度很强）．一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，
21．（假期作业十21）（本小题满分12分）
已知椭圆，离心率，它的长轴长等于圆的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，是否存在定点，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中．
（1）求过点且与函数的图象相切的直线方程；
（2）①求证：当时，；
②若函数有两个不同的零点，，求证：