3.3勾股定理的简单应用 课件（28张PPT）

(共28张PPT)
第3章 · 勾股定理
3.3 勾股定理的简单应用
学习目标
1. 能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
2. 感受“转化”“建模”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力.
知识回顾
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形.
已知桥面上以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？
分别测量出BC、BD、BE、BF、BG的长度，根据勾股定理计算出AC、AD、AE、AF、AG的长
讨论与交流
例题讲解
例1 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
A
C
B
x
(10－x)
3
┐
解：如图，竹子在点AC处折断，竹梢点B着地，△ABC是直角三角形．
设OA＝x尺，则AB＝(10－x)尺．
由勾股定理，得，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴x2＋32＝(10－x)2．
∴OA＝x=4.55(尺)
1.构造直角三角形
3.用勾股定理列出方程
4.解方程
5.检验、写出答案
2.设出未知数
∴折断处离地面4.55尺.
例题讲解
例2 如图, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC边上的中线AD＝24, 求AC.
D
C
B
A
26
20
24
∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，
AB 2＝262＝676，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26.
还有其他方法求AC吗？
能求出△ABC的周长和面积吗
∟
例题讲解
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC=26，BC＝20，
求 BC边上的高；
C
B
A
26
20
26
△ABC的面积.
D
提示：作AD⊥BC，垂足为D.
新知巩固
1. 计算图中四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD2=AD2+AB2=122+162=400 ，
∴BD=20，
∵CD2＝152=225，
∴ CD2+BD2＝BC2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°.
∴ BD⊥CD
S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
D
C
B
A
∟
12
16
15
25
BC2＝252=625，
新知巩固
2. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积.
例3 如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？
A
B
C
D
3
4
12
13
例题讲解
∟
例题讲解
例4 如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？
D
B
A
C
E
x
10-x
6cm
10-x
10cm
∟
关于折叠问题，要紧扣折叠前后的对应边，对应角相等.
解：如图，连接BE.
∵A与B折叠后重合，
∴直线DE是线段AB的垂直平分线.
∴BE=AE.
设CE=x，则BE=AE=10-x，在Rt△EBC中，由勾股定理得：
BE2＝CE2＋BC2，
∴(10-x)2＝x2＋62，x=3.2.
∴CE=3.2cm.
1. 有一块空白地，如图，∠ADC=90°，CD=6 m，AD=8 m，AB=26 m，BC=24 m．试求这块空白地的面积．
A
D
B
C
解：连接AC.在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）
=82+62=100，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S空白部分=S△ACB-S△ACD
=120-24
=96.
∟
新知巩固
新知巩固
2. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在AC上，与点E重合，求DE的长度.
B
D
A
C
E
xcm
xcm
(8-x)cm
4cm
6cm
8cm
10cm
6cm
讨论与交流
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积； 　
勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．
勾股定理的前提必须是直角三角形;
课堂小结
勾股定理的简单应用
几何问题中的应用
求三角形的边长、求图形的面积等
实际问题中的应用
求长度、距离、宽度、高度等
关键：构造直角三角形
当堂检测
1.如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
13cm
8cm
6cm
？cm
当堂检测
2.如图，由于台风影响，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　　　　米.
8
当堂检测
3.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长x尺，则可列方程__________________.
x尺
(x-1)尺
5尺
(x-1)2+52=x2
当堂检测
4.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________m.
8m
2m
8m
A
B
C
8
6
10
10
┐
当堂检测
图（1）
图（2）
B
C
x
x+1
5
5.某八（2）班的学生想知道学校旗杆的高度，如图（1），他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（2），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你们知道，他们是用什么方法求出旗杆的高度和绳子的长度的吗？
A
┐
当堂检测
6. 用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知纸片宽AB＝8cm，长BC＝10cm，折叠时，顶点D落在BC边上点F处，想一想此时EC有多长？
A
D
C
B
E
F
8cm
10cm
xcm
(8-x)cm
10cm
10cm
6cm
4cm
(8-x)cm
当堂检测
7. 如图，一架竹梯长13 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5 m.
(1)求这个梯子顶端距地面的高度；
(2)如果梯子的顶端下滑7 m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了7 m吗？为什么？
解：(1)∵AO⊥BO，AB＝13 m，OB＝5 m，∴AO＝12 m，即梯子顶端距地面的高度为12 m.
(2)梯子底部在水平方向也滑动了7 m．理由如下：
∵AC＝7 m，∴OC＝AO－AC＝5 m．
又CD＝AB＝13 m，
∴OD＝12 m，
∴BD＝OD－OB＝12－5＝7(cm)，
∴梯子的底部在水平方向也滑动了7 m.
当堂检测
8. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/时的速度向另一方向航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛,若B,C两岛相距60海里，通过计算说明乙船航行的方向.
A
北
东
C
B
解：如图，由已知可得AB=16×3=48(海里)，AC=12×3=36(海里)，BC=60海里.
∵482+362=602,
∴AB2+AC2=BC2.
∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.
∵∠EAB=40°,
∴∠FAC=180°-40°-90°=50°.
∴乙船是沿北偏东50°方向航行的.
拓展延伸
1.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
F
A
B
C
C
E
18cm
30cm
两点的距离最短问题
—转化成平面展开图中两点之间的连线段最短.
拓展延伸
变式1 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？
解：如图①，
AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130.
如图②，
AB2=AC2+BC2=62+82=100.
∵130>100，
∴AB=10.
答：它所行的最短路线的长是10.
B
A
B
A
B
3
3
8
A
B
C
图①
图②
8
P
A
Q
拓展延伸
变式2 如图，长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm. 若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长.
Q
4cm
5cm
P
A
2cm
解:将长方体的侧面展开如图所示:
∵长方体的长为4 cm,宽为2 cm,
高为5 cm,
∴PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5 cm.
∴PQ2=PA2+AQ2=169.
∴PQ=13(cm).答:蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm.
拓展延伸
变式3 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
拓展延伸
2.做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明．
A
B
C
D