福建省福州市鼓楼区重点中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含解析）

（高一 数学）
注意事项：
1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写班级、姓名、座号；
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
选择题部分（共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
3．已知i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
4．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
5．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．已知中，，，，那么角等于
A． B． C． D．
7．已知正三角形的边长为，是边上的动点含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．下列四个命题中，假命题为（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数，满足，则
12．如图所示，在凸四边形中，对边的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为1 D．的最小值为
非选择题部分（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知在中，，则等于 .
14．已知，i为虚数单位，且，则 .
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．

16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知复数,, 且为纯虚数,求复数.
18．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
19．在△ABC中，，，.
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长.
20．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
21．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
22．如图所示，某镇有一块空地，其中.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.设.
（1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度；
（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．D
【分析】根据复数除法运算和复数模的概念即可得到答案.
【详解】，则，则，
故选：D.
2．C
【分析】根据斜二测画法的定义即可求解.
【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，
故②⑤正确.
故选：C.
3．C
【解析】由复数的定义直接判断即可.
【详解】由复数的概念知，复数的虚部是，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的定义，属于基础题.
4．C
【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．
5．A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．C
【详解】试题分析：三角形中由正弦定理得.,所以.即选C.本题的关键就是正弦定理的应用.
考点：正弦定理.
7．D
【分析】如图建系，求得各点坐标，即可得的表达式，根据x的范围，即可得答案.
【详解】以BC中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA为y轴建系，如图所示：
所以，设，
所以，
所以，
因为，
所以.
故选：D
8．C
【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围.
【详解】因为△为锐角三角形，所以，，，
即，，，所以，；
又因为，所以，又因为和正弦定理得，
由，即
，
所以，令，则，
又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，
则的周长的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.
9．ACD
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.
【详解】由题意得：，，
解得：或，，或或，
故选：ACD.
10．BD
【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】在中，
对于A，若，则或，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；
综上，正确的判断为选项B和D．
故选：BD．
【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11．CD
【分析】根据复数的相关概念，即可判断A、B项；取特殊值，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A项正确；
对于B项，设，则.
因为，所以，所以，故B项正确；
对于C项，取，则，故C项错误；
对于D项，取，，则，故D项错误.
故选：CD.
12．ABD
【分析】根据题意，化简整理，即可判断A的正误；利用B、C、E三点共线及F、C、D三点共线，化简计算，即可判断B的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
所以，故A正确；
对于B：由B、C、E三点共线可得，
由F、C、D三点共线可得，解得，故B正确；
对于C：由得，
当且仅当时等号成立，所以有最小值为4，无最大值，故C错误；
对于D：因为，所以，
所以.
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.
13．
【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出
【详解】因为在中，，
所以正弦定理可得，则令（），
由余弦定理得，
故答案为：
14．2
【分析】根据复数相等列出方程组，求出，得到答案.
【详解】由可得，解得，
故.
故答案为：2
15．
【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：.
16．
【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．
【详解】如图，设，则,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．
所以．
即面积的最大值是．
故答案为．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
17．
【分析】用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简 的解析式，根据纯虚数的定义可得3a﹣8=0，求出a的值，即得复数z1．
【详解】,
因为是纯虚数,所以且,
解得,故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；
（2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.
【详解】（1），
，.
（2）由得：，
解得：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合同角平方关系求sinC，进而可求sinA，由正弦定理即可求解；
（2）由正弦定理可求AB，然后结合余弦定理可求.
【详解】（1）由得，
，
由正弦定理得；
（2）由正弦定理得，，
由余弦定理得
20．(1)2或；
(2)
【分析】（1）根据向量平行列出方程，求出或，分两种情况求出，进而求出模长；
（2）根据向量夹角为锐角得到不等式组，求出x的取值范围.
【详解】（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
（2）因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
即，
解得：，且，
综上：x的取值范围是.
21．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．
【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
22．（1）；（2）；（3）时，的面积最小，最小面积为.
【分析】（1）利用余弦定理求得 ，结合勾股定理求得，判断出是等边三角形，由此求得防护网的总长度.
（2）结合正弦定理求得，由此求得人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍数.
（3）求得，由此求得三角形面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当时，的面积最小为.
【详解】（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以.由于，所以，所以是等边三角形，周长为，也即防护网的总长度为.
（2）时，在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，，由正弦定理得.
所以.
以为顶点时，和的高相同，
所以，
即人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍.
（3）在三角形中，，由正弦定理得.
在三角形中，，由正弦定理得.
所以
.
由于，所以当时，
最小值为