2.2.2 直线的两点式方程导学案
学习目标
直线的两点式方程
直线的截距式方程
重点难点
重点：直线的两点式方程与截距式方程.
难点：直线的两点式方程推导过程的理解
课前预习 自主梳理
要点 直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)适用的范围相同．( )
(3)不经过原点的直线都可以用截距式方程表示．( )
(4)过点(1,3)和(1,5)的直线可以用两点式方程来表示．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
【详解】 (1)正确．能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴，从而斜率一定存在，即可用点斜式方程表示．
(2)错误．方程＝成立的前提是y1≠y2且x1≠x2.
(3)错误．垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程表示．
(4)错误．因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式方程来表示．
2.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
【答案】A
【分析】利用直线的两点式有，整理即可得直线方程.
【详解】由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3.
故选：A.
3.直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A．6 B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.
【详解】当x=0时，y=2,
当y=0时，x=3,
所以三角形的面积为.
故选D
【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.经过点且在轴上的截距为3的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：直线过，，代入选项验证可知C正确.
考点：直线方程．
5.直线经过点,且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可设直线与轴的交点坐标是，进而可得，即得.
【详解】∵直线经过点，且通过第二、三、四象限，
∴直线的斜率小于0，
设直线与轴的交点坐标是，且，
∵直线与坐标轴围成三角形面积为2
∴，
∴，
∴直线的方程为，即，
故选：B.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：上节课我们根据直角坐标系中确定直线位置的几何要素，把它们代数化得到了直线的点斜式方程与斜截式方程，体会了利用坐标法建立直线方程的过程，本节课我们继续探索直线其他形式的方程.
问题1:我们知道“两点确定一条直线”，这条直线的方程可以由这两点坐标来表示,如果直线经过两点，（其中），你能根据上节课所学的知识与方法，求出由这两点坐标所确定的直线方程吗？
环节二 观察分析，感知概念
思考：
所以直线是唯一确定的．也就是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么呢？
由经过两点，的直线的斜率公式可以求出直线的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题．
环节三 抽象概括，形成概念
当时，经过两点，的直线的斜率．
任取，中的一点，例如，取点，由直线的点斜式方程，得
，
当时，上式可写为
这就是经过两点，(其中)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式(two-point form)．
不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗？
在，中，如果，则直线没有两点式方程．当时，直线垂直于轴，直线方程为即；当时，直线垂直于轴，直线方程为即．
环节四 辨析理解 深化概念
例3如图2.2-5，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中．求直线的方程．
解：将两点，的坐标代入两点式，得
，
即
．
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．方程由直线在两条坐标轴上的截距与确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式(intercept form)．
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程．
解：如图2.2-6，过，的两点式方程为，
整理得．这就是边所在直线的方程．
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式，可得点的坐标为，即．
过，两点的直线方程为，
整理可得．这就是边上中线所在直线的方程．
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率．这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位．点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式．
另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义．事实上，对于直线上的四个不同点，，由，确定的直线方程与由，确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？
环节六 归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本单元学习内容和学习过程，并回答下列问题：
(1)直线方程有哪些不同形式？产生不同形式的原因是什么？
(2)在直角坐标系中直线(几何图形)如何用代数(方程)表示？代数表示的意义是什么？
(3)运用直线的点斜式方程(斜截式方程)时要注意什么适用条件？
环节七 目标检测，作业布置
布置作业
教材第64页第3题.
备用练习1. 在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将直线的方程转化截距离式，得出两直线在轴上的截距与在轴上的截距的关系可得选项.
【详解】直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；
直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，
所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，
对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；
对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距离式的理解与辨析，属于基础题.
2.已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
3.已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】由两点式求得直线的方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，由两点间距离公式求得的长，从而根据三角形面积公式可得结果.
【详解】∵点A（1，0），B（0，1），
∴直线AB的方程为x+y–1=0，
，又∵点C（–2，–3）到直线AB的距离为，
∴△ABC的面积为S=．故选A．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式、三角形面积公式以及直线方程的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
4.直线l过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的两点式方程运算求解.
【详解】因为，则线l的方程为，整理得，
所以直线l的方程为.
故选：D.
5.已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．2.2.2 直线的两点式方程导学案
学习目标
直线的两点式方程
直线的截距式方程
重点难点
重点：直线的两点式方程与截距式方程.
难点：直线的两点式方程推导过程的理解
课前预习 自主梳理
要点 直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)适用的范围相同．( )
(3)不经过原点的直线都可以用截距式方程表示．( )
(4)过点(1,3)和(1,5)的直线可以用两点式方程来表示．( )
2.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
3.直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A．6 B．1 C． D．3
4.经过点且在轴上的截距为3的直线方程是
A． B．
C． D．
5.直线经过点,且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：上节课我们根据直角坐标系中确定直线位置的几何要素，把它们代数化得到了直线的点斜式方程与斜截式方程，体会了利用坐标法建立直线方程的过程，本节课我们继续探索直线其他形式的方程.
问题1:我们知道“两点确定一条直线”，这条直线的方程可以由这两点坐标来表示,如果直线经过两点，（其中），你能根据上节课所学的知识与方法，求出由这两点坐标所确定的直线方程吗？
环节二 观察分析，感知概念
思考：
所以直线是唯一确定的．也就是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么呢？
由经过两点，的直线的斜率公式可以求出直线的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题．
环节三 抽象概括，形成概念
当时，经过两点，的直线的斜率．
任取，中的一点，例如，取点，由直线的点斜式方程，得
，
当时，上式可写为
这就是经过两点，(其中)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式(two-point form)．
不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗？
在，中，如果，则直线没有两点式方程．当时，直线垂直于轴，直线方程为即；当时，直线垂直于轴，直线方程为即．
环节四 辨析理解 深化概念
例3如图2.2-5，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中．求直线的方程．
解：
我们把直线与轴的交点的横坐标叫 截距，
此时直线在 轴上的截距是．
方程由直线在两条坐标轴上的截距与确定，
我们把方程叫做直线的截距式方程，简称 (intercept form)．
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程．
解：
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率．这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位．点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式．
另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义．事实上，对于直线上的四个不同点，，由，确定的直线方程与由，确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？
环节六 归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本单元学习内容和学习过程，并回答下列问题：
(1)直线方程有哪些不同形式？产生不同形式的原因是什么？
(2)在直角坐标系中直线(几何图形)如何用代数(方程)表示？代数表示的意义是什么？
(3)运用直线的点斜式方程(斜截式方程)时要注意什么适用条件？
环节七 目标检测，作业布置
布置作业
教材第64页第3题.
备用练习1. 在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
3.已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为
A．3 B．2 C．1 D．
4.直线l过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
