四川省泸县重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省泸县重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 518.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-06 22:05:13 | ||
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文档简介
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有（ ）个.
A． B． C． D．
3．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是
A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6
4．已知中，，，，则
A． B． C． D．
5．已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则
A．5 B．7 C．9 D．11
6．若，则的值为
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为
A． B． C． D．
8．在中，下列命题正确的个数是
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则
A．函数图像的一个对称中心为
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上单调递增
D．将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是
A．若有两解
B．若有两解
C．若为锐角三角形，则b的取值范围是
D．若为钝角三角形，则b的取值范围是
12．在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是
A．
B．平面
C． 三棱锥的体积是定值
D．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 .
14．某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为
15．已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为 （写出一个即可）．
16．直四棱柱的各个顶点都在一个球的表面上，且， ，，侧棱，则直四棱柱外接球的表面积是 ；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，.
（1）求；
（2）求向量与向量的夹角的余弦值；
（3）若，且，求向量与向量的夹角.
18．（12分）已知.
(1)求的值域；
(2)若，，求的值.
19．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
21．（12分）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，．
(1)若为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
22．（12分）已知函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
(2)若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(3)若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）
数学试题参考答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B
9．AB 10．AC 11．AC 12．ABC
13．35 14． 15．(答案不唯一) 16．
17．解：（1）因为，，所以.所以.
（2）因为，
，，所以.
（3）因为，所以.即.
所以.即，
所以.因为，所以.
18．解：（1），
所以的值域为
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以.
所以.
19．解：（1）由
，
所以，可得：，
即，由余弦定理可得：，
又，所以.
（2）由
，
因为，所以，又，
所以，所以，得，
所以，所以，所以.
的取值范围为.
20．解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.
又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.
因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE.
因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
（2）解：如图，过E作EF//CD，交PC于F，连接BF，则截面为四边形ABFE.
理由如下：
因为AB//CD，EF//CD，所以EF//AB，所以A，B，F，E四点共面，从而过A，B，E的截面为四边形ABFE.
由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，
又，，AB＝3，
所以四边形ABFE为直角梯形，其面积.
21．解：（1）设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范围为．
（2）选择①，因为，所以，
因为，所以，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面积．
选择③，因为，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
22．解：（1）当时，，，
所以，
所以函数为奇函数；
（2），当时，的对称轴为；
当时，的对称轴为；
所以当时，在R上是增函数，
即时，函数在R上是增函数；
（3）方程的解即为方程的解.
①当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以.
设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，又可证在上单调递增，所以，故；
③当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以，设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，而函数在上单调递减，所以，故； 综上：
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有（ ）个.
A． B． C． D．
3．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是
A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6
4．已知中，，，，则
A． B． C． D．
5．已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则
A．5 B．7 C．9 D．11
6．若，则的值为
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为
A． B． C． D．
8．在中，下列命题正确的个数是
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则
A．函数图像的一个对称中心为
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上单调递增
D．将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是
A．若有两解
B．若有两解
C．若为锐角三角形，则b的取值范围是
D．若为钝角三角形，则b的取值范围是
12．在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是
A．
B．平面
C． 三棱锥的体积是定值
D．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 .
14．某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为
15．已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为 （写出一个即可）．
16．直四棱柱的各个顶点都在一个球的表面上，且， ，，侧棱，则直四棱柱外接球的表面积是 ；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，.
（1）求；
（2）求向量与向量的夹角的余弦值；
（3）若，且，求向量与向量的夹角.
18．（12分）已知.
(1)求的值域；
(2)若，，求的值.
19．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
21．（12分）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，．
(1)若为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
22．（12分）已知函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
(2)若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(3)若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）
数学试题参考答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B
9．AB 10．AC 11．AC 12．ABC
13．35 14． 15．(答案不唯一) 16．
17．解：（1）因为，，所以.所以.
（2）因为，
，，所以.
（3）因为，所以.即.
所以.即，
所以.因为，所以.
18．解：（1），
所以的值域为
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以.
所以.
19．解：（1）由
，
所以，可得：，
即，由余弦定理可得：，
又，所以.
（2）由
，
因为，所以，又，
所以，所以，得，
所以，所以，所以.
的取值范围为.
20．解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.
又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.
因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE.
因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
（2）解：如图，过E作EF//CD，交PC于F，连接BF，则截面为四边形ABFE.
理由如下：
因为AB//CD，EF//CD，所以EF//AB，所以A，B，F，E四点共面，从而过A，B，E的截面为四边形ABFE.
由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，
又，，AB＝3，
所以四边形ABFE为直角梯形，其面积.
21．解：（1）设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范围为．
（2）选择①，因为，所以，
因为，所以，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面积．
选择③，因为，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
22．解：（1）当时，，，
所以，
所以函数为奇函数；
（2），当时，的对称轴为；
当时，的对称轴为；
所以当时，在R上是增函数，
即时，函数在R上是增函数；
（3）方程的解即为方程的解.
①当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以.
设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，又可证在上单调递增，所以，故；
③当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以，设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，而函数在上单调递减，所以，故； 综上：
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