2.2.3 直线的一般式方程导学案
学习目标
理解并掌握直线的一般式方程的形式特征
掌握直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化
掌握直线与二元一次方程一一对应的关系
重点难点
教学重点：
直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化
教学难点：
直线的一般式方程的应用.
课前预习 自主梳理
要点一 直线的一般式方程
1．二元一次方程与直线的关系
二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．
2．一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
要点二 直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
提示 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程．( )
(2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( )
(3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．( )
(4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
【详解】 (1)错误．直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0，当C＝0时，一般式不能化为截距式．
(2)错误．当A，B都同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，此时方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形．
(3)正确．由一般式方程的概念可知．
(4)错误．当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线．
2.不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.
【详解】直线方程可整理为：，
则由得：，即直线恒过定点.
故选：B.
3.直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．135°
【答案】A
【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的倾斜角是.
故选：A.
4.无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直线恒过定点，即与参数k无关，原直线方程整理为，令k的系数为0，解方程即可得解.
【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知，
，解得，所以直线恒过定点
故选：B
5.已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.
【详解】，
，
即，
所以点的轨迹方程为，
显然不论取何值，总有满足方程，
即点的轨迹过定点，
故选：A
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题．
问题1：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
设计意图：使学生理解直接和二元一次方程的关系，明确直线的一般方程的概念。
环节二 观察分析，感知概念
先看问题（1）．任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为
，
这是关于，的二元一次方程．
当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为，
上述方程可以认为是关于，的二元一次方程，因为此时方程中的系数为0．
方程和都是二元一次方程，
因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
环节三 抽象概括，形成概念
反之，对于任意一个二元一次方程
（，不同时为0），
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线．
当时，方程可变形为
，
它表示过点，斜率为的直线．
当时，，方程可变形为
，
它表示过点且垂直于轴的直线．
由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线．
我们把关于，的二元一次方程
（其中，不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(general form)．
环节四 辨析理解 深化概念
问题2：直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？
学生通过比较讨论，发现直线的一般式方程与其他的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所以直线，而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线。
设计意图：使学生理解直线的一般式方程与其他形式的直线方程的不同点，是学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线在直角坐标系中位置的影响。
问题3：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线：
①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重合？④与y轴重合？
环节五 概念应用，巩固内化
例5 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是
，
化为一般式，得
．
例6 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
分析：求直线在轴上的截距，即求直线与轴交点的横坐标，只要在直线的方程中令即可得的值．
解：把直线的一般式方程化为斜截式．因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．
在直线的方程中，令，得，即直线在轴上的截距是．由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线（图2.2-7）．
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点．
结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线．
在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．
环节六 归纳总结,反思提升
问题4请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
(1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系.
(2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围.
(3)求直线方程应具有多少个条件
(4)学习本节用到了哪些数学思想方法
设计意图：使学生对直线方程的理解有个整体的认识.
环节七 目标检测，作业布置
教材第66页，练习第2,3题
备用练习1.△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0 C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【答案】B
【分析】先求出BC的斜率，进而得到高所在直线的斜率，最后用点斜式求得答案.
【详解】由题意，，所以BC上的高所在直线的斜率为，其方程为：.
故选：B.
2.已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，再利用直线的斜率公式即可求解.
【详解】由，得，
所以直线l的方程恒过定点.
因为，，
所以，.
由题意可知，作出图形如图所示
由图象可知，或，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：D.
3.直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，根据直线方程求得斜率，然后利用求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线方程为，
所以直线的斜率为，
所以，
因为，
所以.
故选：B
4.设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为直线过定点,直线与线段有交点,转化为过定点的直线与线段有公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案.
【详解】解： 直线与线段有交点，即直线与线段有交点，
对于直线，令，则，则直线恒过点，
根据题意，作出如下图像：
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
直线的斜率为，若直线与线段有交点，则，
故选：A.
5.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行求得的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线平行，
则有，解得或，
而当时，直线与直线重合，舍去，
所以，直线与直线平行，
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：A.2.2.3 直线的一般式方程导学案
学习目标
理解并掌握直线的一般式方程的形式特征
掌握直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化
掌握直线与二元一次方程一一对应的关系
重点难点
教学重点：
直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化
教学难点：
直线的一般式方程的应用.
课前预习 自主梳理
要点一 直线的一般式方程
1．二元一次方程与直线的关系
二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．
2．一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
要点二 直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝ 不能表示 不存在的直线
斜截式 y＝ 不能表示 不存在的直线
两点式 x1≠x2，y1≠y2
截距式 不能表示 的直线
一般式 无
思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
提示 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程．( )
(2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( )
(3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．( )
(4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( )
2.不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．135°
4.无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题．
问题1：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
设计意图：使学生理解直接和二元一次方程的关系，明确直线的一般方程的概念。
环节二 观察分析，感知概念
先看问题（1）．任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为
，
这是关于，的二元一次方程．
当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为，
上述方程可以认为是关于，的二元一次方程，因为此时方程中的系数为0．
方程和都是二元一次方程，
因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示．
环节三 抽象概括，形成概念
反之，对于任意一个二元一次方程
（，不同时为0），
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线．
当时，方程可变形为
，
它表示过点，斜率为的直线．
当时，，方程可变形为
，
它表示过点且垂直于轴的直线．
由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线．
我们把关于，的二元一次方程
（其中，不同时为0)叫做直线的 方程，简称 式(general form)．
环节四 辨析理解 深化概念
问题2：直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？
学生通过比较讨论，发现直线的一般式方程与其他的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所以直线，而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线。
设计意图：使学生理解直线的一般式方程与其他形式的直线方程的不同点，是学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线在直角坐标系中位置的影响。
问题3：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线：
①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重合？④与y轴重合？
环节五 概念应用，巩固内化
例5 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
解：
例6 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
分析：求直线在轴上的截距，即求直线与轴交点的横坐标，只要在直线的方程中令即可得的值．
解：
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点．
结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线．
在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．
环节六 归纳总结,反思提升
问题4请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
(1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系.
(2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围.
(3)求直线方程应具有多少个条件
(4)学习本节用到了哪些数学思想方法
设计意图：使学生对直线方程的理解有个整体的认识.
环节七 目标检测，作业布置
教材第66页，练习第2,3题
备用练习1.△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0 C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【
2.已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3.直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4.设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
