1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）
导学案
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系；
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．
重点难点
重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系
难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系
课前预习 自主梳理
知识点1：直线、平面垂直的向量表示
1. 线线垂直的向量表示: 设直线 的方向向量分别为 , 则
2. 直线和平面垂直的向量表示: 设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 , 则
3. 平面和平面垂直的向量表示: 设平面 的法向量分别为 , 则 .
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( )
(2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．( )
(3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( )
(4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【解析】(1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确．
(2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内．
(3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°.
(4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论．
2.空间向量与几何中的平行关系
位置关系 向量表示 图示
线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则 ，使得．
线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
面面平行 设，分别是平面，的法向量，则 ，使得
3.空间向量与几何中的垂直关系
位置关系 向量表示 图示
线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则 ．
线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，使得
面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则
新课导学
学习探究
环节一：创设情境，引入课题
知识点1：空间中直线、平面的平行
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．
思考
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
如图1.4-8，设，分别是直线，的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．
所以，使得．
环节二：观察分析，感知概念
类似地，如图1.4-9，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
．
如图1.4-10，设，分别是平面，的法向量，则
，使得．
例2证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，，，，，．求证：．
分析：设平面的法向量为，直线，的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量．
证明：如图1.4-11，取平面的法向量，直线，的方向向量分别为，．
因为，，所以，．
因为，，，所以对任意点，存在，使得．
从而．
所以，向量也是平面的法向量．故．
例3如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示．如果点存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果．
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为，，的坐标分别为，，，所以，．
设是平面的法向量，则，，即
所以
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
由的坐标分别为，，，得，．
设点满足，则，所以．
令，得，解得，这样的点存在．
所以，当，即为的中点时，平面．
练习（第31页）
1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
1．解析：已知直线，和平面，其中，，且，求证：．
证明：设直线，的方向向量分别为，，平面的法向量为，因为，所以．
又因为，，所以，所以，则，所以．
2．如图，在四面体中，是的中点．直线上是否存在点，使得？
2．解析：设在直线上存在点，满足，取一组基底，设，，，为中点，，
，，，
，，∴方程组无解，
∴在直线上不存在点，使得．
3．如图，在正方体中，，分别是面，的中心．求证：平面．
3．解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
，分别为面与面的中心，，，．
又，，，，
设平面的法向量，则，，
，，取，则，，．
又，，又平面，平面．
环节三：抽象概括，形成概念
知识点2：空间中直线、平面的垂直
思考
类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
如图1.4-13(1)，设直线，的方向向量分别为，，则
．
如图1.4-13(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则
，使得．
如图1.4-13(3)，设平面，的法向量分别为，，则
．
我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？
环节五：课堂练习，巩固运用
例4如图1.4-14，在平行六面体中，，
，求证：直线平面．
分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．
证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，．因为，，
所以，．
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，
存在唯一的有序实数对，使得
．
所以，
．
所以是平面的法向量．所以平面．
例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图1.4-15，，，求证：．
证明：取直线的方向向量，平面的法向量．因为，所以是平面的法向量．因为，而是平面的法向量，所以．所以．
环节六：归纳总结,反思提升
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七：目标检测，作业布置
完成教材： 第33页 练习 第1，2，3题
第41 页 习题1.4 第5，8，11题
备用练习
1.已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案.
【详解】如图，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即 ，
取，则，
∴平面的一个法向量为∶,
选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，
故选︰D．
2.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】AC
【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.
【详解】由题意，,,,,,
∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；
设平面的法向量为， 则,
由，得，
令得，则正确;
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则不正确.
故选：.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）
导学案
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系；
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．
重点难点
重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系
难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系
课前预习 自主梳理
知识点1：直线、平面垂直的向量表示
1. 线线垂直的向量表示: 设直线 的方向向量分别为 , 则
2. 直线和平面垂直的向量表示: 设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 , 则
3. 平面和平面垂直的向量表示: 设平面 的法向量分别为 , 则 .
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( )
(2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．( )
(3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( )
(4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【解析】(1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确．
(2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内．
(3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°.
(4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论．
2.空间向量与几何中的平行关系
位置关系 向量表示 图示
线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则 ，使得．
线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
面面平行 设，分别是平面，的法向量，则 ，使得
3.空间向量与几何中的垂直关系
位置关系 向量表示 图示
线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则 ．
线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，使得
面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则
新课导学
学习探究
环节一：创设情境，引入课题
知识点1：空间中直线、平面的平行
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．
思考
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
如图1.4-8，设，分别是直线，的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．
所以，使得．
环节二：观察分析，感知概念
类似地，如图1.4-9，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
．
如图1.4-10，设，分别是平面，的法向量，则
，使得．
例2证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，，，，，．求证：．
例3如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？
练习（第31页）
1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
1．解析：已知直线，和平面，其中，，且，求证：．
证明：
2．如图，在四面体中，是的中点．直线上是否存在点，使得？
解析：
3．如图，在正方体中，，分别是面，的中心．求证：平面．
解析：
环节三：抽象概括，形成概念
知识点2：空间中直线、平面的垂直
思考
类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
如图1.4-13(1)，设直线，的方向向量分别为，，则
．
如图1.4-13(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则
，使得．
如图1.4-13(3)，设平面，的法向量分别为，，则
．
我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？
环节五：课堂练习，巩固运用
例4如图1.4-14，在平行六面体中，，
，求证：直线平面．
分析：
例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图1.4-15，，，求证：．
证明：
环节六：归纳总结,反思提升
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七：目标检测，作业布置
完成教材： 第33页 练习 第1，2，3题
第41 页 习题1.4 第5，8，11题
备用练习
1.已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案.
【详解】如图，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即 ，
取，则，
∴平面的一个法向量为∶,
选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，
故选︰D．
2.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】AC
【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.
【详解】由题意，,,,,,
∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；
设平面的法向量为， 则,
由，得，
令得，则正确;
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则不正确.
故选：.
