2.6 正多边形与圆 课件（32张PPT）

2.6 正多边形与圆
第2章对称图形——圆
教学目标
01
认识正多边形，理解圆的内接正n边形、正n边形的外接圆的概念
02
理解正多边形的有关概念，掌握正多边形的有关计算
03
能借助尺规作出一些特殊的正多边形
正多边形与圆
01
二、定义
情境引入
我们已经学习过等边三角形（正三角形）、正方形（正四边形），正三角形、正四边形的各边相等，各角也相等。
螺帽的边缘
窗户的边框
生活中，各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见~
二、定义
情境引入
02
知识精讲
正多边形
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
情境引入
02
知识精讲
【思考1】已知：三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形，问：各边相等的多边形是正多边形吗？或各角相等的多边形是正多边形吗？
各角相等的多边形不一定是正多边形
各边相等的多边形不一定是正多边形
02
二、定义
知识精讲
【思考2】如图，已知?O，
(1)用量角器把?O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；(2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？
如图，点A、B、C、D、E把?O五等分，
∵????????=????????=????????=????????=????????，
∴AB=BC=CD=DE=EA，????????????=???????????? ，
∴∠A =∠B，
同理：∠B=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正五边形.
?
O
A
B
C
D
E
02
知识精讲
【思考3】如图，点A、B、C、D、E、F把?O六等分.
(1)在一张透明纸上画与图中形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起；
O
A
B
C
D
E
F
02
知识精讲
(2)把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？
O
A
B
C
D
E
F
所画图形绕点O旋转60°，与原图重合，
再旋转60°，仍旧与原图重合。
02
知识精讲
(3)你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF是正六边形吗?
O
A
B
C
D
E
F
∵所画图形绕点O每旋转60°，仍旧与原图重合，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA，
∴六边形ABCDEF是正六边形。
二、定义
情境引入
02
知识精讲
正多边形与圆
一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。
二、定义
情境引入
02
知识精讲
正多边形有关的概念
1、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
2、外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
O
A
B
C
D
E
F
中心
半径
中心角
边心距
02
知识精讲
【思考4】分别求半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、中心角、边心距、周长和面积。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正三角形
内接正方形
内接正六边形
边长
中心角
边心距
周长
面积
02
知识精讲
O
A
B
C
D
R
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正三角形
边长
中心角
边心距
周长
面积
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正三角形
边长
R
中心角
120°
边心距

周长
3R
面积
R2
02
知识精讲
O
A
B
C
D
R
E
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正方形
边长
中心角
边心距
周长
面积
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正方形
边长
R
中心角
90°
边心距
R
周长
4R
面积
2R2
02
知识精讲
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正六边形
边长
中心角
边心距
周长
面积
O
A
B
C
D
E
F
R
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正六边形
边长
R
中心角
60°
边心距
R
周长
6R
面积
R2
二、定义
情境引入
02
知识精讲
正多边形有关的计算
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S
名称
公式
中心角

边心距
d=
周长
C=na
面积
S=Cd
02
知识精讲
【思考5】图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
轴对称图形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形；
中心对称图形：正方形、正六边形。
02
知识精讲
【思考6】连接图中正多边形的半径和边心距，你发现了什么？
正三角形分成6个全等的直角三角形；
正方形分成8个全等的直角三角形；
正五边形分成10个全等的直角三角形；
正六边形分成12个全等的直角三角形。
二、定义
情境引入
02
知识精讲
正多边形的性质
1、轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。
2、中心对称性：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
3、正多边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
03
二、定义
典例精析
例1、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为________。
【分析】如图，连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=????????????°????????°=10．
?
10
03
二、定义
典例精析
例2、已知?O的半径为6，则它的内接正三角形边心距为________。
【分析】如图，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB=90°，
∵边心角∠BOC=????????×360°=120°，OB=OC=6，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OD=????????OB=3．
?
3
03
二、定义
典例精析
例3、已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于________。
【分析】∵该正多边形的中心角为45°，
∴正多边形的边数为：360°÷45°=8，
∴该正多边形的周长为：5×8=40．
40
03
二、定义
典例精析
例4、已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为________。
【分析】如图（二），
∵中心角=????????????°????=60°，
OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵圆内接正六边形边长为1，
∴圆的半径为1，
?
????????????
?
如图（一），
连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，∴BD=????????OB=????????，∴BC=2BD=????，
∴圆的内接正三角形的面积=????????×????2=????????????．
?
正多边形的作法
情境引入
02
知识精讲
作图
用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形~
1、作正方形。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
1.在?O中作两条互相垂直的直径AC、BD.
2.依次连接A、B、C、D各点。
四边形ABCD就是所求作的正方形。
O
A
B
C
D
情境引入
02
知识精讲
【思考1】如何作正八边形？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
1.在?O中作两条互相垂直的直径AE、CG。
2.依次连接A、C、E、G各点。
3.过点O分别作AC、CE的垂线分别交于点B、交于点F和交于点D、交于点H。
4.依次连接A、B、C、D、E、F、G、H各点。
八边形ABCDEFGH就是所求作的正八边形。
O
A
C
E
G
B
D
F
H
情境引入
02
知识精讲
作图
2、作正六边形。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
1.在?O中任意作一条直径AD。
2.分别以点A、D为圆心，?O的半径为半
径作弧，与?O相交于点B、F和点C、E。3.依次连接A、B、C、D、E、F各点。
六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。
O
D
A
B
C
E
F
情境引入
02
知识精讲
【思考2】如何作正三角形？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
1.在?O中任意作一条直径BD。
2.分别以点A为圆心，?O的半径为半
径作弧，与?O相交于点A、C。
3.依次连接A、B、C各点。
三角形ABC就是所求作的正三角形。
O
A
C
B
D
情境引入
02
知识精讲
【思考3】如何作正十二边形？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
1.在?O中作两条互相垂直的直径AG、DJ。
2.分别以点A、G、D、J为圆心，?O的半径为半径作弧，与?O相交于点C、K和点E、I和点B、F和点H、L。
3.依次连接A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L各点。
十二边形ABCDEFGHIJKL就是所求作的正十二边形。
O
C
E
I
K
G
A
D
J
B
F
L
H
课后总结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。
正多边形有关的概念：
1、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
2、外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
课后总结
正多边形有关的计算：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S
名称
公式
中心角

边心距
d=
周长
C=na
面积
S=Cd
正多边形的性质：
1、轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。
2、中心对称性：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
3、正多边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。