2.2.1 直线的点斜式方程导学案
学习目标
1.了解直线方程的点斜式的推导过程．
2.掌握直线方程的点斜式并会应用．
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．
重点难点
掌握直线方程的点斜式并会应用
掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．
课前预习 自主梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距__
图示
方程形式 y－y0＝___________ ____________
适用条件 斜率存在
2.直线在轴上的截距
定义:直线与轴的交点的纵坐标.
符号:可正,可负,也可为零.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)方程与表示的意义相同. ( )
(2)直线恒过定点 ( )
(3)经过的任意直线方程可表示为. ( )
(4)直线在轴上的截距是直线与轴的交点到原点的距离. ( )
(5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. ( )
2.方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
3.过点且斜率为2的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
5.直线恒过一定点，则此点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线化为点斜式为：，
∴直线恒过一定点.
故选：C.
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的.那么，这个关系如何表示呢？
下面我们就来研究这个问题.
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的．那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题．
如图2.1-1，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即．
师生活动：画出如图2.2-1的图示，学生在独立思考的基础上进行交流,通过讨论由斜率公式得到由斜率公式得，即．
环节二 观察分析，感知概念
点的坐标满足关系式吗？
由上述推导过程可知：
（1）直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，我们还可以验证
（2）坐标满足关系式的每一个点都在直线上．
设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.
事实上，若点的坐标，满足关系式，则．
当时，，这时点与重合，显然有点在直线上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为．
因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上．
由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线上；
直线上任意一点的坐标一定满足关系式．
我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程．
方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，
我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)．
环节三抽象概括，形成概念
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式．
思考：
问题1：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？
问题2：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？
当直线的倾斜角为时(图2.2-2)，，即，
这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即．
当直线的倾斜角为时（图2.2-3)，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即．
例1直线经过点，且倾斜角，
求直线的点斜式方程，并画出直线．
解：
环节四 辨析理解，深化概念
下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即．
问题3：已知直线的斜率为，且与与轴的交点，求直线的方程
我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距(intercept)．
这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式(slopeinterceptform)．
问题4：观察方程，它的形式具有什么特点？
其中，和均有明显的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
问题5：直线在x轴上的截距是什么？截距是距离吗？
思考：
方程与我们学过的一次函数表达式类似．
我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例2已知直线，，试讨论：
（1）的条件是什么 （2）的条件是什么？
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现或时，，与应满足的关系．
解：
环节六 归纳总结,反思提升
问题6. 请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的直线方程哪些？
2.请写出点斜式和斜截式直线方程？
环节七 目标检测，作业布置
练习（第61页）第123题
备用练习1. 直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．6
2．已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（ ）
A．9 B．9
C． D．
3.下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．2.2.1 直线的点斜式方程导学案
学习目标
1.了解直线方程的点斜式的推导过程．
2.掌握直线方程的点斜式并会应用．
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．
重点难点
掌握直线方程的点斜式并会应用
掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．
课前预习 自主梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距__
图示
方程形式 y－y0＝___________ ____________
适用条件 斜率存在
2.直线在轴上的截距
定义:直线与轴的交点的纵坐标.
符号:可正,可负,也可为零.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)方程与表示的意义相同. ( )
(2)直线恒过定点 ( )
(3)经过的任意直线方程可表示为. ( )
(4)直线在轴上的截距是直线与轴的交点到原点的距离. ( )
(5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
【解析】 (1)错误.方程表示的图形中没有点.
(2)正确.由直线方程的点斜式知,方程表示过点,斜率为的直线.
(3)错误.当直线的斜率存在时,可表示为;当直线的斜率不存在时,不能表示为点斜式方程,其方程可表示为.
(4)错误.直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐标,而不是距离.
(5)错误.垂直于轴的直线的倾斜角为,即斜率不存在,没有点斜式和斜截式方程.
2.方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
【答案】C
【分析】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在，可得结论．
【详解】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．
故选C．
【点睛】本题考查恒过定点的直线，容易误选B．
3.过点且斜率为2的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先写出直线的点斜式方程，而后化成斜截式方程选出答案即可.
【详解】因为直线过点且斜率为2，所以直线方程为：
，化简得：.
故选：D
【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.
4.直线在轴上的截距是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求直线与轴的交点即可得出结果.
【详解】直线方程为
令 ，得
所以直线在轴上的截距是.
故选C.
【点睛】本题考查直线的的基本性质，属于基础题.
5.直线恒过一定点，则此点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线化为点斜式为：，
∴直线恒过一定点.
故选：C.
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的.那么，这个关系如何表示呢？
下面我们就来研究这个问题.
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的．那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题．
如图2.1-1，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即．
师生活动：画出如图2.2-1的图示，学生在独立思考的基础上进行交流,通过讨论由斜率公式得到由斜率公式得，即．
环节二 观察分析，感知概念
点的坐标满足关系式吗？
由上述推导过程可知：
（1）直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，我们还可以验证
（2）坐标满足关系式的每一个点都在直线上．
设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.
事实上，若点的坐标，满足关系式，则．
当时，，这时点与重合，显然有点在直线上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为．
因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上．
由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线上；
直线上任意一点的坐标一定满足关系式．
我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程．
方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，
我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)．
环节三抽象概括，形成概念
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式．
思考：
问题1：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？
问题2：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？
当直线的倾斜角为时(图2.2-2)，，即，
这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即．
当直线的倾斜角为时（图2.2-3)，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即．
例1直线经过点，且倾斜角，
求直线的点斜式方程，并画出直线．
解：直线经过点，斜率，
代入点斜式方程得．
画图时，只需再找出直线上的另一点，
例如，取，则，得点的坐标为，
过，两点的直线即为所求，如图2.2-4所示．
环节四 辨析理解，深化概念
下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即．
问题3：已知直线的斜率为，且与与轴的交点，求直线的方程
我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距(intercept)．
这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式(slopeinterceptform)．
问题4：观察方程，它的形式具有什么特点？
其中，和均有明显的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
问题5：直线在x轴上的截距是什么？截距是距离吗？
思考：
方程与我们学过的一次函数表达式类似．
我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例2已知直线，，试讨论：
（1）的条件是什么 （2）的条件是什么？
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现或时，，与应满足的关系．
解：（1）若，则，此时，与轴的交点不同，即；反之，若，且，则．
（2）若，则；反之，若，则．
由例2我们得到，对于直线，，
，且；．
环节六 归纳总结,反思提升
问题6. 请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1.本节课学习的直线方程哪些？
2.请写出点斜式和斜截式直线方程？
环节七 目标检测，作业布置
练习（第61页）第123题
备用练习1. 直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】代入方程，即可求解.
【详解】将代入直线方程得，解得．
故选：B.
【点睛】本题考查直线的横截距的概念，属于基础题.
2．已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（ ）
A．9 B．9
C． D．
【答案】B
【分析】把方程化为斜截式方程，即可得结论．
【详解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l在y轴上的截距为.
故选：B
【点睛】本题考查求直线的截距，掌握截距概念是解题关键．直线的纵截距是直线与轴交点的纵坐标，不是距离，可以为负．
3.下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于直线过第一、二、四象限，所以，由此可判断选项
【详解】若直线过第一、二、四象限，则，
选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足.
故选：C
【点睛】此题考查直线方程的性质，属于基础题
